河北工业大学学报JOURNAL OF HEBEI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY第40卷第5期V ol.40No.52011年10月October 2011文章编号：1007-2373(2011)05-0031-05弹性压杆的大变形分析李银山，刘波，潘文波，侯书军（河北工业大学机械工程学院，天津300130）摘要建立了弹性压杆大变形的数学模型，采用Maple 编程求解了该数学模型，并对细长柔韧压杆弹性失稳后挠曲线形状进行了计算机仿真．分析计算了失稳后屈曲的力学特征，给出了解析表达式；分析计算了失稳后屈曲的平衡状态曲线的几何特征，给出了计算机仿真曲线．关键词细长弹性杆；大变形；分岔；Maple 中图分类号O343.9文献标志码AAnalysis of large deflection of flexible compression barsLI Yin-shan ，LIU Bo ，PAN Wen-bo ，HOU Shu-jun(School of Mechanical Engineering,Hebei University of Technology,Tianjin 300130,China )Abstract A mathematical model for large deflection of flexible bars is founded and then solved via Maple programming.The shape of the deflection curve of the slender flexible bar after buckling is given through computer simulation.Mech-anical character of instability after buckling is then analyzed and computed for its analytical expression;meanwhile,the curve's geometry in equilibrium case after buckling is also analyzed and computed for its simulated curve.Key wordsslender flexible bar;large deflection;bifurcation;Maple弹性细杆的平衡和稳定性问题起源于1730年Daniel Bernoulli 和Euler 的工作．弹性细杆的平衡和稳定性问题有着广泛的应用背景，如海底电缆和钻杆．由于在分子生物学中将弹性杆作为DNA 等生物大分子链的力学模型，这一经典力学问题在近30年内又重新引起注意[1-2]．2010年全国大学生数学建模邀请赛赛题，实质上就是一个细长弹性压杆大变形问题．本文采用Maple 对该问题给出了详细解答和计算机仿真．问题：对于某一均匀圆柱形细长弹性棒长为）的轴向压力．实验表明，当且仅当1时，棒才会发生弯曲．这个力=1时，棒的平衡状态如示意图1所示：棒的两个端点重合（假设棒仍处在弹性限度之内）．试建立数学模型来验证实验的结果．并且完成以下任务：I ）计算力学特征(i )临界力2/=//(单位：°)．1弹性压杆大变形的力学特征分析以一端固定并在自由端作用集中力超过临界压力时，杆件将发生大挠度弯曲变形．由弯曲理论知，曲率1=，曲率1的精确表达式是1=d，式收稿日期：2011-04-18基金项目：国家自然科学基金（10872063）作者简介：李银山（1961-），男（汉族），教授．图1两端弹性杆受压变形成封闭曲线Fig.1A closed deflection curve of a compressedflexible bar in free-freecase32河北工业大学学报第40卷中：算起的曲线长度；轴的夹角．负号是因为在图2所示情况下，的增加而减小．mn 截面上的弯矩则为，因此杆的平衡方程为d+2=È¡µ¼Êý£¬ÓÉÓÚd=sin2+=0(2)压杆在自由端的边界条件，ｄ|=0,=|=Ϊ2s i n2=sin£¬Ê¹sinsin=1=1£¬Çó³öÖµ£®¸ù¾Ý£¬ºÍ2sin2=2（7）这也就是压杆的临界压力．以上结果表明，当压杆刚开始失稳时，弯曲变形很小，欧拉公式是足够精确的．由式(6)和式(7)得到=42(8a)Óë±ÈÖµ之非线性关系见图3．表1中列出了最大转角/±È212sin2=2(9a )图2一端固定一端自由的理想弹性压杆的大变形示意图Fig.2A schematic diagram of large deflectionof an ideal compressed flexible barin fixed-freecase33李银山，等：弹性压杆的大变形分析第5期ｄ（９ｂ）其中挠度=42(10a)范围内的任一给定的与与=>=0的分支上平衡是不稳定的，而在另两个分支上平衡是稳定的．