全国卷高考全真模拟试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,考试时间120分钟,满分150分.第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知全集U =R ,集合A ={x |x <2},B ={x |lg(x -1)>0},则A ∩(∁U B )=( ) A .{x |1<x <2} B .{x |1≤x <2} C .{x |x <2} D .{x |x ≤1}答案 C解析 B ={x |x >2},∴∁U B ={x |x ≤2},∴A ∩(∁U B )={x |x <2},故选C.2.定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d =ad -bc ,则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1+i -i 2i =0的复数z 的共轭复数z 在复平面对应的点在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限答案 B解析 由题意得,2z i -[-i(1+i)]=0,则z =-i 1+i 2i =-12-i 2,∴z =-12+i2,其在复平面对应的点在第二象限,故选B.3.下列说法中,不正确的是( )A .已知a ,b ,m ∈R ,命题:“若am 2<bm 2,则a <b ”为真命题B .命题:“∃x 0∈R ,x 20-x 0>0”的否定是:“∀x ∈R ,x 2-x ≤0”C .命题“p 或q ”为真命题,则命题p 和命题q 均为真命题D .“x >3”是“x >2”的充分不必要条件 答案 C解析 本题考查命题真假的判断.命题“p 或q ”为真命题,则命题p 和命题q 中至少有一个为真命题,C 错误,故选C.4.函数y =(x 3-x )2|x |的图象大致是( )答案 B解析 易判断函数为奇函数,由y =0得x =±1或x =0.且当0<x <1时,y <0;当x >1时,y >0,故选B.5.sin2α=2425,0<α<π2,则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-α的值为( )A .-15B.15 C .-75D.75答案 D 解析2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4-α=2⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos α+22sin α=sin α+cos α,又∵(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+sin2α=4925,0<α<π2,∴sin α+cos α=75,故选D.6. 执行如图所示的程序框图,若输入t 的值为5,则输出的s 的值为( )A.916 B.54 C.2116 D.118答案 D解析 依题意,当输入t 的值是5时,执行题中的程序框图,s =1,k =2<5,s =1+12,k =3<5,s =1+12-122,k =4<5,s =1+12-122+123,k =5≥5,此时结束循环,输出的s=1+12-122+123=118,选D.7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A .2π-23B .2π-43C.5π3D .2π-2答案 A解析 本题考查几何体的三视图和体积.由三视图得该几何体为底面半径为1,高为2的圆柱体挖去一个底面边长为2的正方形,高为1的正四棱锥后剩余的部分,则其体积为2×π×12-13×(2)2×1=2π-23,故选A.8.将函数f (x )=sin(2x +φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向右平移π12个单位后的图象关于y 轴对称,则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上的最小值为( )A .0B .-1C .-12D .-32答案 D解析 f (x )=sin(2x +φ)的图象向右平移π12个单位后得到g (x )=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π12+φ=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6+φ的图象,又g (x )的图象关于y 轴对称, ∴g (0)=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π6+φ=±1,∴-π6+φ=π2+k π(k ∈Z ),∴φ=2π3+k π(k ∈Z ),又|φ|<π2,∴φ=-π3,∴f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3,又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,∴2x -π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π3,2π3,∴f (x )min =-32. 9.设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≤2,x -y ≥-2y ≥0,所表示的区域为M ,函数y =1-x 2的图象与x 轴所围成的区域为N ,向M 随机投一个点,则该点落在N 的概率为( )A.2πB.π4C.π8D.π16答案 B解析 本题考查不等式组表示的平面区域、几何概型.