三角函数最值与值域专题三角函数的最值问题是高考的一个重要内容,要求掌握求三角函数最值的常见方法。

类型一：利用1cos 1sin ,≤≤x x 这一有界性求最值。

例1：求函数xx y sin 21sin --=的值域。

解：由xx y sin 21sin --=变形为(1)sin 21y x y +=+，知1y ≠-，则有21sin 1y x y +=+，21|sin |||11y x y +=≤+22221||1(21)(1)1y y y y +⇒≤⇒+≤++203y ⇒-≤≤，则此函数的值域是2[,0]3y ∈-例2,若函数cos y a x b =+的最大值是1，最小值是7-，求a,b练习：1，求函数1cos 3cos xy x-=+的值域 3][1-∞-∞（，，+）2,函数x y sin =的定义域为[a ，b]，值域为]21,1[-，则b-a 的最大值和最小值之和为bA ．34πB ．π2C ．38π D ．π4类型二：x b x a y cos sin +=型。

此类型通常可以可化为sin cos )y a x b x x ϕ=+=+求其最值（或值域）。

例1：求函数3sin 4cos ,(0,)2y x x x π=+∈的最值。

解：343sin 4cos 5sin(),cos ,sin 55(,),(3,5]2y x x x x y ϕϕϕπϕϕϕ=+=+==+∈+∈2,求函数)3sin()6sin(ππ++-=x x y （R x ∈）的最值。

解法:)12sin(2]4)6sin[(2)6cos()6sin(πππππ+=+-=-+-=x x x x y ，∴函数的最大值为2，最小值为2-。

练习：1,函数y=3sin(x+20°) +5sin(x+80°)的最大值是： （ c ） A 、215B 、216C 、7 D 、82,已知函数x x f 2sin )(=，)62cos()(π+=x x g ，直线x ＝t （t ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π）与函数f (x )、g (x )的图像分别交于M 、N 两点，则|MN |的最类型三：)0(sin sin 2≠++=a c x b x a y 型。

此类型可化为)0(2≠++=a c bt at y 在区间]1,1[-上的最值问题。

例1：求函数1sin 3cos 2++=x x y （R x ∈）的最值解：49)23(sin 1sin 3sin 122+--=++-=x x x y ∴函数的最大值为49，最小值为4325-例2：求函数1sin 3cos 2++=x a x y （R a ∈，R x ∈）的最大值。

解：1sin 3cos 2++=x a x y 转化为2sin sin 2y x x =-+配方得：①当123>a ，即332>a 时，在sinx=1，13max +=a y②当123-<a时，即332-<a时，在sinx=－1，13max+-=ay③当1231≤≤-a，即332332≤≤-a时，在ax23sin=时，2432max+=ay综上：2max1(332(41(ay a aa+>⎪⎪=+≤≤⎨⎪⎪+<⎪⎪⎩练习：函数θθπ则上的最大值为在区间,1],32[cos2sin)(2-+=xxxf的值是dA．0 B．3πC．2πD．—2π类型四：)0(cossinsin2≠+⋅+=acxxbxay型。

例：求函数)2474(cossin4sin3cos35)(22ππ≤<-+=xxxxxxf的最值，并求取得最值时x的值。

解：xxxxf2sin222cos1322cos135)(--++=∵2474ππ≤<x，∴436232πππ≤+<x，∴21)62cos(22-<+≤-πx∴()f x的最小值为2233-，此时247π=x，()f x无最大值。

练习：已知：212cos1siny x x x x R=⋅+∈，，求y的最大值及此时x的集合．解：∵212cos1siny x x x=⋅+1cos21521sin(2)4264xx xπ+=+=++，∴当sin(2)16xπ+=时，max157244y=+=．此时，2262x kπππ+=+，即6x kππ=+．所以y的最大值为74，此时x的集合为{|}6x x k k Zππ=+∈，．类型五：dxcbxaxf++=cossin)(型。

此类型最值问题可考虑如下几种解法：①转化为cxbxa=+cossin再利用辅助角公式求其最值；②采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。

例：求函数sincos2xyx=-的值域。

解法1：将函数sincos2xyx=-变形为cos sin2y x x y-=，∴sin()xφ+=由|sin()|1xφ+=≤22(2)1y y⇒≤+，解得：y≤≤[解法2：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx, sinx)与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。

作出如图得图象，当过Q点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sincos2xyx=-得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为[。

