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随机过程习题答案

1、 已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程,且它们的均值分别为mx 和my ,它们的自
相关函数分别为Rx()和Ry()。

(1)求Z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数;(2)求Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数。

答案:
(1)[][])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z ττττ++=+=
[][]
)
()()()()()()()()(τττττy x z R R t y t y E t x t x E R t y t x =++==
:独立的性质和利用
(2)[]()()[])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z +⨯+++=+=ττττ
[])()()()()()()()(t y t y t x t y t y t x t x t x E ττττ+++++++= 仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质:)(2)()(τττy y x x z R m m R R ++=
2、 一个RC 低通滤波电路如下图所示。

假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n 0/2
的高斯白噪声。

(1)求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数;(2)求输出信号的一维概率密度函数。

答案:
(1) 该系统的系统函数为RCs
s X s Y s H +==11)()()( 则频率响应为Ω
+=ΩjRC j H 11)( 而输入信号x(t)的功率谱密度函数为2
)(0n j P X =Ω 该系统是一个线性移不变系统,所以输出y(t)的功率谱密度函数为:
()2
20212/)()()(Ω+=ΩΩ=ΩRC n j H j P j P X Y 对)(Ωj P Y 求傅里叶反变换,就得到输出的自相关函数:
()⎰⎰∞
∞-Ω∞
∞-ΩΩΩ+=ΩΩ=d e RC n d e j P R j j Y Y ττππτ22012/21)(21)( R C 电压:y(t)
电压:x(t) 电流:i(t)
(2) 线性系统输入为高斯随机过程,则输出也一定是高斯的。

因此,为了求输
出的一维概率密度函数,仅需知道输出随机过程的均值和方差即可。

均值:已知输入均值m x =0,则输出均值m y =m x H(0)=0
方差:2)()0(y Y m Y Var R +=
因为均值为0,所以方差()⎰∞
∞-ΩΩ+=
=d RC n R Y Var Y 22012/21)0()(π 一维PDF :略
3、 理想带通滤波器的中心频率为fc 、带宽为B ,其在通带的频率增益为1。

假定输入是均
值为0、双边功率谱密度函数为n 0/2的高斯白噪声。

(1)求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数;(2)求输出信号的平均功率;(3)求输出信号的一维概率密度函数。

答案:类似上一题,仅需注意的是:
(a) 此处滤波器的频率响应为⎩⎨⎧+≤Ω≤-=Ωotherwise B f B f j H c c 0)
2/(2)2/(2,
1)(ππ
(b) 平均功率等于功率谱密度函数的积分,也即等于输出信号y(t)的自相关在0=τ处
的值,即)0(Y R
4、 设x1(t)与x2(t)为零均值且互不相关的平稳随机过程。

x1(t)通过某个LTI 系统所得的
输出为y1(t),x2(t)通过同一个LTI 系统的输出为y2(t)。

试证明y1(t)与y2(t)互不相关。

答案:就是要证明y1(t)与y2(t)的协方差为0。

由于x1(t)与x2(t)为零均值,显而易见y1(t)与y2(t)的均值都为0。

所以,我们仅需要证明y1(t)与y2(t)的互相关为0。

设LTI 系统的单位冲激响应为h(t),则:
⎰∞

--=τττd h t x t y )()()(11 ⎰∞∞
--=τττd h t x t y )()()(22 所以有:
[][]⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞
∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=dv d v h h v t x t x E dv d v h h v t x t x E dv v h v t x d h t x E t y t y E τττττττττ)()()()()()()()()()()()()()(2
1212121
再利用x1(t)与x2(t)互不相关的性质,则有: [][][]0)()()()()()(2121=--=⎰⎰∞
∞-∞
∞-dv d v h h v t x E t x E t y t y E τττ,从而完成证明。

教材:和题 答案略。

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