习题三1. 箱子里装有12只开关，其中只有2 只次品，从箱中随机地取两次，每次取一只，且设随机变量X ，Y 为⎩⎨⎧=⎩⎨⎧=.,1,0;,1,0若第二次取得次品若第二次取得正品若第一次取得次品若第一次取得正品，Y ，X试就放回抽样与不放回抽样两种情况，写出X 与Y 的联合分布律. 解：先考虑放回抽样的情况：.361122122}1,1{,3651210122}0,1{,3651221210}1,0{,362512101210}0,0{=⨯====⨯====⨯====⨯===Y X P Y X P Y X P Y X P则此种情况下，X 与Y 的联合分布律为再考虑不放回抽样的情况.661111122}1,1{,3351110122}0,1{,3351121210}1,0{,22151191210}0,0{=⨯====⨯====⨯====⨯===Y X P Y X P Y X P Y X P2. 将一硬币连掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示在三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出（X,Y ）的联合分布律及边缘分布律.解：由已知可得：X 的取值可能为0，1，2，3；Y 的取值可能为1，3；则由硬币出现正面和反面的概率各为21，可知83212121}1,2{,0}3,1{,83212121}1,1{,81212121}3,0{(0}0,0{2313=⨯⨯=======⨯⨯====⨯⨯======C Y X P Y X P C Y X P Y X P Y X P 此种情况不可能发生）.81212121}3,3{0}1,3{0}3,2{=⨯⨯=========Y X P Y X P Y X P3. 把三个球随机地投入三个盒子中去，每个球投入各个盒子的可能性是相同的，设随机变量X 与Y 分别表示投入第一个及第二个盒子中的球的个数，求二维随机变量(X,Y)的概率分布及边缘分布. 解：由已知可得：X 的取值可能为0，1，2，3；Y 的取值可能为0，1，2，3；则271313131}0,0{=⨯⨯===Y X P ， 91313131}1,0{13=⨯⨯===C Y X P 91313131}2,0{23=⨯⨯===C Y X P ，271313131}3,0{=⨯⨯===Y X P 91313131}0,1{13=⨯⨯===C Y X P ，92313131}1,1{1213=⨯⨯===C C Y X P 91313131}2,1{13=⨯⨯===C Y X P 0}3,1{===Y X P ，91313131}0,2{23=⨯⨯===C Y X P91313131}1,2{23=⨯⨯===C Y X P0}3,2{}2,2{======Y X P Y X P271313131}0,3{33=⨯⨯===C Y X P 0}3,3{}2,3{}1,3{=========Y X P Y X P Y X P则二维随机变量（X,Y ）的概率分布及边缘分布为4. 设(X,Y)的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<--=.,0,42,20),6(81),(其它y x y x y x f求：（1） P ﹛(x,y )∈D ﹜, 其中D=﹛(x,y )|x<1,y<3﹜; （2） P ﹛(x,y )∈D ﹜, 其中D=﹛(x,y )|x+y<3﹜. 解：（1） ∵D={(x,y)|x<1,y<3}∴83)6(81),(}),{(103213=--==∈⎰⎰⎰⎰∞-∞-dxdy y x dxdy y x f D y x P （2） ∵D={(x,y)|x+y<3}∴245)6(81),(}),{(1032=--==∈⎰⎰⎰⎰-xDdxdy y x dxdy y x f D y x P 5. 设(X,Y)的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤++-=.,0,),(),(22222其它R y x y x R c y x f 求：（1） 系数c ；（2） (X,Y)落在圆()R r r y x <≤+222内的概率. 解：（1） 由⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x f ，得1)(22222=+-⎰⎰≤+dxdy y x R c R y x ，可求得33R c π=（2） 设222|),{(r y x y x D ≤+=，则)321(3)(3),(}),{(3223222R r R dxdy y x R R dxdy y x f D Y X P Dr y x -=+-==∈⎰⎰⎰⎰≤+ππ6. 已知随机变量X 和Y 的联合概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=.,0,10,10,4),(其他y x xy y x f求X 和Y 的联合分布函数.