2021-2022学年北京四中高一（上）适应性数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）若集合A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，则A∩B＝（）A．{1，3）B．{2，3}C．{3}D．{3，5}2．（3分）设全集U＝{1、2、3、4、5}，M＝{3，5}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{1，2，4}B．{1，3，5}C．{2，4}D．{1，2，3，4} 3．（3分）不等式2x2﹣3x+1＞0的解集为（）A．（，1）B．（﹣∞，）∪（1，+∞）C．R D．∅4．（3分）“a﹣c＞b﹣d”是“a＞b且c＜d”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（3分）集合A＝{x∈N|﹣1＜x＜3}的真子集个数是（）A．3B．4C．7D．86．（3分）已知命题p：∃x＞0，x2+1＞1，则命题p的否定为（）A．∃x≤0，x2+1≤1B．∃x＞0，x2+1≤1C．∀x＞0，x2+1≤1D．∀x≤0，x2+1≤17．（3分）设集合P＝{m|﹣1＜m≤0}，Q＝{m|mx2+4mx﹣4＜0对任意x恒成立}，则P与Q 的关系是（）A．P⊆Q B．Q⊆P C．P＝Q D．P∩Q＝∅8．（3分）已知全集U＝Z，集合A＝x{x|x＝2k+1，k∈Z}，k∈Z}．则下列各等式中正确的是（）A．U＝A∪B B．U＝B∪（∁U A）C．U＝A∪（∁U B）D．U＝（∁U A）∪（∁U B）9．（3分）设a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（）A．B．C．|a|＞﹣b D．10．（3分）设全集为R，A＝{x|x2﹣5x﹣6＞0}，B＝{x||x﹣5|＜a}（a为常数），11∈B，则（）A．（∁R A）∪B＝R B．A∪（∁R B）＝RC．（∁R A）∪（∁R B）＝R D．A∪B＝R二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）集合M＝{x|x2+2x﹣a＝0}，若∅⫋M，则实数a的范围是．12．（4分）某班有学生55人，其中音乐爱好者34人，体育爱好者43人，则班级中即爱好体育又爱好音乐的有人．13．（4分）给出如下四个命题：①若b＜a＜0，则；②若a＜b＜0，则a2＞b2；③不等式＞1的解集是{a|a＜1}；④若1＜a＜2，且0＜b＜3，则﹣2＜a﹣b＜2．其中正确命题的序号为（写出所有正确命题的序号）．14．（4分）设a，b，c是任意实数，能够说明“若c＜b＜a且ac＜0，b，c的值依次为．15．（4分）若不等式对任意的a＞0，b＞0恒成立．16．（4分）设常数a∈R，集合A＝{x|（x﹣1）•（x﹣a）≥0}，若A∪B＝R，则a的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共46分）17．（10分）已知全集R，集合A＝{x|x2+px+12＝0}，B＝{x|x2﹣5x+q＝0}，若（∁R A）∩B ＝{2}，求p+q的值．18．（10分）已知．（Ⅰ）当a＝时，解不等式f（x）≤0；（Ⅱ）若a＞0，解关于x的不等式f（x）≤0．19．（8分）已知抛物线y＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1，m∈R．（Ⅰ）当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？（Ⅱ）如果抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，试确定m的值．20．（10分）某单位欲建造一间底面为矩形且面积为12m2的背面靠墙的小屋，小屋正面的造价为1200元/m2，侧面的造价为800元/m2，屋顶的造价为5200元．如果小屋墙高为3m，且不计小屋背面和底面的费用，问：怎样设计小屋能使总造价最低？最低总造价是多少元？21．（8分）已知数集A＝{a1，a2，…，a n}（1≤a1＜a2＜…＜a n，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n）a i a j与两数中至少有一个属于A．（Ⅰ）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P？（不写过程）（Ⅱ）当n＝5时，若a2＝2，求集合A．2021-2022学年北京四中高一（上）适应性数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）若集合A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，则A∩B＝（）A．