1
导数的概念与运算(教案)B
一、 知识梳理：（阅读选修教材2-2第2页—第21页）
1、 导数及有关概念：

函数的平均变化率： 1.设函数)(xfy在0xx处附近有定义，当自变量
在0xx处有增量x时，则函数()yfx相应地有增量)()(00xfxxfy，

如果0x时，y与x的比xy（也叫函数的平均变化率）有极限即xy无限趋
近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(xfy在0xx处的导数，记作
0
xxy

，即 .

在定义式中，设xxx0，则0xxx，当x趋近于0时，x趋近于0x，
因此，导数的定义式可写成

0
000
0

0

()()()()()limlimxoxxfxxfxfxfxfxxxx



.

2.
导数的物理意义和几何意义：

导数0000()()()limxfxxfxfxx是函数)(xfy在点0x的处瞬时变化率，
它反映的函数)(xfy在点0x处变化．．的快慢程度.
它的几何意义是曲线)(xfy上点（)(,00xfx）处的切线的斜率.因此，如果
)(xfy在点0x可导，则曲线)(xfy
在点（)(,00xfx）处的切线方程为

.
3.
导函数(导数):

如果函数)(xfy在开区间),(ba内的每点处都有导数，此时对于每一个

),(bax，都对应着一个确定的导数()fx，从而构成了一个新的函数()fx
, 称这

个函数()fx为函数)(xfy在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y，即
2

()fx＝y
＝xxfxxfxyxx)()(limlim00

说明 :导数与导函数都称为导数,这要加以区分,求一个函数的导数,就是求导
函数,求一个函数在给定点处的导数,就是求导函数值.

函数)(xfy在0x处的导数0xxy就是函数)(xfy在开区间
),(ba

)),((bax上导数()fx在0x处的函数值，即0xxy＝0()fx.所以函数)(xfy
在0x处的导数也记作
0

()fx

4.
可导: 如果函数)(xfy在开区间),(ba内每一点都有导数，则称函数

)(xfy

在开区间),(ba内可导
5.
可导与连续的关系：如果函数)(xfy在点0x处可导，那么函数)(xfy在点

0

x

处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条
件.

6.
求函数()yfx的导数的一般步骤：


1
求函数的改变量
)()(xfxxfy


2
求平均变化率xxfxxfxy)()(；


3
取极限，得导数y()fxxyx0lim

7.
几种常见函数的导数：

0'C(C
为常数)；

1)'(nn
nxx

(Qn)；

xxcos)'(sin
；

xxsin)'(cos
；
1
(ln)xx
；
3

1
(log)logaaxex
，

()xxee
；

()lnxxaaa
8.
求导法则：

法则1 [()()]()()uxvxuxvx．
法则2 [()()]()()()()uxvxuxvxuxvx, [()]'()CuxCux

法则3： '2''(0)uuvuvvvv
9.
复合函数的导数：（理科）设函数()ux在点x处有导数()xux，函数

()yfu在点x的对应点u处有导数uyfu，则复合函数(())yfx
在点
x

处也有导数，且xuxuyy''' 或(())()()xfxfux
10.
复合函数的求导法则：（理科）复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变

量的导数，乘以中间变量对自变量的导数
11.
复合函数求导的基本步骤：分解——求导——相乘——回代

12.
导数的几何意义：是曲线)(xfy在点（)(,00xfx）处的切线的斜率，即

0
()kfx
，

要注意“过点A的曲线的切线方程”与“在点A处的切线方程”是不尽相同的，
后者A必为切点，前者未必是切点.
二、题型探究：

探究一
．用导数的定义求函数在某一点处的导函数值。

例１：


1
已知000(2)()lim13xfxxfxx△△△，求0()fx
4


2
设函数()fx在点0x处可导，求000()()lim2hfxhfxhh


3
已知(3)2,(3)2ff，则323()lim3xxfxx的值为

.A0 .B4 .C8 .D 不存在

探究二．导数的几何意义
例2:已知曲线y=13x3+43 .
(1)、求曲线在点P（2，4）处的方程；

（2）、求曲线过点P（2，4）的方程；
（3）、求斜率为1的曲线的切线方程。
探究三：导数的物理意义
例3：某市在一次降雨过程中，降雨量y（mm）与时间t（min）的函数关系可以近似
地表示为y=√10t，则在t=40min的降雨强度
5

探究四：导数的运算：
例4：求下列函数的导数

（1）、


2
ln1,0()0,01sin,0xxfxxxxx











（2）、f(x)=e
x
cosx

(3)、f(x)=x
2
+tanx

探究五：求导运算后求切线方程
例5：已知函数f(x)=
2
3
x3−2ax2+3x(x∈R)

(1)、若a=1，点P为曲线 y=f(x)上的一个动点，求以点p为切点的切线的斜率取最
小值时的切线方程；

（2）、求函数y=f(x)在（0，+∞）上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a。
6

三、方法提升
1、 用定义求导数的步骤

（1） 求函数的改变量 ∆y；（2）：求平均变化率∆y∆x （3）、取极限
（2） 导数物理意义与几何意义
（3） 求复合函数的导数要坚持“将求导进行到底”的原则；
（4） 求切线方程时已知点是否切点至关重要。

四、反思感悟：

五、课时作业
一、选择题

1、
（06江西）对于R上可导的任意函数()fx，若满足1()xfx≥0，则必有

.A(0)(2)ff21f .B
(0)(2)ff
≤21f

.C (0)(2)ff≥21f .D
(0)(2)ff

21f

2、设函数()fx，()gx在,ab上均可导，且()()fxgx，则当axb时，有
.A()()fxgx .B
()()fxgx
.C()()()()fxgagxfa .D
()()()()fxgbgxfb
3、
()fx的导函数()yfx的图象如图所示，则()yfx
的图象最有可能的是

4、
0()sinfxx，10()()fxfx，21()()fxfx，…，1()()nnfxfx

，nN，
7

则f
2013

(x) .Asinx .Bsinx
.Ccosx .D
cosx

5、若曲线4yx的一条切线l与直线480xy垂直，则l的方程为
.A430xy；.B450xy；.C430xy；.D
430xy

6、曲线12xye在点24,e处的切线与坐标轴所围三角形的面积为
.A29e2 .B24e .C22e .D
2
e

二、填空题：
7、
（07届高三皖南八校联考）已知2()2(2)fxxxf，则(2)f

8、
已知1cos()xfxxe，则()fx
三、解答题：
9、求下列函数的导数：

121sinyx； 
2

2

1

1yx

32ln1yx； 
4

11xxeye




；

52sin23yx； 
6
lnxyex

7sin1cosxyx； 
8



2
1sincosyxxxx