五、平面向量
1、加法与减法的代数运算：
(1)向量加法满足：平行四边形法则------“同一起点”、三角形法则-------“首尾相接”。
向量减法满足：三角形法则------“同一起点，指向被减数” （2）若a =（11,y x ）,b =（22,y x ）则a ±b =（2121,y y x x ±±） 2、实数与向量的积：λa
(1)长度：︱λa ︱=︱λ︱·︱a ︱;
方向：当λ＞0时，λa 与a 同向；当λ＜0时，λa 与a 反向；当λ=0时，λa =0． (2)若a =（11,y x ），则λ·a =（11,y x λλ）． (3)两个向量共线的充要条件：
①向量b 与非零向量a 共线⇔有且仅有一个实数λ，使得b =λa ． ② 若a =（11,y x ）,b =（22,y x ）则a ∥b 01221=-⇔y x y x ． 3、向量的数量积：
(1)定义：a 与b 的数量积(或内积):a ·b =|a ||b |cos θ．(|b ︱cos θ称为向量b 在a 方向上的投影．) (2) 平面向量的坐标运算
(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --.
(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--
.
(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.
(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y + （3）设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则
(1)A ||b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=. (2) a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+= (3)︱a ︱=2
12
1y x a a +=
⋅; (4) cos θ
=
2
2
222
12
12
121y x y x y y x x +⋅
++．
（4）运算律：不满足消去律、乘法结合律 4．P 分有向线段21P P 所成的比：
(1)若点P 分有向线段21P P 成定比λ，则λ=2
1PP P P
(2)定比分点坐标公式：
若点),(),(),(222111y x P y x P y x P ，，，点P 分有向线段21P P 成定比λ，则
⎩
⎨⎧++=++=
λλλ
λ112121x x x y y y （λ≠－1）， 中点坐标公式：
⎩
⎨⎧+=+=
2
22
12
1x x x y y y ．
（3）若点),(),(2211y x B y x A ，则2
122
22)()(y y x x AB -+-=
(4)若),(),(),(332211y x C y x B y x A ，，，则△ABC 的重心G 的坐标是
⎪⎭
⎫
⎝⎛++++33321321y y y x x x ，
5:平移
1．平移公式：将),(y x F 按),(k h a =平移后得到)','('y x F ，则有⎩⎨⎧+=+=k
y y h x x ''
2: “按向量平移”的几个结论
(1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.
(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为
()y f x h k =-+. (3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为
()y f x h k =+-. (4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=. (5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y . 3:. 三角形五“心”向量形式的充要条件
设O 为A B C ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则 （1）O 为A B C ∆的外心2
2
2
O A O B O C ⇔== .
（2）O 为A B C ∆的重心0OA OB OC ⇔++=
.
（3）O 为A B C ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅
.
（4）O 为A B C ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=
.
（5）O 为A B C ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+
. 4、平面向量中一些重要结论要记熟。
（1）设三点A 、B 、C 不共线，若AC n AB m AP +=，则点P ∈直线BC ⇔1=+n m ；
特别地若BC t BP =，则AC t AB t AP )1(-+=。
（2）△ABC 的三顶点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，),(33y x C ，则其重心坐标为
)3
,
3
(
3
213
21y y y x x x G ++++； （3）△ABC 中，点P 是平面（空间中也成立）上任一点，0
=++PC PB PA 的充要条件是：点P
是△ABC 的重心。
（4）平行四边形ABCD 的四顶点为),(11y x A ，),(22y x B ，),(33y x C ，),(44y x D ，则一定有
4231x x x x +=+，4231y y y y +=+； (DC AB =)
※14. 三角形五“心”向量形式的充要条件
设O 为A B C ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则 （1）O 为A B C ∆的外心222
O A O B O C ⇔== .
（2）O 为A B C ∆的重心0OA OB OC ⇔++=
.
（3）O 为A B C ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅
.
（4）O 为A B C ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=
.
（5）O 为A B C ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+
.。