对数函数
1．对数函数的定义：
函数 叫做对数函数，其中x 是自变量
（1）研究对数函数的图象与性质：
由于对数函数 与指数函数 互为反函数，所以 的图像和 的图像关于直线 对称。
（2）复习)10(≠>=a a a y x
且的图象和性质
2．对数函数的图像：
3．对数函数的性质：
a y log x =(a 0a 1)>≠且a y log x =x y a =a y log x
=x
y a =y x =
1．对数：
(1) 定义：如果N a b =)1,0(≠>a a 且，那么称 为 ，记作 ，其中a 称为对数的底，N 称为真数.
① 以10为底的对数称为常用对数，N 10log 记作___________．
② 以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称为自然对数，N e log 记作_________． (2) 基本性质：
① 真数N 为 (负数和零无对数)；② 01log =a ；③ 1log =a a ； ④ 对数恒等式：N a N a =log ． (3) 运算性质：
① log a (MN)＝___________________________； ② log a N
M ＝____________________________；
③ log a M n ＝ (n ∈R).
④ 换底公式：log a N ＝ (a >0，a ≠1，m >0，m ≠1，N>0)
⑤ log m
n
a a n
b b m = .
2．对数函数：
① 定义：函数 称为对数函数，
1) 函数的定义域为 ；2) 函数的值域为 ； 3) 当____ __时，函数为减函数，当_________时为增函数；
4) 函数x y a log =与函数 ______
)1,0(≠>=a a a y x 且互为反函数. ② 1) 图象经过点( )，图象在 ；2) 对数函数以 为渐近线(当
10<<a 时，图象向上无限接近y 轴；当1>a 时，图象向下无限接近y 轴)；
4) 函数y ＝log a x 与 的图象关于x 轴对称． ③ 函数值的变化特征：
经典例题透析
类型1：（求对数函数定义域与值域）1.N > 0 2. a > 0且 不= 1
例1、求下列函数的定义域：
（1） 2
a y log x = （2）
a y log (4x)
=- （3）2
(3x)y log x -=
变式练习1.
2. 求下列函数的定义域： （1） （2） （3） （4）
类型二、指数式与对数式互化及其应用
例1．： (1) (2)
：
举一反三：
【变式1】求下列各式中x 的值： (3)lg100=x (4)
类型二、利用对数恒等式化简求值（恒等式
）
例2 ．求值：
【变式1】求
的值(a ，b ，c ∈R +，且不等于1，N>0)
5y log (1x)
=-21y log x
=
7
1y log 13x
=-3y log x
=
类型三、积、商、幂的对数
① log a(MN)＝___________________________；
M＝____________________________；
② log a
N
③ log a M n＝(n∈R).
例3．已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式.
(1)lg9
(2)lg64
(3)lg6
(4)lg12
(5)lg5
(6) lg15
举一反三：
【变式1】求值
(1)(2)lg2·lg50+(lg5)2(3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2
【变式2】已知3a=5b=c，，求c的值.
【变式3】设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：.
【变式4】已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0. 求证：.
类型四、换底公式的运用
例4．(1)已知log x y=a，用a表示；
(2)已知log a x=m，log b x=n，log c x=p，求log abc x.
举一反三：
【变式1】求值：(1)；(2)；(3).
类型五、对数运算法则的应用
例5．求值
(1) log89·log2732
(2)
(3)
(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)
举一反三：
【变式1】求值：
【变式2】已知：log23=a，log37=b，求：log4256=?
类型6、函数图象问题
例7．作出下列函数的图象：
(1) y=lgx，y=lg(-x)，y=-lgx；(2) y=lg|x|；(3) y=-1+lgx.
类型7、对数函数的单调性及其应用
利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；
④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.
例8. 比较下列各组数中的两个值大小：
(1)log23.4，log28.5
(2)log0.31.8，log0.32.7
(3)log a5.1，log a5.9(a>0且a≠1)
举一反三：
【变式1】（2011 天津理7）已知则（）
A．B．C．D．
解析：另，，，在同一坐标系下作出三个函数图像，
由图像可得
又∵为单调递增函数，∴故选C.
9. 证明函数上是增函数.
思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法.
证明：设，且x1<x2 则
又∵y=log2x在上是增函数
即f(x1)<f(x2)
∴函数f(x)=log2(x2+1)在上是增函数.
举一反三：
【变式1】已知f(log a x)=(a>0且a≠1)，试判断函数f(x)的单调性.
解：设t=log a x(x∈R+，t∈R).当a>1时，t=log a x为增函数，若t1<t2，则0<x1<x2，
∴ f(t1)-f(t2)=，
∵ 0<x1<x2，a>1，∴ f(t1)<f(t2)，∴ f(t)在R上为增函数，
当0<a<1时，同理可得f(t)在R上为增函数.∴不论a>1或0<a<1，f(x)在R上总是增函数.
10．求函数y=(-x2+2x+3)的值域和单调区间.
解：设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4.∵ y=t为减函数，且0<t≤4，
∴ y≥=-2，即函数的值域为[-2，+∞.
再由：函数y=(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3>0，即-1<x<3.
∴ t=-x2+2x+3在-1，1）上递增而在[1，3)上递减，而y=t为减函数.
∴函数y=(-x2+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为[1，3.
类型7、函数的奇偶性
11. 判断下列函数的奇偶性. (1)(2).
(1)思路点拨：首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.
解：由
所以函数的定义域为：(-1，1)关于原点对称
又
所以函数是奇函数；
总结升华：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的
运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.
(2)解：由
所以函数的定义域为R关于原点对称
又
即f(-x)=-f(x)；所以函数.
总结升华：此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.
类型8、对数函数性质的综合应用
12．已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).
(1)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.
思路点拨：与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.f(x)的定义域为R，即关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R，这是不等式中的常规问题.
f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价的，因为这里要求f(x)取遍一切实数，即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，
使u能取遍一切正数的条件是.
解：(1)f(x)的定义域为R，即：关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R，当a=0时，此不等式变为2x+1>0，其解集不是R；
当a≠0时，有a>1.∴ a的取值范围为a>1.
(2)f(x)的值域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数a=0或
0≤a≤1，
∴ a的取值范围为0≤a≤1.
.。