平面向量的数量积
1．两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过的乘法是有
区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆，如·a b ，不能写成ab
或a b ⨯．两向量的数量积的结果是数量，它的值为两个向量的模与两个向量的夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．
2．向量数量积的几何意义是：一个向量的长度
乘以另一个向量在其上的投影值．这个投影值可正、
可负、也可为零，向量的数量积的结果是一个实
数．当a ≠0时，由0a
b =·不能推出b =0，这是因为任一个与a 垂直的非零向量b ，都有0a b =·；若(0)≠，，a b
c b 为实数，则ab bc a c =⇒=；但对于向量来说，就不一定正确，如图，
可以看出，=··a
b b
c 但a c ≠． 3．两向量的数量积只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘
法结合律，即()a
b c ·不一定等于()a b c ·，这是由于()a b c ·表示一个与c 共线的向量，而()·a b c 表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线（由上图也可看出）．
4．两个非零向量的夹角，规定0πθ≤≤，应明确当0θ=时，a 与b 同向；当πθ=时，a 与b 反向；当90θ=，a 与b 垂直．
5．向量的坐标表示可以将平面内任一向量用一有序数对来表示，这样，向量就有两种表示方法：一种是几何法，即用向量的长度和方向表示，另一种就是坐标法，即用一对有序实数对表示．向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标，即若平面上有点1122()()，，，A x y B x y ，则向量
2121()AB x x y y =--，．
6．平面内两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即若=a 11()x y ，，
b =22()x y ，，则a b =·1212+x x y y ，这样就将向量的数量积运算转化为向量的坐标运算，把向量的数量积的两种表示方法相结合，即得a b 1212cos θ=+x x y y ，其左边
具有形的特征，右边显示数量化，可谓数形合一，并可由此推导出向量的长度（模）、两向量垂直及两向量夹角的坐标表示．
7．平面向量的坐标与该向量的始点、终点坐标无关，应把向量的坐标与点的坐标区别开来，只有始点在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等．两向量相等时其坐标是相同的，而起点、终点的坐标可以不同．所以向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．
8．在利用向量的数量积判断两向量的位置关系时应注意以下两点：
（1）0a
b =·不能推出a b ⊥，应强调a 与b 为非零向量． （2）非零向量a 与b 的夹角θ为钝角时0a
b <·，反之，0a b <·时，a 与b 的夹角θ不一定为钝角，原因是当πθ=时，0a
b <·；同理， a 与b 的夹角θ为锐角时，0a b >·，反之0a b >·时，a 与b 的夹角θ不一定为锐角，原因是当0θ=时，0a b a b =>·．。