对数与对数函数1．对数指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( )(3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 133x 都是对数函数．( )(4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) (5)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1，0)且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( )A ．(0，1)B ．[0，1)C ．(0，1]D ．[0，1]解析：选B .因为y ＝x ln(1－x )，所以⎩⎨⎧x ≥0，1－x >0，解得0≤x <1.函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)解析：选D.设t ＝x 2－4，因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________．解析：lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1. 答案：－1(教材习题改编)函数y ＝loga (4－x )＋1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过点________．解析：当4－x ＝1即x ＝3时，y ＝log a 1＋1＝1. 所以函数的图象恒过点(3，1)． 答案：(3，1)对数式的化简与求值[典例引领]计算下列各式：(1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2； (2)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)．【解】 (1)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5 ＝2(lg 2＋lg 5)＝2.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＝54.[提醒] 对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log 212＝log 2[(－3)×(－4)]＝log 2(－3)＋log 2(－4)的错误．[通关练习]1．(优质试题·湖北省仙桃中学月考)计算2log 63＋log 64的结果是( ) A ．log 62 B ．2 C ．log 63D ．3解析：选B .2log 63＋log 64＝log 69＋log 64＝log 636＝2.故选B . 2．若x log 23＝1，则3x ＋3－x ＝( ) A.53 B.52 C.32D.23解析：选B.因为x log 23＝1，所以log 23x ＝1， 所以3x＝2，3－x ＝12， 所以3x＋3－x ＝2＋12＝52.故选B.3．化简12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝__________． 解析：12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝12×(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(lg 5＋2lg 7) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋12lg 5＋lg 7 ＝12lg 2＋12lg 5＝12lg(2×5)＝12. 答案：124．设2a＝5b＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________．解析：因为2a ＝5b ＝m >0，所以a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，所以1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.所以m 2＝10，所以m ＝10. 答案：10对数函数的图象及应用[典例引领](1)(优质试题·沈阳市教学质量检测(一))函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( )(2)(数形结合思想)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( ) A ．(0，22) B ．(22，1) C ．(1，2)D ．(2，2)【解析】 (1)函数f (x )的定义域为R ，由f (－x )＝ln[(－x )2＋1]＝ln(x 2＋1)＝f (x )知函数f (x )是偶函数，则其图象关于y 轴对称，排除C ；又由f (0)＝ln 1＝0，可排除B ，D .故选A .(2)构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在(0，12]上的图象，可知f (12)<g (12)，即2<log a 12，则a >22，所以a 的取值范围为(22，1)．【答案】 (1)A (2)B1.若本例(2)变为：方程4x ＝log a x 在⎝⎛⎦⎥⎤0，12上有解，求实数a 的取值范围．解：构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的图象(见例题(2)解析图象)，可知，只需两图象在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有交点即可，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即2≥log a 12，则a ≤22，所以a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤0，22.2.若本例(2)变为：若不等式x 2－log a x <0对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12恒成立，求实数a 的取值范围．解：由x 2－log a x <0得x 2<log a x ， 设f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝log a x ，要使x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，不等式x 2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当a >1时，显然不成立； 当0<a <1时，如图所示，要使x 2<log a x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立，需f 1(12)≤f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫122≤log a 12，解得a ≥116，所以116≤a <1.即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1.利用对数函数的图象可求解的两类热点问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．本例(2)充分体现四大数学思想，不等式4x <log a x 转化为两函数y ＝4x 和y ＝log a x 问题，还要对a 的取值再讨论．最后借助图象确定结果．[通关练习])1.已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是( ) A ．a>1，c>1 B ．a>1，0<c<1 C ．0<a<1，c>1 D ．0<a<1，0<c<1解析：选D.由对数函数的性质得0<a <1，因为函数y ＝log a (x ＋c )的图象在c >0时是由函数y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位得到的，所以根据题中图象可知0<c <1.2．已知函数f (x )＝log a (x ＋b )(a >0且a ≠1)的图象过两点(－1，0)和(0，1)，则log b a ＝________．解析：f (x )的图象过两点(－1，0)和(0，1)． 则f (－1)＝log a (－1＋b )＝0且f (0)＝log a (0＋b )＝1，所以⎩⎨⎧b －1＝1，b ＝a ，即⎩⎨⎧b ＝2，a ＝2.所以log b a ＝1.答案：13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a >1. 答案：(1，＋∞)对数函数的性质及应用(高频考点)对数函数的性质是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有．高考对对数函数性质的考查主要有以下三个命题角度： (1)比较对数值的大小； (2)解简单的对数不等式或方程； (3)对数型函数的综合问题．[典例引领]角度一 比较对数值的大小(优质试题·福州市综合质量检测)已知a ＝16ln 8，b ＝12ln 5，c ＝ln 6－ln 2，则( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．c <a <bD ．c <b <a【解析】 因为a ＝16ln 8，b ＝12ln 5，c ＝ln 6－ln 2，所以a ＝ln 2，b ＝ln 5，c ＝ln62＝ln 3.又对数函数y ＝ln x 在(0，＋∞)上为单调递增函数，由2<3<5，得ln 2<ln 3<ln 5，所以a <c <b ，故选B. 【答案】 B角度二 解简单的对数不等式或方程若loga (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A ．(0，1)B.⎝⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(0，1)∪(1，＋∞)【解析】 由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a ， 又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1，同时2a >1，所以a >12.综上，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 【答案】 C角度三 对数型函数的综合问题已知函数f (x )＝loga (x ＋1)－log a (1－x )，a >0，且a ≠1.。