导数的概念及运算
一、填空题
1.设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为________.
解析 由f (x )＝x ln x ，得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e. 答案 e
2.设y ＝x 2e x ，则y ′＝________. 解析 y ′＝2x e x ＋x 2e x ＝()
2x ＋x 2e x . 答案 (2x ＋x 2)e x
3.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于________.
解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1
x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1. 答案 －1
4.(2015·苏北四市模拟)设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝________.
解析 由y ′＝2ax ，又点(1，a )在曲线y ＝ax 2上，依题意得k ＝y ′|x ＝1＝2a ＝2，解得a ＝1. 答案 1
5.(2015·湛江调研)曲线y ＝e －2x ＋1在点(0，2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为________.
解析 y ′|x ＝0＝(－2e －2x )|x ＝0＝－2，故曲线y ＝e －2x ＋1在点(0，2)处的切线方程为y ＝－2x ＋2，易得切线与直线y ＝0和y ＝x 的交点分别为(1，0)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，23，故
围成的三角形的面积为12×1×23＝1
3.
答案 13
6.(2015·长春质量检测)若函数f (x )＝ln x
x ，则f ′(2)＝________. 解析 ∵f ′(x )＝1－ln x x 2，∴f ′(2)＝1－ln 24. 答案
1－ln 24
7.(2016·南师附中调研)如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.
解析 由图形可知：f (3)＝1，f ′(3)＝－1
3，∵g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)＝1－1＝0. 答案 0
8.在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2
＋b
x (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且
该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______. 解析 y ＝ax 2＋b x 的导数为y ′＝2ax －b x 2，直线7x ＋2y ＋3＝0的斜率为－7
2.由题
意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b 2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.
答案 －3 二、解答题
9.已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限. (1)求P 0的坐标；
(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程. 解 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1， 由已知令3x 2＋1＝4，解之得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.
又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4). (2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l 的斜率为－1
4.
∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，
∴直线l 的方程为y ＋4＝－1
4(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.
10.已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1，0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2. (1)求直线l 2的方程；
(2)求由直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积.
解 (1)y ′＝2x ＋1，f ′(1)＝3，所以直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3. 设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ，b 2＋b －2)，则直线l 2的方程为y －(b 2＋b －2)＝(2b ＋1)(x －b )， 即y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.
因为l 1⊥l 2，所以3(2b ＋1)＝－1，b ＝－23. 所以直线l 2的方程为y ＝－13x －22
9. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪
⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1
6，y ＝－52.
又直线l 1，l 2与x 轴交点坐标分别为(1，0)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫－223，0，
S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52×⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪1＋223＝12512.
能力提升题组 (建议用时：20分钟)
11.(2015·陕西卷)设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1
x (x ＞0)上点P 处的
切线垂直，则P 的坐标为________.
解析 y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x (x >0)的导数为y ′＝－1x 2 (x >0)，曲线y ＝1
x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝ －1
m 2 (m >0)，因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的
坐标为(1，1). 答案 (1，1)
12.若函数f (x )＝1
2x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________.
解析 ∵f (x )＝1
2x 2－ax ＋ln x ， ∴f ′(x )＝x －a ＋1
x (x ＞0).
∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，
即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1
x ≥2(当且仅当x ＝1时取等号). 答案 [2，＋∞)
13.(2016·苏、锡、常、镇调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧ln x ，x ≥1，1e （x ＋2）（x －a ），x ＜1(a 为常
数，e 为自然对数的底数)的图象在点A (e ，1)处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数a 的取值范围是________.
解析 函数f (x )在A (e ，1)处的切线方程为y ＝1e x .故问题等价于直线y ＝1
e x 与函数y ＝1e (x ＋2)·(x －a )在(－∞，1)上有2个公共点，即方程1e x ＝1e (x ＋2)(x －a )在(－∞，1)上有2个不等实根.整理得a ＝x 2＋x x ＋2(x ＜1，x ≠－2).令g (x )＝x 2＋x x ＋2(x ＜1，x
≠－2)，g ′(x )＝
x 2＋4x ＋2（x ＋2）
2
，令g ′(x )＝
x 2＋4x ＋2（x ＋2）
2
＝0，得x 1＝－2－2，x 2＝－2
＋2，并且函数在(－∞，x 1)及(x 2，1)上单调递增，在(x 1，－2)及(－2，x 2)上单调递减，又g (x 1)＝－3－22；g (x 2)＝－3＋22；g (1)＝2
3，结合函数图象知a 的取值范围为(－∞，－3－22)∪⎝ ⎛
⎭⎪⎫－3＋22，23 答案 (－∞，－3－22)∪⎝ ⎛
⎭⎪⎫－3＋22，23
14.已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程.
解(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，
∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，
∴曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2，
即x－y－4＝0.
(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点
P(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x20－8x0＋5，
∴切线方程为y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)，
又切线过点P(x0，x30－4x20＋5x0－4)，
∴x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)(x0－2)，
整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或1，
∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0，或y＋2＝0.。