解：∵随机变量X 和Y 的联合概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=.,0,10,10,4),(其他y x xy y x f∴当x<0,或y<0时，F(x,y)=0;当10,10≤≤≤≤y x 时，2204=y} Y x , P{X =y)F(x ,y x XYdXdY x y⎰⎰=≤≤当1,10>≤≤y x 时，20104=y} Y x , P{X =y)F(x ,x XYdXdY x ⎰⎰=≤≤当10,1≤≤>y x 时，21004=y} Y x , P{X =y)F(x ,y XYdXdY y⎰⎰=≤≤当1,1>>y x 时，14=y} Y x , P{X =y)F(x ,1010⎰⎰=≤≤XYdXdY综上可得，X 和Y 的联合分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>≤≤>>≤≤≤≤≤≤<<1,1 110,1 1,10 10,100,00=y)F(x,2222y x y x y y x x y x y x y x 或7. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 ⎩⎨⎧<<<≤+=.,0,60,60),(),(其他y x y x k y x f（1） 求常数k ；（2） 求 P ﹛0<x<2,1<y ≤3﹜; （3） 求X,Y 的边缘概率密度； （4） 判断X 与Y 是否相互独立.解：（1） 由概率密度的性质有⎰⎰+∞∞-+∞∞=1),(dxdy y x f 即1)(6060⎰⎰=+dxdy y x k ，有2161=1216k k ∴= (2) ⎰⎰=+=≤<<<2031181)(2161}31,20{dxdy y x y x P(3) X 的边缘概率密度为⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(∴当0≤x<6时，363)(2161)(6+=+=⎰x dy y x x f X 当x<0或x ≥6时，显然有0)(=x f X⎪⎩⎪⎨⎧<≤+=∴.,0,60,363)(其他x x x f XY 的边缘概率密度为⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()( ∴当0<y<6时，363)(2161)(6+=+=⎰y dy y x y f Y 当y ≤0或x ≥6时，显然有0)(=y f Y⎪⎩⎪⎨⎧<<+=∴.,0,60,363)(其他y y y f Y(4) 的表达式易知，及从)()(y f x f Y X ),()()(y x f y f x f Y X ≠ ∴X 与Y 不相互独立.8．已知随机变量X 1和X 2的概率分布为而且P{X 1X 2=0}=1.(1) 求X 1和X 2的联合分布； (2) 问X 1和X 2是否独立？为什么？ 解：由1}0{21==X X P ,可知021=X X 必然成立.0}0{21=≠∴X X P由}1,1{}1,0{}1,1{}1{2121212=======-===X X P X X P X X P X P 得21}1{}1,0{221=====X P X X P 同理可得：41}0,1{,41}0,1{2121=====-=X X P X X P ， 而}0,1{}1,0{}0,1{}0,0{}0{2121212121==+==+=-=+====X X P X X P X X P X X P X X P 04141211}0,1{}1,0{}0,1{}0{}0,0{2121212121=---===-==-=-=-====X X P X X P X X P X X P X X P 综上可得，1X 和2X 的联合分布为（2）}0{}0{}0,0{2121==≠==X P X P X X P可知1X 和2X 不独立.9. 设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从()b b ,- 上的均匀分布，求方程02=++Y tX t 有实根的概率.解：方程02=++Y tX t 有实根的充要条件是042≥-Y X ，由于随机变量X 与Y 相互独立，所以随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<-=其他,0,,,41),(2b y b b x b by x f下面分两种情况讨论： （1）当40≤<b 时，如图24214),(}4{4222b dy dx b dxdy y x f y X P Dbbx b+===≥⎰⎰⎰⎰-- (2) 当4>b 时，如图bdy dx b dxdy b dxdy b dxdy y x f y X P Dbbbx D D32141414),(}4{224222221-=-=-===≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-综上可得：方程02=++Y tX t 有实根的概率为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤<+=≥-.4,321,40,2421}04P{2b bb bY X另解：方程02=++Y tX t 有实根的充要条件是 042≥-Y X令),(,121x F X Z Z 其分布函数为=),(,422x F Y Z Z 其分布函数为-= 则当x<0时,0)(1=x F Z 则当0≤x ≤b 2时{}x X x P x X P X Z P x F Z ≤≤-=≤=≤=}{}{)(211由于X 与Y 都服从()b b ,-上的均匀分布，即其密度函数各为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他其他,0,21)(,0,21)(Y by b by f bx b bx f X 当0≤x ≤b 2时，bxdt b x F xx Z ==⎰-21)(1 当x >b 2时显然有.1)(1=x F Z∴Z 1的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.00,2)(21其他b x bxx F Z而当时，b x 4≥1)4(01}4{1}4{)(2=-≤--=-<-=≤-=b x xY P x Y P x F Z 当-4b<x<4b 时，bxb x b dt b x Y P x F xb Z 821)4(211}4{1)(42+=≤-≤--=-<-=⎰--当x ≤-4b 时，0)4(11}4{1)(2=≥--=-<-=b xx Y P x F Z∴Z 2的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=.44,81)(2其他b x b b x F Z又由于随机变量X 与Y 相互独立，∴Z 1 和Z 2也相互独立. 又设Z= Z 1 +Z 2，，则，分布函数为其密度函数为dx x z f x f f x F x Z Z Z Z Z ⎰+∞∞--=)()()z ()()(f而⎰∞--=-=≥=≥-02)(1)0(1}0{}04{dz z f F Z P Y X P Z Z ∵b>0,而当z ≤-4b ，]4,4[b b x -∈时，04≤+b z 此时0)(=z f Zb dx bx b z f b b z b b z Z 818121)(44402=⋅=-≤<-⎰+时，当即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≥-≤<-+-≤=.4,81,44,84,4,0)(222b b z bb b z b b bz b z z f Z ），时，（即当04402≤-≤<b b b 242182112181841}04P{04442222bb b dz b dz b b z Y X b b bb b+=+--=-+-=≥-⎰⎰--- ），时，（即》当0442>-b b b bdz b b z Y X b321841}04P{0422-=+-=≥-⎰- 综上可得：方程02=++Y tX t 有实根的概率为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤<+=≥-.4,321,40,2421}04P{2b bb bY X10. 设（X,Y ）的概率密度为⎩⎨⎧<<=-.,0,0,),(其他y x e y x f y求边缘概率密度和{}.1≤+Y X P 解：X 的边缘概率密度为⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(，当x ≤0时，0)(=x f X 当x>0时，⎰+∞--==x x y X e dy e x f )(Y 的边缘概率密度为⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(当x ≤0时，0)(=y f Y ，当y>0时，⎰--==yy y Y ye dx e y f 0)(⎩⎨⎧>≤=⎩⎨⎧>≤=∴--000)(.000)(y yey y f x ex x f yY xX而⎰⎰⎰⎰⎰-------+=-==≤+==≤+2102111210121)(}1|),{((),(1}Y P{X ee dx e e dy e dx y x y x D dxdy y xf x x xxy D其中11. 设X,Y 相互独立，其概率密度为⎩⎨⎧≤>=⎩⎨⎧≤≤=-.0,0,0,)(.,0,10,1)(y y e y f x x f y Y X 其他 求Z=X+Y 的概率密度.解：由已知得 ⎰+∞∞--=dx x z f x f z f Y X Z )()()( 当z<0时，)0,10(0)(≤-≤≤=x z x z f Z 时当 当0≤z ≤1时，z z z x Z e dx e z f ---==⎰1)(0 当z >1时，z z x Z e e dx e z f ---==⎰)1()(1∴Z=X+Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-<=--1)1(10100)(z e e z e z z f z zZ12. 设随机变量（X,Y ）的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=.,0,10,0,3),(其他x x y x y x f求Z=X —Y 的概率密度. 