在平面直角坐标系画出题中的不等式组表示的平面区域为以(2,0),(-2,0),(0,2)为顶点的三角形区域,函数y =1-x 2的图象与x 轴围成的区域如图中的阴影部分所示,则所求概率为12π×1212×22×2=π4,故选B.10.如图,在正六边形ABCDEF 中,点P 是△CDE (包括边界)的一个动点,设AP →=λAF →+μAB →(λ,μ∈R ),则λ+μ的取值围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32,4 B .[3,4]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32,52D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34,2 答案 B解析 本题考查平面向量的运算、线性规划的应用.以A 为原点,分别以AB ,AE 所在的直线为x ,y 轴建立平面直角坐标系,设正六边形的边长为1,则A (0,0),B (1,0),C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,32,D (1,3),E (0,3),F ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,32,设点P (x ,y ),则AP →=(x ,y ),AF →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,32,AB →=(1,0),则由AP →=λAF →+μAB →得⎩⎪⎨⎪⎧x =-12λ+μ,y =32λ解得⎩⎪⎨⎪⎧λ=233y ,μ=x +33y ,则λ+μ=x +3y ,又因为点P 在△CDE ,所以当点P 与点D 重合时,λ+μ取得最大值1+3×3=4,当点P 在线段CE 上时,λ+μ取得最小值3,所以λ+μ的取值围为[3,4],故选B.11.在平面直角坐标系xOy 中,点P 为椭圆C :y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的下顶点,M ,N在椭圆上,若四边形OPMN 为平行四边形,α为直线ON 的倾斜角,α∈⎝⎛⎦⎥⎤π6,π4,则椭圆C 的离心率的取值围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0,63 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0,32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤63,32 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤63,223 答案 A解析 因为OP 在y 轴上,在平行四边形OPMN 中,MN ∥OP ,因此M ,N 的横坐标相等,纵坐标互为相反数,即M ,N 关于x 轴对称,|MN |=|OP |=a ,可设M (x ,-y 0),N (x ,y 0).由k ON =k PM 得y 0=a 2.把点N 的坐标代入椭圆方程得|x |=32b ,点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32b ,a 2.因为α是直线ON的倾斜角,因此tanα=a2÷32b=a3b.又α∈⎝⎛⎦⎥⎤π6,π4,因此33<tanα≤1,33<a3b≤1,33≤ba<1,13≤b2a2<1,e=1-⎝⎛⎭⎪⎫ba2∈⎝⎛⎦⎥⎤0,63,选A.12.定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f′(x),若对任意的实数x,都有2f(x)+xf′(x)<2恒成立,则使x2f(x)-f(1)<x2-1成立的实数x的取值围为( ) A.{x|x≠±1} B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,1) D.(-1,0)∪(0,1)答案 B解析令g(x)=x2f(x)-x2,则g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)-2x=x[2f(x)+xf′(x)-2],当x>0时,g′(x)<0,g(x)单调递减.又f(x)是偶函数,则g(-x)=x2f(-x)-x2=x2f(x)-x2=g(x),即g(x)是偶函数.不等式x2f(x)-f(1)<x2-1可变形为x2f(x)-x2<f(1)-1,即g(x)<g(1),g(|x|)<g(1),|x|>1,解得x<-1或x>1,选项B正确.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22题~第23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)13.某单位有员工90人,其中女员工有36人,为做某项调查,拟采用分层抽样法抽取容量为15的样本,则男员工应选取的人数是________.答案 9解析 男员工应抽取的人数为90-3690×15=9.14.已知三棱锥P -ABC 的顶点P 、A 、B 、C 在球O 的球面上,△ABC 是边长为3的等边三角形,如果球O 的表面积为36π,那么P 到平面ABC 距离的最大值为________.答案 3+2 2解析 依题意,边长是3的等边△ABC 的外接圆半径r =12·3sin60°=1,∵球O 的表面积为36π=4πR 2,∴球O 的半径R =3,∴球心O 到平面ABC 的距离d =R 2-r 2=22,∴球面上的点P 到平面ABC 距离的最大值为R +d =3+2 2.15.