《数学分析选讲》 第四次作业
一、判断下列命题的正误
1.若函数)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在],[b a 上有界. (正确)
2．若)(x f 在[,]a b 上可积，则2
()f x 在[,]a b 上也可积. (正确)
3．若)(x f 在区间I 上有定义，则)(x f 在区间I 上一定存在原函数. (错误) 4．若)(x f 为],[b a 上的增函数，则)(x f 在],[b a 上可积. (正确)
5．若)(x f 在],[b a 上连续，则存在[,]a b ξ∈，使()()()b a
f x dx f b a ξ=-⎰
.(正确)
二、选择题
1．对于不定积分⎰dx x f )( ,下列等式中（ A ） 是正确的.
A
)()(x f dx x f dx
d
=⎰； B ⎰=')()(x f dx x f ； C )()(x f x df =⎰
； D ⎰
=)()(x f dx x f d 2．若
⎰+=c e
x dx x f x
22)(，则=)(x f （ D ）
A x
xe 22 ； B x
e x 222 ； C x
xe 2 ； D )1(22x xe x
+
3．设5sin x 是)(x f 的一个原函数，则
⎰='dx x f )(（ B ）
A c x +-sin 5 ；
B c x +cos 5 ；
C 5sin x ；
D x sin 5-
4．若)(x f '为连续函数，则(41)'+=⎰f x dx （ A ）
A
1
(41)4
++f x c ；
B ()f x c +；
C (41)++f x c ；
D 4(41)++f x c 5．若
⎰+=c x
dx x f 2
)(，则⎰=-dx x xf )1(2（ D ）
A c x +-2
2)1(2 ； B c x +--2
2)1(2；
C c x +--
22)1(21 ； D c x +-22)1(21
6． =+⎰
x
dx
cos 1 （ C ）
A tan sec x x c -+ ；
B csc cotx x -+；
C tan
2x c + ； D tan()24
x π- 7．=-⎰
)d(e x x （
D ）
A c x x
+-e
； B c x x x +---e e ； C c x x +--e ； D c x x x ++--e e
8． 已知x e f x
+='1)( ，则=)(x f （ D ）
A 1ln x c ++ ；
B 212x x c +
+ ；
C 2
1ln ln 2
x x c ++ ； D ln x x c + 三、计算题
1．求不定积分(2)x x e e dx -⎰
.
解：(2)x x e e dx -⎰
=∫(e
2x
-2e x )dx=e 2x +2e x +C
2．求不定积分sin x xdx ⎰
． 解：解：C x x x dx x x x x xdx +-+=--=⎰
⎰22
1arcsin 1arcsin arcsin
3．求不定积分2
1
+⎰x dx x ． 解：2
1
x dx x -⎰= ∫ (x² - 1)/(x - 1) +1/(x-1)dx = ∫ {[(x - 1)(x + 1)]/(x - 1)+1/(x-1)} dx = ∫[ (x + 1)+ 1/(x-1)] dx = x²/2 + x +㏑|x-1|+ C
4．求不定积分⎰
dx .
解：令
u =，则22()21)u u u dx e u du e u e C C ==-+=+⎰⎰
四、证明题
设f 为连续函数.证明: 0
(sin )(sin )2x f x dx f x dx πππ
=
⎰
⎰
.
证 因f 在],[b a 上不恒等于零，故存在],[0b a x ∈，使得0)(0≠x f ，于是0)(02
>x f .
又因为f 在],[b a 上连续，由连续函数的局部保号性，存在0x 的某邻域),(00δδ+-x x （当
a x =0或
b x =0时，则为右邻域或左邻域），使得在其中02
)()(022
>>
x f x f . 从而 ⎰
⎰
⎰
⎰
++--++=b x x x x a
b a
dx x f dx x f dx x f dx x f δ
δδ
δ0000)()()()(22
2
2
0)(2
)
()(02022
0000>=>≥⎰
⎰
+-+-δδδ
δδ
x f dx x f dx x f x x x x .。