练习：求函数3cos 2sin 2)(--=θθθf 的最值。

3cos 1sin 2--=θθy ∴y/2即为单位圆上的点(cos θ，sin θ)与定点(3，1)连线的斜率，由数形结合可知y/2∈[0，3/4], ∴ y ∈[0，3/2]类型六：含有x x x x cos sin cos sin ⋅±与的最值问题。

解此类型最值问题通常令x x t cos sin ±=，x x t cos sin 212⋅±=，22≤≤-t ，再进一步转化为二次函数在区间上的最值问题。

例：求函数sin cos sin cos y x x x x =⋅++的最大值并指出当x 为何值时，取得最大值。

解法1：设t=sinx +cosx ，则)4sin(2π+=x t ∴]2,2[-∈t ∴)1(21cos sin 2-=t x x∴1)1(21)1(2122-+=+-=t t t y 221max +=y 。

解法2：)4sin(22sin 21cos sin cos sin π++=++⋅=x x x x x x y ，44x x ππθθ+=⇒=-，2111sin(2)cos 2sin 2222y πθθθθθθ=-+=-+=+-max 12y =练习：1,求函数(sin 2)(cos 2)y x x =--的最大、最小值．解：原函数可化为：sin cos 2(sin cos )4y x x x x =-++，令sin cos (||x x t t +=≤，则21sin cos 2t x x -=，∴2211324(2)222t y t t -=-+=-+．∵2[t =∉，且函数在[上为减函数，∴当t =时，即2()4x k k Z ππ=+∈时，min 92y =-t =32()4x k k Z ππ=-∈时，max 92y =+． 2,函数xx x x x f cos sin 1cos sin )(++=的值域是dA ．[][]12,11,12---- B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-212,212C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡---122,122D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-+-212,11,212 类型七:sin (0)sin by a x x xπ=+<<型（转化为对号函数）函数最值问题。

例：求函数xx x y 2sin sin 22sin 1+--=的最大、最小值xx x x y sin 11sin 111)sin 1(sin 12-+-=+--=∵1－sinx ≥0∴ y ≥0,当sinx=1时Y min =0,当1－sinx>0时,1－sinx+xsin 11-≥2, y max =1/2已知34ππ≤≤x ，则函数xx y cos )6sin(2+=π的最大值与最小值的和为 5+当04x π<<时,函数22cos ()cos sin sin xf x x x x =-的最小值4练习：1,已知(0,)x π∈，求函数y =2,当20π<<x 时，函数21cos28cos ()sin 2x xf x x -+=的最小值为 4类型八：条件最值问题。

例1：已知αβαsin 2sin 2sin 322=+，求βα22sin sin +=y 的取值范围。

解：∵αβαsin 2sin 2sin 322=+，∴ααβsin sin 23sin22+-=∵1sin 02≤≤β∴32sin 01sin sin 230sin sin 2322≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≥+-ααααα解得∵21)1(sin 21sin sin 21sin sin 2222+--=+-=+=αααβαy \ ∵32sin 0≤≤α∴sin α=0时，0min =y ； 32sin =α时，94max =y∴94sin sin 022≤+≤βα。

2,2sin cos ,cos sin 3x y x y =则的取值练习：1,已知Sinx+Siny=31，求Siny —cos 2x 的最大值942,已知22sin sin =+y x ，因式cos x +cos y 的最大值为A ．2B ．0C ．1414D ．214D类型九：其他问题例1：函数cos sin y x x x =-在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为 2,求函数x x y -+=1的最大值和最小值，并指出当x 分别为何值时取到最大值和最小值。

解：∵定义域为0≤x ≤1，可设x x 2cos =且20πθ≤≤θθ22sin cos 11=-=-x ，20πθ≤≤∴)4sin(2cos sin sin cos 22πθθθθθ+=+=+=y∵20πθ≤≤，∴4344ππθπ≤+≤，∴1)4sin(22≤+≤πθ即21≤≤y ∴当44ππθ=+或434ππθ=+，即θ =0或2πθ=（此时x=1或x=0），y=1；当2πθ+，即4πθ=时，（此时21=x ），2=y ，当x=0或x=1时，y 有最小值1；当21=x 时，y 有最大值2。

练习：1,求sin cos 2y x x =，[0,]2x π∈的最大值。

2a ，x ∈(,22ππ-)的解集非空，则参数a 的取值范围为 ．令tan x = m，则m∈R，∴原不等式化为a即a1．∴。