线性代数A 期末模拟试卷
（无答案）
一、选择题（本大题共5小题，每题3分，共15分）
1.设A 是p ×s 矩阵，C 是m ×n 矩阵，如果AB T C 有意义，则B 是什么矩阵（ ）
(A)p ×n (B)p ×m (C) s ×m (D)m ×s
2.设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则下列各式中不正确的是-------（ ）
(A)(A+B)T =A T +B T (B) (A+B)-1=A -1+B -1
(C)(AB)-1=B -1A -1 (D)(AB)T =B T A T #
3.线性方程组02020ax z x ay z ax y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩
只有零解，则a 的取值为---（ ）
(A)a=2 (B)a ≠2 (C)a=1 (D)a ≠1
4.设A 是n 阶方阵，|A|=0，则下列结论中错误的是------（ ）
(A) R(A)<n
(B)A 有两行元素成比例
(C)A 的n 个列向量线性相关
(D)A 有一个行向量是其余n 个行向量的线性组合
5.已知3阶矩阵A 相似于B ，A 的特征值为2、3、4，E 为3阶单位矩阵，则|B-E|=---------（ ） 、
(A)6； (B)12； (C)24； (D)48
二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分） 1.已知0333231232221131211
≠=k a a a a a a a a a ，则=---32
323331121213112222232141062532125321a a a a a a a a a a a a ． 2.若A,B 为3阶方阵，且|A|=2,|B|=2,则|-2A|= ,|A -1B T |= .
3.设A 是三阶方阵，A 的特征值为2,3,λ,且|2A|=48，则=λ , R(A)= 。

4.已知⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=130120005A ，则A -1= ．
5.设A 为n 阶矩阵，|A|=-2，求|3（A ）-1A *|= 。

…
三、计算题（本大题共5小题，每题10分，共50分）
1.（1）计算行列式3...22............2 (322)
...23=
n D （2）设3351
110
2431
5211
3------=D ，D 的（i ，j ）元的代数余子式记作A ij 。

求A 31+3A 32-2A 33+2A 34。

（3）已知齐次线性方程组⎪⎩
⎪⎨⎧=+⋅+=+⋅+=++⋅0322103210321x x x x x x x x x μμλ有非零解，求μλ、的值。

2.&
3.设112223433A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100211122B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
，矩阵X 满足方程AX=B ，求X.
3.（1）设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=3232132-1k k k A ，问k 为何值时，可使✍R(A)=1;✍R(A)=2;
✍R(A)=3.
★（2）设有线性方程组12312321231
-x x x x x x x x x λλλλλ
⎧--=⎪-+-=-⎨⎪-+=⎩，问λ取何值时，此方程
组✍有唯一解；✍无解；✍有无限多解？并在有无限多解时求其通解。

—
4.★（1）已知向量组123452*********,,,,.4622436979ααααα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
求向量组的秩及一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示。

（2）求非齐次线性方程组⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=+--=-+-=+--，，，
2132130432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解。

5.★（1）设矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=2-4242-2-22-1A ，问A 能否对角化？若能，则求可逆
矩阵P 和对角矩阵Λ，使Λ=-AP P 1.
<
★（2）设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=5041
3102X A ，问x 为何值时，矩阵A 能对角化？
★（3）设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=310130004A ，求一个正交矩阵P ，使Λ=-AP P 1为对角矩阵。

五、证明题（本大题共2小题，每题10分，共20分） (
1.设向量123,,ααα线性无关，1123,βααα=+-212323,βααα=+-
312334βααα=++ ，试证明123,,βββ也线性无关。

2.设3阶矩阵A 的特征值为1，-1，2，证明|A*+3A-2E|=9。