1、随机过程()0,≥+=t Bt A t X ，其中A 和B 是独立随机变量，分别服从正态分布()1,0N 。
求()t X 的一维和二维分布。
答案：一维分布为 ()21,0t N +
二维分布是数学期望矢量为()
τ
0,0，协方差阵为⎥
⎦
⎤
⎢
⎣⎡++++222
1212
11111t t t t t t 的二维正态分布
2、设随机过程)(t X 只有两条样本曲线
t a w t X cos ),(1=
t a t a w t X cos )cos(),(2-=+=π， +∞<<∞-t
其中常数 0>a ，且 3
2)(1=
w P ，3
1)(2=
w P 。
试求)(t X 的一维分布函数)0(；x F ，
)
4
(π
；x F 和二维分布函数)4
,0,(21π
；
x x F 。
答案：⎪
⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧≥<≤-
-<=a x a x a a x x F 22,122
22,3
122
,0)4(π；
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨
⎧
≥
≥≥
<≤-<
≤-
-≥-
<-<=⎪⎭⎫ ⎝
⎛a
x a x a
x a x a a x a a x a
x a x x x F 22122,2
22
231
2
204,0;,2121212121和当和和当或当π
3、设一随机过程 X (t )=A cos(wt +Ф), t ∈R ，其中A 和w 都是常数，Ф~U [-π,π]。
试求：(1) X (t )的一维分布；(2) X (t )的数字特征。
答案：（1）一维概率密度为
R
t A
t x A t x A t x f t X ∈⎪⎩
⎪
⎨⎧
<<--=,
,
0)(,)(1))((2
2
)(其它
π
（2）R t t m X ∈=0
)(
R
t s s t w A
t s C X ∈-==
,)
(cos 2
),(2
R
t A
t t C t D X X ∈=
=2
),()(2
4、设随机过程)(t X 与)(t Y ，T t ∈不相关，试用它们的均值函数与协方差
函数来表示随机过程)()()()()()(t c t Y t b t X t a t Z ++=，T t ∈的均值函数和自协方差函数，其中)(t a 、)(t b 和)(t c 是普通的函数。
答案：)()()()()()(t c t m t b t m t a t m y X z ++= T t ∈
),()()(),()()(),(2121212121t t C t b t b t t C t a t a t t C Y X Z += T t t ∈21,
5、)(t S 是一个周期为T 的连续函数，Φ是服从区间],0[T 上均匀分布的随机变量，定义)()(Φ+=t S t X ，R t ∈。
试讨论)(t X 的平稳性。
答案：⎰
=
T
X u
u S T
t m 0
d )(1)(；⎰
+=
+T
X
u
u S u S T
t t R
d )()(1),(ττ；是平稳过
程
6、设随机过程)cos()(Φ+=
wt A t X ，R t ∈，其中A 为具有Rayleigh
分布的随机变量，其概率密度为
⎪⎩
⎪⎨⎧≤>-=000)2ex p()(22
2x x x
x x p ， ，σ
σ
>σ
式中Φ为服从区间]2,0[π上均匀分布的随机变量，且A 和Φ相互独立，试讨论)(t X 是否为平稳过程。
答案：+∞<<∞-=t t m X ,0)(；τστw t t R X cos ),(2=+；是平稳过程
7、已知平稳过程)(t X 的谱密度为
⎪⎩
⎪⎨⎧<-+=其它
,010),
10
1(20)(8)(w w
w w S X δ
试求自相关函数。
答案：
)5(sin 4
4
2
2
τπτ
π
+
8、设)(t X ，R t ∈为平稳过程，)(τX R 是其自相关函数，a 是常数，试问随机过程)()()(t X a t X t Y -+=是不是平稳过程？为什么？
答案：0)(=t m Y ；)()()(2),(a R a R R t t R X X X Y +---=+ττττ；是平稳过程 9、已知平稳过程)(t X 的自相关函数为
⎪⎩
⎪⎨⎧>≤-=T
T T
R X ττττ,0,
1)(
求谱密度。
答案：
2
sin
42
2
wT T
w
10、已知平稳过程)(t X 的相关函数为τττ0||cos e )(w R a X -=。
求谱密度。
答案：
2
02
2
02
)
()
(w w a a
w w a a
+++
-+
11、已知平稳过程)(t X 的谱密度为⎩⎨
⎧≤≤=其它
,
02||,
)(2a w a b w S X 。
求相关函数。
答案：
)sin 2(sin 2
ττπτ
a a b
-
12、 设R t t X ∈),(为复平稳过程，其谱密度为)(w S X ，又
R
t t w t X t y ∈Θ+=),cos()()(0，其中]2,0[~πU Θ。
试问：)(t Y 是否为平稳过程？
若为平稳过程，求)(t Y 的谱密度。
答案：,0)(=t m Y )cos()(2
1),(0τττw R t t R X Y =
+；是平稳过程。
)]()([4
1)(00w w S w w S w S X X Y ++-=
13、设随机过程R t t B t A t X ∈+=,sin cos )(，其中B A ,分别服从),0(2σN ，且相互独立，试研究)(t X 是否为平稳过程？是否各态历经？
答案：是平稳过程。
均值各态历经，相关函数不具有各态历经。
14、设马尔可夫链}0),({≥n n X 的状态空间为}3,2,1{=E ，初始概率分布为
4
1)0(1=
p ，2
1)0(2=
p ，4
1)0(3=
p ，一步转移概率矩阵为
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎣
⎡=434
1031313104341
P 试计算：(1)}2)2(,2)1(,1)0({===X X X P ； (2)}1)0(|2)2(,2)1({====X X X P ； (3)}1)0(|2)2({==X X P ；(4)}2)2({=X P ；(5)证明该链具有遍历性，并求其极限分布。
答案：(1)
16
1 ；(2) 4
1；(3) 16
7； (4) 39931.0；
(5) 极限分布为⎪⎭
⎫
⎝⎛=2512259254
，，π 15、在电报信号传输中，信号是由不同的电流符号C ，-C 给出，
且对任意的t ，⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-2121~
)(c c t X 。
而电流的发送又有一个任意的持续时间，电流变换符号的时间是随机的，设X(t)在[0,t)内的变号次数N(t)是强度为λ的Poisson 过程。
试讨论{X(t), t ≥0}的平稳性。
答案：0,0)(≥=t t m X ；无关与t C t t R X ,e ),(||22τλτ-=+
是平稳过程。