2017-2018学年北京四中下学期高一年级期中考试数学试题一、单选题1．某影院有40排，每排46个座位，一次新片发布会坐满了记者，会后留下了每排20号的记者进行座谈，这样的抽样方法是A. 抽签法B. 随机数表法C. 系统抽样法D. 分层抽样法【答案】C【解析】分析：根据抽样形式确定抽样方法.详解：因为留下了每排20号的记者,等距抽样，所以抽样方法为系统抽样法，选C.点睛：抽签法根据签抽样，随机数表法根据数表抽样，系统抽样法是等距抽样，分层抽样法按比例抽样.2．下列命题中，正确命题的个数是①有三个公共点的两个平面重合②梯形的四个顶点在同一平面内③三条互相平行的直线必共面④四条线段顺次首尾相接，构成平面图形A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】分析：根据平面确定的公理判断命题真假.详解：因为有三个不共线公共点的两个平面重合，所以①错；因为梯形有两条直线相互平行，所以梯形的四个顶点在同一平面内，②对；因为三条互相平行的直线不一定共面，如长方体三条平行的棱就不共面，所以③错，因为四条线段顺次首尾相接可构成空间四边形，所以④错；选B.点睛：公理3是确定平面的公理，注意其中条件：三个不共线的点，两条平行直线，两条相交直线，一直线以及直线外一点.3．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A.14 B. 8π C. 12 D. 4π 【答案】B【解析】设正方形边长为a ，则圆的半径为2a，正方形的面积为2a ，圆的面积为24a π.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221248a a ππ⋅=，选B. 点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A .4．△ABC 中，若B ＝45°，，则A ＝A. 15°B. 75°C. 75°或105°D. 15°或75° 【答案】D【解析】分析：先根据正弦定理求C ，再根据三角形内角关系求A.详解：因为，所以所以因此，选D.点睛：在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．5．甲、乙两人掷骰子，若甲掷出的点数记为a ，乙掷出的点数记为b ，则｜a －b ｜≤1的概率为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先确定总事件数，再确定｜a －b ｜≤1事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.详解：因为甲、乙两人掷骰子所得（a,b ）总事件数为36，而满足｜a －b ｜≤1事件数有,共16，所以概率为，选A.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 6．若a ，b 是异面直线，则与a ，b 都平行的平面A. 不存在B. 有无穷多个C. 有且仅有一个D. 不一定存在 【答案】B【解析】分析：先根据异面直线画法确定一平面，再根据线面平行判定定理得结论. 详解：在空间任取一点P （不在两异面直线上），过P 分别作直线与a ，b 平行，由于a ，b 是异面直线，所以为相交直线，确定一个平面，由线面平行判定定理得平面与a ，b 都平行，再由于P 点任意性，所以平面有无穷多个， 选B.点睛：异面直线的画法是解决有关异面直线问题一个行之有效的方法. 7．△ABC 中，若∠ABC ＝4π， 2,3AB BC ==，则sin ∠BAC ＝ A.10B. 10C. 310D. 5【答案】C【解析】试题分析：由余弦定理得229223cos5,54b b π=+-⋅⋅⋅==.由正弦定理得35sin sin 4BAC π=∠，解得310sin 10BAC ∠=. 【考点】解三角形.8．有5个大小相同的球，上面分别标有1，2，3，4，5，现任取两个球，两个球序号相邻的概率是A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先确定任取两个球的总事件数，再确定两个球序号相邻的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.详解：因为从5个球任取两个球有10种方法，其中两个球序号相邻有4种，所以概率是选A.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.9．为了了解高一年级学生的体锻情况，学校随机抽查了该年级20个同学，调查他们平均每天在课外从事体育锻炼的时间(分钟)，根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为八组，分别是[0，5)，[5，10)，…[35，40]，作出的频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是A. B.C. D.【答案】B【解析】从题设中提供的频率分布直方图可算得在区间内各有个，答案A 被排除；在区间内有个；在区间内有个；在区间内有个；在区间内各有个，答案C 被排除；在区间内有个，答案D 被排除；依据这些数据信息可推知，应选答案B 。

点睛：解答本题的方法是根据题设中所提供的频率分布直方图提供的信息，先算出在不同区间内的个体的频数，再分别结合所给的茎叶图，对每个答案逐一进行分析推断，从而排除不合题设的答案，选出正确答案，使得问题获解。

10．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为 A. 0.5小时 B. 1小时 C. 1.5小时 D. 2小时 【答案】B【解析】试题分析：以A 为坐标原点建立直角坐标系，可知B （40，0），台风中心移动的轨迹方程为()0y x x =≥，点B 到射线()0y x x =≥的距离202302d ==<，故()22230202201-=，故B 城市处于危险区内的时间为1小时；【考点】解三角形的实际应用；11．△ABC 中，给出以下条件，有唯一解的是A. ，A＝30°B. ，A＝60°C. ，B＝120°D. . ，A＝60°【答案】B【解析】分析：先根据条件解对应三角形，根据解的个数进行选择.详解：因为，A＝30°，所以,B有两解；因为，A＝60°，所以，B有一解；因为，B＝120°，所以，无解因为，A＝60°，所以，无解因此选B.点睛：在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．12．同时投掷两枚骰子，计算向上的点数之和，则以下各数出现概率最大的是A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C【解析】分析：根据概率计算公式，只需确定向上的点数之和的次数最多的概率最大.详解：因为向上的点数之和为出现的次数分别为，所以7对应概率最大选C.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.13．某科研小组有20个不同的科研项目，每年至少完成一项。

有下列两种完成所有科研项目的计划：A计划：第一年完成5项，从第一年开始，每年完成的项目不得少于次年，直到全部完成为止；B计划：第一年完成项数不限，从第一年开始，每年完成的项目不得少于次年，恰好5年完成所有项目。

那么，按照A计划和B计划所安排的科研项目不同完成顺序的方案数量A. 按照A计划完成的方案数量多B. 按照B计划完成的方案数量多C. 按照两个计划完成的方案数量一样多D. 无法判断哪一种计划的方案数量多【答案】C【解析】分析：先分别按照计划确定完成的方案数量，再作比较.详解：因为按照A计划完成的方案数量为15个项目（去掉第一年5个项目）在5个列中排列数（要求左列数不小于右列数），按照B计划完成的方案数量为15个项目（去掉每一年至少一个项目）在5行中排列数（要求上行数不小于下行数），一样多，所以选C.A计划第一列第二列第三列第四列第五列第一年11111第二年第三年第四年…...第n年第n列B计划第一列第二列第三列第四列……第一年1第二年1第三年1第四年1第五年1点睛：两个计数原理在实际问题应用时，要注意不错不漏，分类科学易求.二、填空题14．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是___________.【答案】6.【解析】试题分析：因为采用分层抽样的方法抽取样本，所以粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别按比例进行抽取. 抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是【考点】分层抽样15．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表，s1、s2、s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则s1、s2、s3的大小关系是_________.甲的成绩乙的成绩丙的成绩环数7 8 9 10环数7 8 9 10环数7 8 9 10频数5 5 5 5频数6 4 4 6频数4 6 6 4【答案】.【解析】分析：先求平均数，再求标准差，最后比较大小.详解：因为，所以因为，所以因为，所以因此，点睛：.16．△ABC中，若，则A＝__________。

【答案】.【解析】分析：先根据得,再根据正弦定理化得B,即得A.详解：因为得，因为，所以根据正弦定理得所以点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.17．集合，集合，若任意A∪B 中的元素a，则A∩B的概率是________。