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,如果△ABC 的面积等于8,a =5,tan B =-43,那么a +b +csin A +sin B +sin C=________.答案 5654解析 △ABC 中,∵tan B =-43,∴sin B =45,cos B =-35,又S △ABC =12ac sin B =2c=8,∴c =4,∴b =a 2+c 2-2ac cos B =65,∴a +b +c sin A +sin B +sin C =b sin B =5654.16.过直线l :x +y =2上任意一点P 向圆C :x 2+y 2=1作两条切线,切点分别为A ,B ,线段AB 的中点为Q ,则点Q 到直线l 的距离的取值围为________.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫22,2 解析 依题意,设点P (x 0,2-x 0),则直线AB 的方程为x 0x +(2-x 0)y =1(注:由圆x 2+y 2=r 2外一点E (x 0,y 0)向该圆引两条切线,切点分别为F ,G ,则直线FG 的方程是x 0x +y 0y =r 2),直线OP 的方程是(2-x 0)x -x 0y =0,其中点Q 是直线AB 与OP 的交点,因此点Q (x ,y )的坐标是方程组⎩⎨⎧x 0x +2-x 0y =1,2-x 0x -x 0y =0的解.由⎩⎨⎧x 0x +2-x 0y =1,2-x 0x -x 0y =0得⎩⎪⎨⎪⎧x =x 02-x 02+x 20,y =2-x 02-x 02+x 20,即点Q ⎝ ⎛x 02-x 02+x 20,⎭⎪⎫2-x 02-x 02+x 20,点Q 到直线l 的距离d =⎪⎪⎪⎪⎪⎪22-x02+x 20-22=⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x 20-2x 0+2-22.注意到0<1x 20-2x 0+2=1x 0-12+1≤1,-2<1x 20-2x 0+2-2≤-1,1≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x 20-2x 0+2-2<2,所以22≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x 20-2x 0+2-22<2,即点Q 到直线l 的距离的取值围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫22,2. 三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和S n 满足:S 3=39,且2a 2是3a 1与a 3的等差中项.(1)求数列{a n }的通项a n ;(2)若数列{a n }为递增数列,b n =1log 3a n ·log 3a n +2,T n=b 1+b 2+…+b n ,问是否存在正整数n 使得T n >12成立?若存在,求出n 的最小值;若不存在,请说明理由.解 (1)设数列{a n }的公比为q . 由S 3=39得a 1(1+q +q 2)=39. ①因为2a 2是3a 1与a 3的等差中项,则3a 1+a 3=4a 2. 即q 2-4q +3=0,解得q =1或q =3.代入①式得:当q =1时,a 1=13,{a n }的通项公式为a n =13; 当q =3时,a 1=3,{a n }的通项公式为a n =3×3n -1=3n .(2)因为数列{a n }为递增数列,所以a n =3n,b n =1log 33n ·log 33n +2=1nn +2=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +2.T n =12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1-13+⎝ ⎛⎭⎪⎫12-14+⎝ ⎛⎭⎪⎫13-15+…⎦⎥⎤+⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1-1n +1+⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +2 =12⎝⎛⎭⎪⎫1+12-1n +1-1n +2.由T n >12得n 2-n -4>0,即n >1+172.又n ∈N *,所以存在最小正整数n =3,使得T n >12成立.18.(本小题满分12分)2016年1月19日,主席开启对沙特、埃及、伊朗为期5天的国事访问.某校高二文科一班主任为了解同学们对此事的关注情况,在该班进行了一次调查,发现在全班50名同学中,对此事关注的同学有30名.该班在本学期期末考试中政治成绩(满分100分)的茎叶图如下:(1)求“对此事不关注者”的政治期末考试成绩的中位数与平均数;(2)若成绩不低于60分记为“及格”,从“对此事不关注者”中随机抽取1人,该同学及格的概率为P 1,从“对此事关注者”中随机抽取1人,该同学及格的概率为P 2,求P 2-P 1的值;(3)若成绩不低于80分记为“优秀”,请以是否优秀为分类变量. ①补充下面的2×2列联表;者(单位:人) 对此事不关注 者(单位:人)合计②是否有90%以上的把握认为“对此事是否关注”与政治期末成绩是否优秀有关系? 参考数据:P (K 2≥k )0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式:K 2=n ad -bc 2a +bc +d a +cb +d,其中n =a +b +c +d .解 (1)“对此事不关注者”的20名同学,成绩从低到高依次为: 42,46,50,52,53,56,61,61,63,64,66,66,72,72,76,82,82,86,90,94, 中位数为64+662=65,平均数为 错误!