若 0，则显然成立
若 0，
(a)与b；a与b；a与(b)的夹角分别是什
若 0,
(a)与b；a与b；a与(b)的夹角又是什么
（ 3）分配 (ab律 )c： acbc
如何验证？
可借助向量数量积的几何意义验证； 或通过向量数量积的坐标表示验证。
5、向量的数量积的几何意义
如图，作出│b │cosθ，并说出它的几何 意义；│a│cosθ的几何意义又是什么？
问题1:
我们学习了向量的哪些运算？ 这些运算的结果是什么？
平面向量的加法、减法和数乘三种运算； 运算的结果仍是向量
问题2: F
s 一个物体在力 F的作用下发生了位移 s，
那么该力对此物体所 做的功为多少？
W |F |s||co θs 其中力F和位移 s是向量， s 是F与 的夹角，而功 W是数量.
(2a)b ab0
两个重要的充要条件
3、向量的数量积的重要性质
|ab||a||b|成立?吗
（ 3） |ab||a||b|
a b
(4c)oθs
ab
2
(5)aa aaco0sa
2
2
即 a a
例2、填空
(1若 ) |a|1， 2|b|9， ab542, 则a与b的夹θ角 _1_35_0 ____
(2已 ) 知 AB， A CB a,ACb, 当 ab0时， AB为 C_直_角__三 __角 _ 形。
用向量的几何意义验证
（ 3）分配 (a律 b)c： acbc
向量a、b、a + b
b
在c上的投影分别是 OM、MN、 ON, 则
a a+b
(a + b) ·c = ON |c|
OM
Nc
= (OM + MN) |c|
= OM|c| + MN|c|
= a·c + b·c .
例3、证明
2
2
(1 )a ( b )2 a 2 a b b
如图所示，等边三角形ABC的边长为1，求
（1）AB与AC 的数量积； （2）AB与BC 的数量积；
C
A
B
3、向量的数量积的重要性质
已知 a,b均为非零向量 a与， b的且 夹角θ为
（ 1）当 a与 b同向,a时 b| a| | b| 当a与b反向,a时 b| a| | b|
即 a/b / ab|a|b ||
1、a b 不能写成 a b，且“”不能省略。
2、向量的数量积是一个数量,不是向量。
当 a ,b 为非零向量时，数量积的正负
由夹角余弦值决定。
3、规定 0a0
2
4、特别记 aaa
例1、已知| a|5,|b|4, (1)当a与b的夹角1是 200时，求 ab； (2当 ) ab时，求 ab； (3当 ) a//b时，求 ab.
5、向量的数量积的几何意义
(1)投影是一个数量，不是向量。
(2)当为锐角时投影为正值 OB1 当为钝角时投影为负值- OB1 当为直角时投影为0 当为0时投影为 b
当为时投影为- b
5、向量的数量积的几何意义
bB
O
θ |b|cosθ B1 a
A
两个向 a、 b量 的数量积是其向 中量 a的 的一 模 a与 个 另一个向 b在量 向a量 方向上的b投 co影 s的乘
立 ？
（ 4）数乘结 (a)合 b律 (a： b)a(b)
验证向量数量积的运算律
（1）交换律 ab：ba
a b ab c o b sa c o b s a
思考：
(ab)ca(bc) 能否对任意 a,b向 ,c都量成立？
即：向量数量积运算不满足结合律
（2） 数 乘 结 合 律 ：
(a)b(ab) a(b)
B
b
θ┐
O a B1 A
(1)
B
B
b
b
┐θ a
┓θ
a
B1 O A O(B1) A
(2)
（3）
5、向量的数量积的几何意义
B
b
θ┐
O a B1 A
B
B
b
b
┐θ a
┓θ
a
B1 O A O(B1) A
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(1)
2
bcosOB1
(2)
2
（3） 2
bcosO B 1 bcos0
│b│cosθ叫做向量 b 在向量 a 上的投影， │a │cosθ叫做向量 a 在向量 b 上的投影.
（2）这些运算律是否能适用于 向量的数量积的运算？
实数乘法（1）交换律 ab：ba
（ 2）结合 (ab律 )ca： (bc)
（ 3）分配 (ab律 )c： acbc
类比猜想
向量的数量积
是
（1）交换律 ab：ba
否 都
（ 2）结合 (a律 b)c： a(bc)
成
（ 3）分配 (ab律 )c： acbc
B
b
O
a
A
（ 1）若 0，则向 a与b量 方向相同；
a
Ob B
A
（ 2）若 ，则向 a与b量 方向相反；
b
a
B
O
A
即当 0或时，向 a与b量 互相平行
（3）若 ，则向 a与 量 b垂直B ，
2
b
记作 ab
O
a A
规定：零向量与其它向量的夹角可根据需要确定。
如图,等边三角形ABC中,求
求（1）AB与AC的夹角；
W |F |s||co θs
功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；
将公式中的力与位移推广到一般向量
结果是两个向量的模及其夹角余弦的乘积。
出现了向量的一种新的运算
1、向量的夹角
对于两个非 a、 b， 零如 向果 O 量 为以 起点
作OA a， OBb,那么射 O、 A线 O的 B 夹角
叫做向 a与量 向b的 量夹角， 0其 .中
(×)
2、 在 AB 中 C A， B B C 0， 则 AB 的 C形状
A、 锐角三角形
B、 直角三角形 （ D ）
C、 钝角三角形
新疆 王新敞
奎屯
D、 不能确定
3、 在 AB 中 C A， B B C 0， 则 AB 的 C形状
C
（ C）
A
B
4、向量的数量积的运算律
问题:
（1）实数乘法有哪些运算律？
（2）AB与BC的夹角。
C'
C
平移向量至
120 60
A
始点重合
1200
B
D
2、向量的数量积的定义
一般地，如果两个非零向量 a、b 的夹角 为 （ 0）那， 么我们把 |a|b ||coθs
叫做向量 a与b 的数量积，记作 a b ，
即
ab|a||b|coθs
B
b
O
a
A
向量的数量积的说明 ab|a||b|coθs
(3 已 ) 知 a满 向 a2 足 8 量 ，|a 则 |_2_2 __
1、已知 a, b, c 均为非零向量,试
判断下列说法是否正确？
(1)0a0 (×)
(2)0a0 ( × )
(3 )若 a b |a |b ||则 ,a /b /( √ )
(4)aaa2|a|2 ( √ )
(5)若ab0,则a与b中至少有一0个 . 为