《线性代数》期末模拟题（一）专业 学号 姓名 成 绩 (分)试 题 全 文一、填空题（请将正确答案直接填在横线上。

每小题2分，共20分）： 1. 排列36215784 的逆序数是 ，是 排列。

2．行列式513231412--的代数余子式31A = ， 23A = 。

3. 设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A ，当满足__________时，A 是可逆阵，其逆阵为___ _______。

4. 分块矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡00BA ，其中A ，B 都是可逆方阵，则100-⎥⎦⎤⎢⎣⎡B A = 。

5. n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。

6．设A 是一个n 阶方阵，则A 非奇异的充分必要条件是R （A ）=__________。

7．向量)1,2,2,3()4,2,2,1(-==βα，，则α+β=____ __,2α－3β=___ _______。

8．单独一个非零向量必线性__________。

9．设AX = O 是有6个方程，5个未知数的齐次线性方程组，其系数矩阵A 的秩为2，则方程组AX = O 有____ _____组解，其基础解系含_ ________个解向量。

10．若2是可逆方阵A 的特征值，则___ ___是2A 的特征值， __ ___ 是1-A 的特征值。

二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，并将其号码填在括号内。

每小题2分，共10分）：1.设行列式121213101223,010,,31510D D D D λλλ-==-=-若则λ的取值为 ( )。

① 0, 1 ② 0, 2 ③ 1, −1④ 2, −12. 设A , B 为n 阶方阵，A ≠O , 且AB = O , 则( )。

① BA = O ② ∣B ∣= 0或∣A ∣= 0 ③ B = O ④(A −B )2 = A 2 + B 23. 设有4维向量组 α1 , …, α6，则（ ）。

① R (α1 , …, α6) = 4② R (α1 , …, α6) = 2③ α1 , α2 , α3 , α4必然线性无关④ α1 , …, α6中至少有2个向量能由其余向量线性表示 4. 当 ( ) 时, ()0a A b c =是正交阵。

① a = 1, b = 0, c = -1 ② a = b = c = 1 ③ a = 1, b = 2, c = 3④ a = b = 1, c = 05. 设n 阶方阵A 满足A E +=0，则A 必有一个特征值为（ ）。

① 1 ② -1 ③ 0 ④ 2三、计算题( 每小题8分，共64分)：1. 计算4阶行列式2132651192311021-。

2. 设矩阵 111100210,210104021A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.求: AB BA -。

3. 设矩阵方程A+B = AB ，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=110210003B ，求矩阵A 。

4. 设向量组 123411231111, , , 133542563157αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭求该向量组的秩, 并确定一个极大无关组, 将其余向量用该极大线性无关组线性表出。

1231231231235. (,2,10),(2,1,5),(1,1,4),(1,,),, (1) ,,? (2) ,,?(3) ,,, ?T T T T a b c a b c αααββαααβαααβααα==-=-=设向量组，试 问：当满足什么条件时，可由线性表示，且表示唯一不能由线性表示可由线性表示但表示不唯一6. 设1231100,1,1101ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦为R 3的一组基, 将其化为标准正交基。

7. λ为何值时，线性方程组λx 1 + x 2 + x 3 = λ−3 x 1 +λx 2 + x 3 = −2 x 1 + x 2 +λx 3 = −2有唯一解, 无解和有无穷多解? 当方程组有无穷多解时求其通解。

8. 设100010021A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求A 的特征值及对应的特征向量。

四、证明题（6分）设方阵A 满足等式 2A ＋ A － 7 E = 0 ．试证明方阵A 、A ＋ 3 E 、 A － 2 E 均可逆。

《线性代数》课程考试题参 考 解 答一、填空题（请将正确答案直接填在横线上。

每小题2分，共20分）： 1. 排列36215784 的逆序数是 ，是 排列。

(6, 偶)2．行列式513231412--的代数余子式31231421,3231A A -==-.3. 设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A ，当满足_ad bc ≠_时，A 是可逆阵，其逆阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------bc ad a bc ad c bc ad b bc ad d 。