解：∵Z=X —Y 的分布函数为 ⎰⎰⎰⎰≤-+∞∞-+∞-==≤-=≤=zY X zx Z dyy x f dx dxdy y x f z Y X P z Z P z F ),(),(}{}{)(∴Z=X —Y 的概率密度为⎰+∞∞--==dx z x x f z F z f Z Z ),()()('⎩⎨⎧<<<<=.,0,10,0,3),(其他x x y x y x f0)(,0x 1=∴≤-≥z f z z Z 时，当， ,0)(,x 0=∴≥-≤z f x z z Z 时，当),1(23xdx 3)(1021z z f z Z Z -==<<⎰时，当 ∴Z=X —Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=.,0,10),1(23)(2其他z z z f Z13. 设随机变量（X,Y ）的概率密度为(),,21),(22222+∞<<∞-=+-y x ey x f y x σπσ求22Y X Z +=的概率密度.解：设22Y X Z +=的分布函数为)(z F Z当0≤Z 时，0}{}{)(22=≤+=≤=z Y X P z Z P z F Z 当0>Z 时，222222222222022222212121}{)(σπσσσπσθπσz zY X y x y x Z erdred dxdy ez Z P z F -≤++-+-===≤=⎰⎰⎰⎰∴22Y X Z +=的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-.0,21,0,0)(222z e z z F zZ σσ14. 设二维随机变量（X,Y ）在矩形(){}10,20|,≤≤≤≤=y x y x G 上服从均匀分布，试求边长为X 和Y 的矩形面积S 的概率密度f(s). 解：由已知可得随机变量（X,Y ）的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=.,010,20,21),(其他，y x y x f设边长为X 和Y 的矩形面积S 的分布函数为F(s)，则 ⎰⎰≤=≤=≤=sxy )f(x,s}{}{)dxdy y XY P s S P s F （∴.0)0=≤s F S （时，当2)ln 2(ln 2222121)y ,()20220102ss s s dx x s dy dx dy dx dy x f dx s F S sx s s s x s+-=+=+==<<∴⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（时，当)1(121)22≥==≥⎰⎰xsdy dx s F S x s（时，当 ∴矩形面积S 的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≥≤<<-=2,0,020),ln 2(ln 21)(s s s s s f 或15．设X 和Y 为两个随机变量，且{}{},740{}0,730,0=≥=≥=≥≥Y P X P Y X P 求{}.0),m ax (≥Y X P解：{}{}0,00,0}0{<≥+≥≥=≥Y X P Y X P X P {}{}173740,0}0{0,0=-=≥≥-≥=<≥∴Y X P X P Y X P 同理可求{}710,0=≥<Y X P{}{}{}{}10,00,00,00,0=<<+≥<+<≥+≥≥Y X P Y X P Y X P Y X P 又{}7271717310,0=---<<∴Y X P {}{}{}.757210,010),max (10),max (=-=<<-=<-=≥∴Y X P Y X P Y X P16. 设（X,Y ）的联合概率密度为 (),,10021),(1001002122+∞<<∞-•=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-y x ey x f y x π求：（1）{};Y X P < （2）边缘概率密度； (3) ).|(|x y f X Y 解：（1）由已知，得⎰⎰⎰⎰<∞+∞-∞+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-•=•=<yxy x y x dy edx dxdy e Y X P x 100100211001002122221002110021}{ππ同理可知⎰⎰∞+∞-∞+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-•=>yy x dx edy Y X P 100100212210021}{π}{}{Y X P Y X P >=<∴而0}{==Y X P又1}{}{}{==+>+<Y X P Y X P Y X P21}{}{=>=<∴Y X P Y X P （2）X 的边缘概率密度为)(210110021),()(20010010021222+∞<<-∞=•==-∞+∞-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞+∞-⎰⎰x edy edy y x f x f x y x X ππ由于f(x,y)关于x,y 地位的对称性，得)(2101)(2002+∞<<-∞=-y ey f y Y π17. 设X,Y 是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知X 的分布律为),3,2,1(31}{===i i X P 又设},,min{},,max{Y X Y X ==ηξ试写出变量),(ηξ的分布律及边缘分布律并求}.