一．填空题（每空2分，共20分）
1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为it (e -1)
e
λ。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为
1
(sin(t+1)-sin t)2
ωω。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为
1
λ
的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从Γ分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t
对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球
如果时取得红球如果t t t e t t X ,,
3
)(，则 这个随机过程的状态空间
2
12t,t,;e,e 33⎧⎫⎨⎬⎩⎭
L L 。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，
n 步转移矩阵(n)
(n)ij P (p )=，
二者之间的关系为(n)n
P P =。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，
n 步转移概率(n)ij
p ，三者之间的关系为(n)
j i ij i I
p (n)p p ∈=⋅∑。
8．在马氏链{}n X ,n 0≥中，记 {}
(n)
ij v n 0f P X j,1v n-1,X j X i ,n 1,=≠≤≤==≥
(n)ij ij n=1
f f ∞
=∑，若ii f 1<，称状态i 为非常返的。
9．非周期的正常返状态称为遍历态。
10．状态i 常返的充要条件为
(n)
ii
n=0
p
∞
=∑∞。
二．证明题（每题6分，共24分）
1.设A,B,C 为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式：P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
证明：左边=
P(ABC)P(ABC)P(AB)
P(C AB)P(B A )P(A)P(AB)P(A)
===右边
2.设{X (t ),t ³0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ³0}是一个马尔科夫过程。
证明：当12n 0t t t t <<<<<L 时，
1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤L =
n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x )≤L =
n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤L =n n P(X(t)x X(t )=x )≤
3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)
()(n-)ij ik kj
k I
p p p
l l ∈=
∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。
证明：{}
(n)
ij k I
P P X(n)=j X(0)=i P X(n)=j,
X(l)=k X(0)=i ∈⎧⎫
==⎨⎬⎩⎭U ={}k I P X(n)=j,X(l)=k X(0)=i ∈∑ =
{}{}k I
P X(l)=k X(0)=i P X(n)=j X(l)=k,X(0)=i ∈∑g =(l)(n-l)
ik kj
P
P ∑，其意义为n 步转移概率可以
用较低步数的转移概率来表示。
4.设{}N(t),t 0≥是强度为λ的泊松过程，{}k Y ,k=1,2,L 是一列独立同分布随机变量，且与
{}N(t),t 0≥独立，令N(t)
k k=1
X(t)=Y ,t 0≥∑，证明：若21E(Y <)∞，则[]{}1E X(t)tE Y λ=。
证明：由条件期望的性质[]{}
E X(t)E E X(t)N(t)=⎡⎤⎣⎦，而N(t)i i=1E X(t)N(t)n E Y N(t)n ⎡⎤
===⎡⎤⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
∑ =n i i=1E Y N(t)n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑=n i i=1E Y ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
∑=1nE(Y )，所以[]{}1E X(t)tE Y λ=。
三．计算题（每题10分，共50分）
1.抛掷一枚硬币的试验，定义一随机过程：cos t H X(t)=t T
π⎧⎨
⎩ ,t (-,+)∈∞∞，设1
p(H)=p(T)=2，
求（1）{}X(t),t (,)∈-∞+∞的样本函数集合；（2）一维分布函数F(x;0),F(x;1)。
解：（1）样本函数集合为{}cos t,t ,t (-,+)π∈∞∞； （2）当t=0时，{}{}1
P X(0)=0P X(0)=12
==
， 故0x<01F(x;0)=0x<12x 11⎧⎪⎪≤⎨⎪≥⎪⎩；同理0
x<-11
F(x;1)=1x<12x 11
⎧⎪⎪-≤⎨⎪≥⎪⎩
2.设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2分钟内到达的顾客不超过3人的概率。
解：设{}N(t),t 0≥是顾客到达数的泊松过程，2λ=，故{}k -4
(4)P N(2)=k e k!
=，则{}{}{}{}{}-4-4-4-4-4
3271P N(2)3P N(2)=0+P N(2)=1+P N(2)=2+P N(2)=3e 4e 8e e e 33
≤==+++
= 3.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。
又设今天下雨而明天也下雨的概率为α，而今天无雨明天有雨的概率为β；规定有雨天气为状态0，无雨天气为状态1。
设
0.7,0.4αβ==，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。
解：由题设条件，得一步转移概率矩阵为00
011011p p 0.70.3P=p p 0.40.6⎡⎤⎡⎤
=⎢
⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦，于是(2)0.610.39P PP=0.520.48⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，四步转移概率矩阵为(4)(2)(2)
0.57490.4251P P P 0.56680.4332⎡⎤==⎢⎥
⎣⎦
，从而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率为(4)
00P 0.5749=。
4.一质点在1,2,3三个点上作随机游动，1和3是两个反射壁，当质点处于2时，下一时刻处于1,2,3是等可能的。
写出一步转移概率矩阵，判断此链是否具有遍历性，若有，求出极限分布。
解：一步转移概率矩阵0101
11
P=33301
0⎡⎤⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
，
11
1333
(2)27119991
1133
3,⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
P P (2)ij p 由>0知，此链有遍历性；(),,ππππ123设极限分布=，
5.设有四个状态{}I=0123，，，的马氏链，它的一步转移概率矩阵1100221
1002
2
P=11
1144440
1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（１）画出状态转移图；
（２）对状态进行分类；
（３）对状态空间I 进行分解。
解：（1）图略；
（2）33303132p 1,p p p =而，，均为零，所以状态3构成一个闭集，它是吸收态，记{}1C =3；0，1两个状态互通，且它们不能到达其它状态，它们构成一个闭集，记{}2C =01，，且它们都是正常返非周期状态；由于状态2可达12C C ，中的状态，而12C C ，中的状态不可能达到它，故状态2为非常返态，记{}D=2。
（3）状态空间I 可分解为：12E=D C C ⋃⋃
四.简答题（6分）简述指数分布的无记忆性与马尔科夫链的无后效性的关系。
答：（略）
1
153313
515
1ππππππππππ==⎧⎧⎪⎪
=⇒=⎨⎨⎪⎪++==
⎩⎩112
3221233
方程组。