=66.7.(2)由条件可得P 1=20-620=710,P 2=30-530=56,所以P 2-P 1=56-710=215.(3)①补充的2×2列联表如下:政治成 绩优秀 政治成 绩不优秀 合计对此事关注 者(单位:人) 121830对此事不关注 者(单位:人)5 15 20 合计173350K 2=5012×15-18×5230×20×17×33=225187≈1.203<2.706, 所以,没有90%以上的把握认为“对此事是否关注”与政治期末成绩是否优秀有关系. 19.(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ,D 是AC 的中点.(1)求证:B1C∥平面A1BD;(2)若∠A1AB=∠ACB=60°,AB=BB1,AC=2,BC=1,求三棱锥A1-ABD的体积.解解法一:(1)证明:连接AB1交A1B于点O,则O为AB1的中点,∵D是AC的中点,∴DO为△ACB1的中位线,∴OD∥B1C.又OD⊂平面A1BD,B1C⊄平面A1BD,∴B1C∥平面A1BD.(2)∵AC=2,BC=1,∠ACB=60°,∴AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=3,∴AB=3,且△ABC为直角三角形.取AB 的中点M ,连接A 1M , ∵AB =BB 1=AA 1,∠A 1AB =60°, ∴△ABA 1为等边三角形, ∴A 1M ⊥AB ,且A 1M =32.又∵平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ,平面AA 1B 1B ∩平面ABC =AB ,A 1M ⊂平面AA 1B 1B ,∴A 1M ⊥平面ABC . ∵S △ABD =12S △ABC =34,∴V 三棱锥A 1-ABD =13S △ABD ·A 1M =38.解法二:(1)证明:取A 1C 1的中点D 1,连接B 1D 1,CD 1,DD 1, ∵A 1D 1=12A 1C 1,CD =12AC ,A 1C 1綊AC ,∴A 1D 1綊CD ,∴四边形A 1DCD 1为平行四边形, ∴CD 1∥A 1D .又A 1D ⊂平面A 1BD ,CD 1⊄平面A 1BD , ∴CD 1∥平面A 1BD .∵BB 1綊AA 1綊DD 1,∴四边形D 1DBB 1为平行四边形, ∴B 1D 1∥BD .又BD ⊂平面A 1BD ,B 1D 1⊄平面A 1BD , ∴B 1D 1∥平面A 1BD . 又CD 1∩B 1D 1=D 1, ∴平面B 1CD 1∥平面A 1BD .又B 1C ⊂平面B 1CD 1,∴B 1C ∥平面A 1BD . (2)∵AC =2,BC =1,∠ACB =60°,∴AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC ·cos ∠ACB =3, ∴AB = 3.∴AC 2=AB 2+BC 2,∴BC ⊥AB .又∵平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ,平面AA 1B 1B ∩平面ABC =AB , ∴BC ⊥平面AA 1B 1B .∵∠A 1AB =60°,AB =BB 1=AA 1, ∴AA 1=3,∴S △A 1AB =12AB ·AA 1·sin ∠A 1AB =334.∵D 是AC 的中点,∴V 三棱锥A 1-ABD =V 三棱锥D -A 1AB =12V 三棱锥C -A 1AB=12×13S △A 1AB ·BC =38. 20.(本小题满分12分)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为22,过点M (1,0)的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,|MA |=λ|MB |,且当直线l 垂直于x 轴时,|AB |= 2.(1)求椭圆C 的方程;(2)若λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2,求弦长|AB |的取值围.解 (1)由已知e =22,得c a =22, 又当直线垂直于x 轴时,|AB |=2,所以椭圆过点⎝⎛⎭⎪⎫1,22,代入椭圆方程得1a 2+12b2=1,∵a 2=b 2+c 2,联立方程可得a 2=2,b 2=1, ∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.(2)当过点M 的直线斜率为0时,点A ,B 分别为椭圆长轴的端点,λ=|MA ||MB |=2+12-1=3+22>2或λ=|MA ||MB |=2-12+1=3-22<12,不符合题意. ∴直线的斜率不能为0.设直线方程为x =my +1,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 将直线方程代入椭圆方程得:(m 2+2)y 2+2my -1=0,由根与系数的关系可得, ⎩⎪⎨⎪⎧y 1+y 2=-2m m 2+2, ①y 1y 2=-1m 2+2, ②将①式平方除以②式可得:y 1y 2+y 2y 1+2=-4m 2m 2+2, 由已知|MA |=λ|MB |可知,y 1y 2=-λ,∴-λ-1λ+2=-4m 2m 2+2,又知λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2,∴-λ-1λ+2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,0,∴-12≤-4m 2m 2+2≤0,解得m 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,27.