{ηξ==P解：由已知得：,913131}1{}1{}1,1{}1,1{=⨯=========Y P X P Y X P P ηξ0}3,1{}2,1{======ηξηξP P,9231313131}2{}1{}1{}2{}2,1{}1,2{}1,2{=⨯+⨯===+=====+=====Y P X P Y P X P Y X P Y X P P ηξ,913131}2{}2{}2,2{}2,2{=⨯=========Y P X P Y X P P ηξ,0}3,2{===ηξP,9231313131}3{}1{}1{}3{}3,1{}1,3{}1,3{=⨯+⨯===+=====+=====Y P X P Y P X P Y X P Y X P P ηξ,9231313131}3{}2{}2{}3{}3,2{}2,3{}2,3{=⨯+⨯===+=====+=====Y P X P Y P X P Y X P Y X P P ηξ913131}3,3{}3,3{=⨯======Y X P P ηξ则变量),(ηξ的分布律及边缘分布律为：而.31919191}{=++===ηξP18. 设X 关于Y 的条件概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他，,0,0,3)|(32|y x y x y x f Y X而Y 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其他，,0,10,5)(4y y y f Y求.21⎭⎬⎫⎩⎨⎧>X P解：由已知得：⎩⎨⎧<<<<=•=其他,010,0,15)()|(),(2|y y x y x y f y x f y x f Y Y X ⎰⎰⎰⎰==+∞<<-∞>==>∴121212644715}),21x {D (),(}21{P Y Dydx x y dxdy y x f X 其中19. 设（X,Y ）的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤+=其他,0,10,10,),(y x y x y x f求：（1）},max{Y X Z =的概率密度； （2）},min{Y X Z =的概率密度.解：(1) 设},max{Y X Z =的分布函数为)(z F Z ,概率密度为)(z f Z ，则当0≤Z 时，0),(}},{max{}{)(},max{==≤=≤=⎰⎰≤zY X Z dxdy y x f z Y X P z Z P z F当10≤<Z 时，33302},max{22)2()(),(}{)(z zz dx xz z dyy x dx dxdy y x f z Z P z F zz zzY X Z =+=+=+==≤=⎰⎰⎰⎰⎰≤当z>1时, ⎰⎰≤≤≤≤=+=≤=10101)(}{)(y x Z dxdy y x z Z P z F},max{Y X Z =∴的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=.,0,10,3)(2其他z z z f Z(2) 设},min{Y X Z =的分布函数为的分布函数为)(z F Z ,概率密度为)(z f Z ，则当1≥Z 时，101},{1}}{m in{1}{1}{)(=-=>>-=><-=>-=≤=Z Y Z X P Z Y X P z Z P z Z P z F Z 则当0≤Z 时，11},{1}}{m in{1}{1}{)(=-=>>-=><-=>-=≤=Z Y Z X P Z Y X P z Z P z Z P z F Z 则当10<<Z 时，⎰⎰-+=+-=>>-=≤=1132)(1},{1}{)(z zZ z z z dy y x dx Z Y Z X P z Z P z F},min{Y X Z =∴的概率密度为⎩⎨⎧≤≤-+=.,0,10,321)(f 2其他z z z z Z20. 假设一电路装有三个同种电器元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为0>λ的指数分布，当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作.试求电路正常工作的时间T 的概率分布.解：用)3,2,1(=i X i 表示第i 个电气元件无故障工作的时间，则321,,X X X 相互独立且同分布，其分布函数为⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1)(x x e x F x λ 设G(t)是T 的分布函数.当t ≤0时，G(t)=0;当t>0时，有te t F t X P t X P t X P t X t X t X P t T P t T P t G λ333213211)](1[1}{}{}{1},,{1}{1}{)(--=--=>>>-=>>>-=>-=≤=⎩⎨⎧≤>-=∴-.0,0,0,1)(3t t e t G t λ 电器正常工作的时间T 的概率分布服从参数为λ3的指数分布.。