{1，3）B．{2，3}C．{3}D．{3，5}【解答】解：∵A＝{1，3，8，7}，3，4}，∴A∩B＝{3}，故选：C．2．（3分）设全集U＝{1、2、3、4、5}，M＝{3，5}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{1，2，4}B．{1，3，5}C．{2，4}D．{1，2，3，4}【解答】解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合N中，但不在集合M中．又M＝{3，5}、7、4}，则右图中阴影部分表示的集合是：{2，7}．故选：C．3．（3分）不等式2x2﹣3x+1＞0的解集为（）A．（，1）B．（﹣∞，）∪（1，+∞）C．R D．∅【解答】解：不等式2x2﹣2x+1＞0，即（x﹣2）（2x﹣1）＞3，解得：x＞1或x＜，不等式的解集为：（﹣∞，）∪（5．故选：B．4．（3分）“a﹣c＞b﹣d”是“a＞b且c＜d”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“a＞b且c＜d”，能推出a﹣c＞b﹣d，由“a﹣c＞b﹣d”推不出“a＞b且c＜d”，比如a＝5，b＝6，不是充分条件，故选：B．5．（3分）集合A＝{x∈N|﹣1＜x＜3}的真子集个数是（）A．3B．4C．7D．8【解答】解：∵A＝{x∈N|﹣1＜x＜3}＝{2，1，2}，∴集合A的真子集个数是73﹣1＝5，故选：C．6．（3分）已知命题p：∃x＞0，x2+1＞1，则命题p的否定为（）A．∃x≤0，x2+1≤1B．∃x＞0，x2+1≤1C．∀x＞0，x2+1≤1D．∀x≤0，x2+1≤1【解答】解：命题为特称命题，则命题的否定为∀x＞0，x2+4≤1，故选：C．7．（3分）设集合P＝{m|﹣1＜m≤0}，Q＝{m|mx2+4mx﹣4＜0对任意x恒成立}，则P与Q 的关系是（）A．P⊆Q B．Q⊆P C．P＝Q D．P∩Q＝∅【解答】解：Q＝{m∈R|mx2+4mx﹣6＜0对任意实数x恒成立}，对m分类：①m＝0时，﹣2＜0恒成立；②m＜0时，需△＝（6m）2﹣4×m×（﹣8）＜0，解得﹣1＜m＜7．综合①②知m≤0，所以Q＝{m∈R|﹣1＜m≤6}．因为P＝{m|﹣1＜m≤0}，所以P＝Q．故选：C．8．（3分）已知全集U＝Z，集合A＝x{x|x＝2k+1，k∈Z}，k∈Z}．则下列各等式中正确的是（）A．U＝A∪B B．U＝B∪（∁U A）C．U＝A∪（∁U B）D．U＝（∁U A）∪（∁U B）【解答】解：∵全集U＝Z，集合A＝{x|x＝2k+1，k∈Z}是全体奇数构成的集合，B＝{x|x＝4k﹣1，k∈Z}＝{x|x＝4（k﹣7）+3}是除以4余7的奇数构成的集合，∴B⊂A，则U＝A∪B错误；U＝B∪（∁U A）错误；U＝A∪（∁U B）正确；U＝（∁U A）∪（∁U B）错误．故选：C．9．（3分）设a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（）A．B．C．|a|＞﹣b D．【解答】解：∵a＜b＜0，∴令a＝﹣2，b＝﹣3，A、﹣＞﹣7；B、﹣1＜﹣；C、2＞1；D、＞1；故选：B．10．（3分）设全集为R，A＝{x|x2﹣5x﹣6＞0}，B＝{x||x﹣5|＜a}（a为常数），11∈B，则（）A．（∁R A）∪B＝R B．A∪（∁R B）＝RC．（∁R A）∪（∁R B）＝R D．A∪B＝R【解答】解：由x2﹣5x﹣3＞0得出集合A＝（﹣∞，﹣1）∪（6；由11∈B可知a＞0，则B＝（﹣a+5，且a+5＞11，得出a＞6．并且﹣a+5＜﹣4，故有A∪B＝R．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）集合M＝{x|x2+2x﹣a＝0}，若∅⫋M，则实数a的范围是a≥﹣1．【解答】解：由∅⫋M可得M≠∅，∴x2+2x﹣a＝4有实根∴△＝4+4a≥2∴a≥﹣1故答案为：a≥﹣112．（4分）某班有学生55人，其中音乐爱好者34人，体育爱好者43人，则班级中即爱好体育又爱好音乐的有26人．【解答】解：作Venn图如右图，x+y+z＝55﹣4＝51，x+y＝34，y+z＝43；故y＝（34+43）﹣51＝26．故答案为：26．13．（4分）给出如下四个命题：①若b＜a＜0，则；②若a＜b＜0，则a2＞b2；③不等式＞1的解集是{a|a＜1}；④若1＜a＜2，且0＜b＜3，则﹣2＜a﹣b＜2．其中正确命题的序号为①②④（写出所有正确命题的序号）．【解答】解：对于①若b＜a＜0，故，则；故①正确；对于②若a＜b＜0，则a2＞b6；故②正确对于③不等式＞1整理得：，故，故③错误；对于④若1＜a＜2，且8＜b＜3，则﹣2＜a﹣b＜6．故答案为：①②④．14．