专题拓展课七机械能守恒定律和功能关系的应用【学习目标要求】 1.应用机械能守恒定律分析和求解多物体或连接体问题。
2.理解力学中的各种功能关系，并能综合利用功能关系分析和解决问题。
拓展点1“三种典型连接体模型”的机械能守恒问题(模型构建)1.轻绳连接的物体系统模型(1)常见情景(如图所示)。
(2)三点提醒①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。
②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。
2.轻杆连接的物体系统模型(1)常见情景(如图所示)。
(2)三大特点①平动时两物体线速度大小相等，转动时两物体角速度相等。
②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
③对于杆和物体组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。
3.轻弹簧连接的物体系统模型(1)题型特点由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功，又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。
(2)两点提醒①对于同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，无论弹簧伸长还是压缩。
②物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关。
【例1】(2020·江苏宿豫中学高一月考)如图所示，A物体用板托着，离地高度h＝1.0 m，轻质细绳通过光滑定滑轮与A、B相连，绳子处于绷直状态。
已知A物体质量M＝1.5 kg，B物体质量m＝1.0 kg，现将板抽走，A将拉动B上升，设A着地后不反弹，B上升过程中不会碰到定滑轮，g取10 m/s2。
求：(1)A着地时，B的速度大小；(2)B物体在上升过程中离地面的最大高度。
解析(1)在A下降B上升的过程中，A、B系统机械能守恒，由机械能守恒定律得(Mg－mg)h＝12M v2＋12m v2解得v＝2（Mg－mg）hM＋m，代入数据得v＝2 m/s。
(2)A落地后，B继续上升的高度为h′，由机械能守恒得12m v2＝mgh′，解得h′＝0.2 m则B离地面的最大高度H＝h＋h′＝1.2 m。
答案(1)2 m/s(2)1.2 m【针对训练1】(2020·重庆八中高一月考)如图所示，长度为L的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2m的小球；B处固定质量为m的小球，支架悬挂在O点，可绕过O点与支架所在平面相垂直的固定轴转动。
开始时OB与地面相垂直，放手后开始运动。
在无任何阻力的情况下，下列说法中正确的是()①A球到达最低点时速度为gL 5②A球到达最低点时，B球速度为gL 3③A 球到达最低点时，杆对A 做功为－23mgL④摆动过程中A 球机械能守恒A.①③B.②④C.②③D.①④解析 当A 球到达最低点时，对A 、B 组成的系统由机械能守恒定律(2mg －mg )·L 2＝12(2m ＋m )v 2，解得v ＝gL3，即此时A 、B 两球的速度均为gL3，则①错误，②正确；当A 球到达最低点时，对A 球由动能定理2mg ·L 2＋W ＝12·2m v 2，解得W ＝－23mgL ，则③正确；摆动过程中，A 、B 组成的系统的机械能守恒，A 球机械能不守恒，选项④错误。
答案 C拓展点2 能量守恒定律、功能关系的理解和应用1.能量守恒定律能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变。
2.功能关系概述(1)不同形式的能量之间的转化是通过做功实现的，做功的过程就是能量之间转化的过程。
(2)功是能量转化的量度。
做了多少功，就有多少能量发生转化。
3.功与能的关系：由于功是能量转化的量度，某种力做功往往与某一种具体形式的能量转化相联系，具体功能关系如下表：两物体间滑动摩擦力对内能的改变F f x相对＝Q 物体系统做功【例2】(2020·江苏省高二学业考试)高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”。
如图所示，是某小区宣传窗中的一则漫画。
不计空气阻力，若画中被抛下的物体在下落过程中重力做功30 J，下列说法正确的是()A.物体重力势能保持不变B.物体重力势能增加了30 JC.物体机械能减少了30 JD.物体动能增加了30 J解析重力做正功，重力势能减小，重力做功30 J，物体重力势能减小30 J，故A、B错误；只有重力做功，物体的机械能不变，故C错误；重力为物体所受的合外力，根据动能定理，重力做功30 J，物体动能增加了30 J，故D正确。
答案D【例3】(2020·湖南长沙一中高二月考)一物体从某一高度自由落下，落在直立于地面的轻弹簧上，如图所示。