4. 分块矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡00B A ，其中A ，B 都是可逆方阵，则100-⎥⎦⎤⎢⎣⎡B A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0011AB 。

5. n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则E A A 31-=-。

6．设A 是一个n 阶方阵，则A 非奇异的充分必要条件是R （A ）=__n ________。

7．向量)1,2,2,3()4,2,2,1(-==βα，，则2α－3β=__(-7,-2,10,5)________。

8．单独一个非零向量必线性____无关______.9．设AX = O 是有6个方程，5个未知数的齐次线性方程组，其系数矩阵A 的秩为2，则方程组AX = O 有____无穷多______组解，其基础解系含_5－2＝3_________个解向量。

10．若2是可逆方阵A 的特征值，则___4___是2A 的特征值， ____1/2____是1-A 的特征值。

二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，并将其号码填在括号内。

每小题2分，共10分）：1.设行列式121213101223,010,,31510D D D D λλλ-==-=-若则λ的取值为 ( ③ )。

① 0, 1 ② 0, 2 ③ 1, −1④ 2, −12. 设A , B 为n 阶方阵，A ≠O , 且AB = O , 则( ② )。

① BA = O ② ∣B ∣= 0或∣A ∣= 0 ③ B = O ④ (A −B )2 = A 2 + B 2 3. 设有4维向量组 α1 , …, α6，则（ ④ ）。

① R (α1 , …, α6) = 4 ② R (α1 , …, α6) = 2③ α1 , α2 , α3 , α4必然线性无关④ α1 , …, α6中至少有2个向量能由其余向量线性表示 4. 当 ( ① ) 时, ()0a A b c =是正交阵。

① a = 1, b = 0, c = -1， ② a = b = c = 1， ③ a = 1, b = 2, c = 3，④ a = b = 1, c = 05. 设n 阶方阵A 满足A E +=0，则A 必有一个特征值为（ ④ ）。

① 1 ② -1 ③ 0 ④ 2 三、计算题( 每小题8分，共64分)：1. 计算4阶行列式2132651192311021-。

解：4343017100821010218301710082101021011075382101021=---=--=-2. 设矩阵 111100210,210104021A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.求: AB BA -。

解：11110010011121021021021*********1104331111220 010412422 121521440AB BA ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪-=--- ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=--=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭3. 设矩阵方程A+B = AB ，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=110210003B ，求矩阵A 。

解：1)(－）（B E B A B B E A B AB A AB B A --=⇒-=-⇒-=-⇒=+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-101100000100001102100030010010001000001100010010200001002)(2123212112121－）（－B E B A E B E4. 设向量组 123411231111, , , 133542563157αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭求该向量组的秩, 并确定一个极大无关组, 将其余向量用该极大线性无关组线性表出. 解：()123411231123111102121335021242560636315702121123130102120212 000000000000000000000000αααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→⎪ ⎪---- ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13,αα∴是一极大线性无关组. 21341332,2αααααα∴=-+-+=1231231231235. (,2,10),(2,1,5),(1,1,4),(1,,),, (1) ,,? (2) ,,?(3) ,,, ?T T T T a b c a b c αααββαααβαααβααα==-=-=设向量组，试 问：当满足什么条件时，可由线性表示，且表示唯一不能由线性表示可由线性表示但表示不唯一解：112233123123,211 211105421211 41054(1)4,,(2)40,k k k a k k b k c a A a a A a A αααββααα++=--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦--==--≠-≠=-=设由已知得线性方程组其系数行列式为当时,0,方程组有唯一解,可由线性表示,且表达式唯一.当时,对方程组的增广矩阵作初等行变换，123123421121012110012110540003131,()(),,,(3)4,31()()23,,,b A b b c b c b c R A R A a b c R A R A βαααβααα-----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→+ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭-≠≠=--===<有 若则方程组无解,则不能由线性表示.当且时, 方程组有无穷多解,则可由线性表示,但其表达式不唯一.6. 设1231100,1,1101ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦为R 3的一组基, 将其化为标准正交基。