（4分）设a，b，c是任意实数，能够说明“若c＜b＜a且ac＜0，b，c的值依次为1，0，﹣1．【解答】解：若c＜b＜a且ac＜0，则a＞0，c＜3，则取a＝1，b＝0，则满足条件，但ab＜ac不成立，故答案为：6，0，﹣1．15．（4分）若不等式对任意的a＞0，b＞0恒成立9．【解答】解：∵a＞0，b＞0恒成立，∴m≤[（4a+b）（）]min，，∵（6a+b）（）＝5+＝9．∴m的最大值等于2．故答案为：9．16．（4分）设常数a∈R，集合A＝{x|（x﹣1）•（x﹣a）≥0}，若A∪B＝R，则a的取值范围为{a|a≤2}．【解答】解：当a≥1时，集合A中不等式解得：x≤1或x≥a，∵B＝{x|x≥a﹣7}，且A∪B＝R，∴a﹣1≤1，即5≤a≤2；当a＜1时，集合A中不等式解得：x≤a或x≥4，由B＝{x|x≥a﹣1}，且A∪B＝R，综上，a的范围为{a|a≤2}．故答案为：{a|a≤3}三、解答题（本大题共5小题，共46分）17．（10分）已知全集R，集合A＝{x|x2+px+12＝0}，B＝{x|x2﹣5x+q＝0}，若（∁R A）∩B ＝{2}，求p+q的值．【解答】解∵（∁R A）∩B＝{2}，∴2∈B，由B＝{x|x3﹣5x+q＝0}有8﹣10+q＝0，∴q＝6，此时B＝{x|x7﹣5x+6}＝{7，3}假设∁R A中有3，则（∁R A）∩B＝{3，3}与（∁R A）∩B＝{2}矛盾，∵8∈R又3∉（∁R A），∴3∈A，由A＝{x|x6+px+12＝0}有9+5p+12＝0，∴p＝﹣7．∴p+q＝﹣818．（10分）已知．（Ⅰ）当a＝时，解不等式f（x）≤0；（Ⅱ）若a＞0，解关于x的不等式f（x）≤0．【解答】解：（I）当时，有不等式，∴，∴不等式的解为：（II）∵不等式当0＜a＜7时，有，∴不等式的解集为；当a＞5时，有，∴不等式的解集为；当a＝6时，不等式的解为x＝1．19．（8分）已知抛物线y＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1，m∈R．（Ⅰ）当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？（Ⅱ）如果抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，试确定m的值．【解答】解：（Ⅰ）令y＝0，则（m﹣1）x5+（m﹣2）x﹣1＝4，根据题意可得m≠1且△＞0，即（m﹣4）2+4（m﹣7）＞0，得m2＞6，所以m≠1且m≠0时，抛物线与x轴有两个交点．（Ⅱ）设A（x4，y1），B（x2，y3），由|x6﹣x2|•|y C|＝2，得•|，解得|m|＝2|m﹣1|，解得m＝或．20．（10分）某单位欲建造一间底面为矩形且面积为12m2的背面靠墙的小屋，小屋正面的造价为1200元/m2，侧面的造价为800元/m2，屋顶的造价为5200元．如果小屋墙高为3m，且不计小屋背面和底面的费用，问：怎样设计小屋能使总造价最低？最低总造价是多少元？【解答】解：设房屋正面的长为x（m），侧面的长为y（m），根据题意，有xy＝12，故z＝3x•1200+2•6y•800+5200＝1200（3x+4y）+5200＝1200（4x+）+5200≥1200，当且仅当，等号成立，故当x＝4时，y＝5，所以将房屋设计成正面长为4m，侧面长为3m时，最低总造价是34000元．21．（8分）已知数集A＝{a1，a2，…，a n}（1≤a1＜a2＜…＜a n，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n）a i a j与两数中至少有一个属于A．（Ⅰ）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P？（不写过程）（Ⅱ）当n＝5时，若a2＝2，求集合A．【解答】解：（Ⅰ）由于3×4与均不属于数集{1，5，∴该数集不具有性质P．由于1×2，8×3，2×4，，，，，，2，2，6}，∴该数集具有性质P．（Ⅱ）A＝{a1，a6，…，a n}具有性质P，∴a n a n 与中至少有一个属于A，由于1≤a1＜a3＜…＜a n，∴a n a n＞a n，故a n a n∉A．从而1＝∈A，a1＝4．∵1＝a1＜a5＜…a n，n≥2，∴a k a n＞a n（k＝2，6，4，…，n），故a k a n∉A（k＝2，5，4，…，n）．由A具有性质P 可知∈A（k＝2，5，4，…．又∵＜＜…＜＜，∴＝1，2，…，＝a n﹣4，当n＝5时，有＝a2，＝a3，即a5＝a8•a4＝a36，∵1＝a1＜a7＜…＜a5，∴a3a4＞a2a4＝a8，∴a3a4∉A，由A具有性质P 可知∈A．由a2•a3＝a32，得＝∈A，且1＜＝a2，∴＝＝a2，∴＝＝＝＝a7，即a1，a2，a8，a4，a5是首项为5，公比为a2等比数列，若a2＝8，则集合A＝{1，2，5，8．第11页（共11页）。