在A点物体开始与弹簧接触，到B点时物体速度为零，然后被弹回，不计空气阻力，下列说法中正确的是()A.物体从A点下降到B点的过程中，动能不断变小B.物体从B点上升到A点的过程中，动能不断变大C.物体从B点上升到A点的过程中加速度先减小后增大D.物体在A、B之间某点时(不包含A、B两点)，系统的重力势能与弹性势能之和最大解析物体在从A下降到B的过程中，开始阶段，重力大于弹簧的弹力，加速度方向向下，物体做加速运动，弹力在增大，合力减小，则加速度减小；当重力大小等于弹力大小时，加速度为零，速度达到最大；后来弹力大于重力，加速度方向向上，物体做减速运动，运动的过程中弹力增大，加速度增大，到达最低点，速度为零。
可知加速度先减小后增大，速度先增大后减小，则动能先增大后减小，选项A、B错误，C正确；物体在A、B之间运动时，只有重力和弹簧的弹力做功，系统的机械能守恒。
当重力等于弹力时，物体的速度最大，动能最大，系统的重力势能与弹性势能之和最小；反之，在B 点速度为零，系统的重力势能与弹性势能之和最大，选项D 错误。
答案 C【针对训练2】 (多选)(2020·湖北武汉二中高一月考)如图，第一次，小球从粗糙的14圆形轨道顶端A 由静止滑下，到达底端B 的速度为v 1，克服摩擦力做功为W 1；第二次，同一小球从底端B 以v 2冲上圆形轨道，恰好能到达A 点，克服摩擦力做功为W 2，则( )A.v 1可能等于v 2B.W 1一定小于W 2C.小球第一次运动机械能变大了D.小球第一次经过圆弧某点C 的速率小于它第二次经过同一点C 的速率解析 从A 下滑到B 根据动能定理可得mgR －W 1＝12m v 21；从B 上滑到A 根据动能定理可得－mgR －W 2＝－12m v 22，则v 2>v 1，故A 错误；因v 2>v 1，故第二次小球在轨道上的平均正压力较大，摩擦力较大，故摩擦力做功较多，即W 1一定小于W 2，故B 正确；小球第一次运动因为要克服摩擦力做功，故机械能变小了，故C错误； 小球第一次经过圆弧某点C 时满足mgh －W C 1＝12m v 2C 1；它第二次经过同一点C 时满足－mgh －W C 2＝－12m v 2C 2，即12m v 2C 2＝mgh ＋W C 2，且W C 1＜W C 2，则v C 2＞v C 1，则小球第一次经过圆弧某点C 的速率小于它第二次经过同一点C 的速率，故D 正确。
答案 BD1.(连接体的机械能守恒问题)如图所示，可视为质点的小球A 、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为R 的光滑圆柱，A 的质量为B 的两倍。
当B 位于地面时，A 恰与圆柱轴心等高。
将A 由静止释放，B 上升的最大高度是( )A.2RB.5R 3C.4R 3D.2R 3解析 设A 、B 的质量分别为2m 、m ，当A 落到地面，B 恰好运动到与圆柱轴心等高处，以A 、B 整体为研究对象，机械能守恒，故有2mgR －mgR ＝12(2m ＋m )v 2，当A 落地后，B 球以速度v 竖直上抛，到达最高点时上升的高度为h ′＝v 22g ，故B上升的最大高度为R ＋h ′＝43R ，选项C 正确。
答案 C2.(功能关系的理解和应用)(2020·河南省高二学业考试)如图，在距离地面h 高处以初速度v 0沿水平方向抛出一个小球，不计空气阻力，物体在下落过程中，下列说法中正确的是( )A.小球在c 点比在a 点具有的机械能大B.小球在c 点比在a 点具有的动能小C.小球在a 、b 、c 三点具有的动能一样大D.小球在a 、b 、c 三点具有的机械能相等解析 小球在平抛运动过程中只有重力做功，小球的机械能守恒，A 错误，D 正确；重力做正功，由动能定理可知小球动能增大，B 、C 错误。
答案 D3.(功能关系的理解和应用)(多选)(2020·河北唐山一中高一月考)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日点，M 、N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T 0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P 经过M 、Q 到N 的运动过程中( )A.从P 到M 所用的时间等于T 04B.从Q 到N 阶段，机械能逐渐变大C.从P 到Q 阶段，速率逐渐变小D.从M 到N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功解析 海王星在PM 段的速度大小大于MQ 段的速度大小，则PM 段的时间小于MQ段的时间，所以从P到M所用的时间小于T04，故A错误；从Q到N的过程中，由于只有万有引力做功，机械能守恒，故B错误；从P到Q阶段，万有引力做负功，速率减小，故C正确；根据万有引力方向与速度方向的关系知，从M 到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功，故D正确。
答案CD。