|AB |2=(1+m 2)|y 1-y 2|2=(1+m 2)[(y 1+y 2)2-4y 1y 2]=8⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2+1m 2+22=8⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1m 2+22,∵m 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,27,∴1m 2+2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤716,12,∴|AB |∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2,928. 21.(本小题满分12分)已知函数f (x )=ln x +ax-1,a ∈R .(1)若函数f (x )的最小值为0,求a 的值; (2)证明:e x +(ln x -1)sin x >0.解 (1)f (x )=ln x +ax-1的定义域为(0,+∞),且f ′(x )=1x -a x 2=x -ax2.若a ≤0,则f ′(x )>0,于是f (x )在(0,+∞)上单调递增, 故f (x )无最小值,不符合题意.若a >0,则当0<x <a 时,f ′(x )<0;当x >a 时,f ′(x )>0. 故f (x )在(0,a )上单调递减,在(a ,+∞)上单调递增. 于是当x =a 时,f (x )取得最小值ln a . 由已知得ln a =0,解得a =1. 综上,a =1.(2)证明:①下面先证当x ∈(0,π)时,e x +(ln x -1)sin x >0. 因为x ∈(0,π),所以只要证e xsin x >1-ln x .由(1)可知1x≥1-ln x ,于是只要证e x sin x >1x ,即只要证x e x -sin x >0.令h (x )=x e x -sin x ,则h ′(x )=(x +1)e x -cos x . 当0<x <π时,h ′(x )=(x +1)e x -cos x >1·e 0-1=0, 所以h (x )在(0,π)上单调递增.所以当0<x <π时,h (x )>h (0)=0,即x e x -sin x >0. 故当x ∈(0,π)时,不等式e x +(ln x -1)sin x >0成立. ②当x ∈[π,+∞)时,由(1)知1x≥1-ln x ,于是有x ≥1-ln 1x,即x ≥1+ln x .所以e x ≥e 1+ln x ,即e x ≥e x ,又因为e x ≥e(1+ln x ),所以e x ≥e(1+ln x ), 所以e x +(ln x -1)sin x ≥e(ln x +1)+(ln x -1)sin x =(e +sin x )ln x +(e -sin x )>0.综上,不等式e x +(ln x -1)sin x >0成立.请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =3-22t ,y =5+22t(t 为参数).在以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆C 的方程为ρ=25sin θ.(1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程;(2)若点P 坐标为(3,5),圆C 与直线l 交于A 、B 两点,求|PA |+|PB |的值.解(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x =3-22t ,y =5+22t得直线l 的普通方程为x +y -3-5=0.又由ρ=25sin θ得圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2-25y =0, 即x 2+(y -5)2=5.(2)把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程,得⎝⎛⎭⎪⎫3-22t 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2=5,即t 2-32t +4=0.由于Δ=(32)2-4×4=2>0,故可设t 1、t 2是上述方程的两实数根, 所以t 1+t 2=32,t 1·t 2=4. 又直线l 过点P (3,5),A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2,所以|PA |+|PB |=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2=3 2. 23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 设函数f (x )=|x -1|+|x -a |(a ∈R ). (1)当a =4时,求不等式f (x )≥5的解集. (2)若f (x )≥4对a ∈R 恒成立,数a 的取值围. 解 (1)当a =4时,|x -1|+|x -a |≥5等价于⎩⎨⎧ x <1,-2x +5≥5或⎩⎨⎧ 1≤x ≤4,3≥5或⎩⎨⎧x >4,2x -5≥5, 解得x ≤0或x ≥5.所以不等式f (x )≥5的解集为{x |x ≤0或x ≥5}.(2)因为f (x )=|x -1|+|x -a |≥|(x -1)-(x -a )|=|a -1|,所以f (x )min =|a -1|. 要使f (x )≥4对a ∈R 恒成立,则|a -1|≥4即可,所以a≤-3或a≥5,即实数a的取值围是{a|a≤-3或a≥5}.。