这两个分支完全是对称的，但实际上的平衡只能是沿着某一分支实现，并不具有对称性．该图揭示了系统平衡对参数之下判断平衡是否稳定，更不能只限于探求临界载荷变化的整个平衡路径（平衡路径又常称为平衡解曲线，或简称为解曲线）．在解曲线上发生分岔的点具有特殊的地位，如图3b)中的与比值，之间的关系．图3载荷比值与自由端位移之关系Fig.3Relation between the force ratio and the displacement at free enda)转角/之关系b)载荷比值与挠度值关系c)载荷与轴向位移之关系１．００．８０．６０．４０．２０－０．２－０．４－０．６－０．８－１．０１２３４５／／／１．００．８０．６０．４０．２０－０．２－０．４－０．６２０４０６０８０１００１２０１４０１６０１８０１．００．８０．６０．４０．２０－０．２－０．４－０．６－０．８－１－０．６－０．４－０．２００．２０．４０．６０．８１．０／34河北工业大学学报第40卷讨论竞赛问题I ，由于对称性，取一半杆长1=2．棒的两个端点重合时21=2.183．2柔韧压杆挠曲线封闭时平衡状态曲线的几何特征由dcos=d，dd2cos可以得d12sin 212sin2d=sin(11b )积分式(11)，得到２d212sin22d=1(13a)cos=(14a )(14b )并注意到式(10)和式(13)得到２，，（１５ａ）１ａｒｃｓｉｎ（１５ｃ）（１５ｄ）变动=2/0°1.000 1.000010° 1.0040.9920.0553820° 1.0150.9700.219430°1.0350.9320.324040° 1.0630.88100.422450° 1.1020.8170.312660° 1.1520.7400.593470° 1.2140.6550.662680°1.2940.55900.719490° 1.3930.4570.7625100° 1.5190.3480.7914110° 1.6780.2370.8052113.7°1.7490.19470.8063120° 1.8830.12300.8032130°2.1600.00800.7848130.7° 2.183000.7832140° 2.540-0.10740.7504150°3.104-0.22260.6980160°4.029-0.34040.6246170°5.948-0.47120.520180°35李银山，等：弹性压杆的大变形分析第5期根据=130.7°，=0.9089，=2.183，=0.3916．当==130.7°，＝２．１８３；而达到最大挠度时/=sin =arcsinsin．>z [i ]:=sin (phi [i ]):#．>K [i ]:=EllipticK (p [i ]):#第1类完全椭圆积分．>KK [i ]:=EllipticF (z [i ],p [i ]):#第1类椭圆积分．>E [i ]:=EllipticE (p [i ]):#第2类完全椭圆积分．>EE [i ]:=EllipticE (z [i ],p [i ]):#第2类椭圆积分．>u [i ]:=1/K [i ]*(2*EE [i ]-KK [i ]):#轴向位移值．>v [i ]:=2*p [i ]/K [i ]*(1-cos (phi [i ])):#挠度值．>od:#仿真循环结束．>plot ([seq ([v [i ],u [i ],theta =0..Pi ],i=1..8)]);#仿真曲线绘图．参考文献：[1]Manning R S ，Hoffman K A ．Stability of n-covered circles for an elastic rod with planar intrinsic curvature [J ]．Journal of Elasticity ，2001，62（1）：1-23．[2]刘延柱．弹性杆基因模型的力学问题[J ]．力学与实践，2003，25（1）：1．[3]李银山．Maple 材料力学[M ]．北京：机械工业出版社，2009．[4]刘鸿文．高等材料力学[M ]．北京：高等教育出版社，1985．[5]武际可，苏先樾.弹性系统的稳定性[M ]．北京：科学出版社，1994．[6]王晓艳，苏飞，张铮．弹性杆的大变形分析及全国数模大赛题的解答[J ]．力学与实践，2010，32（6）：945．[7]李银山．Maple 理论力学[M ]．北京：机械工业出版社，2006．[8]李银山，张明路，罗利军，等．回转窑两圆柱体任意交叉角接触压力系数计算[J ]．河北工业大学学报，2006，35（1）：1．［责任编辑张颖志］图7细长柔韧压杆弹性失稳后达到最大挠度时的挠曲线形状仿真Fig.7simulation of the shape of the maximum deflectioncurve of the slender flexible bar after bucklingin free-free case0.30.20.10-0.1-0.2-0.30.20.40.6。