E
E10 sin 1 E20 sin 2 tan E10 cos1 E20 cos2
E20 φ2 φ
E10 φ1
1.3.4两列同频率、同向振动、反 向传播的平面波叠加——光驻波
主要内容
1.合成波的波函数
合成波的波函数 合成波的振幅分析和位相分析 特殊位相差时的合波函数分析
E ( z , t ) 2E10 cos( kz

2
)cos (t

2
)
(2)合成波的位相分布
合成波上在某一时刻任意点的振动相位都相同,即波 的相位与z无关,亦即不存在相位的传播问题。
E 0 ( z )cos(t ), 2 E ( z, t ) E ( z )cos(t ), 0 2
2.维纳驻波实验
1.3.4两列同频率、同向振动、反 向传播的平面波叠加——光驻波
一、两列波的叠加

两列波的波函数：
E1(z,t) E10 cos( kz ωt)
E2 (z, t ) E20 cos(kz t 0 )

若E10=E20 ,合成波：
空间项
时间项
E(z, t ) E1 (z, t ) E2 (z, t ) 2E10 cos(kz 0 2) cos(t 0 2)


振幅为零的点称为驻波的波节,两波节间距为λ/2。
振幅最大的点称为驻波的波腹,两波腹间距为λ/2。 k z z 2
n
1
n
2 n2>n1,
π位相跃变
当δ=0时
z处振幅为： 2E10 cos(kz)
当δ=π时
z处振幅为： 2E10 cos(kz 2)
δ0=π时合成波的振幅分布
2 2 I m E10 E20 2E10 E20 (E10 E20 )2

等强度面:δ相同的点的集合,中间强度值.
(cos 2 cos1 ) x (cos2 cos1 ) y (cos 2 cos 1 ) z 常数

概念：两列(或多列)相干波的交叠区称为干涉场， 将干涉场中光强随空间位置的分布称为干涉图样。
第1章 波动光学通论
1.3 波的叠加与分析
教学要求：
1.熟练掌握同频率、振动方向相同的几束光波的叠 加问题； 2.掌握光驻波的特点和规律，理解维纳实验的意义；
3.掌握两个频率相同、有一定位相关系、振动方向 互相垂直的简谐振动叠加规律；掌握光波的三 类偏振态； 4.理解光学拍现象，牢固掌握群速度和相速度的概 念。
干涉图样：三维空间中一族光强极大与极小相间排 列的平行平面。

说明：干涉场的强度变化亦具有空间周期性。
(3)空间周期性

光强分布在x,y,z方向的空间频率分别为
2 [(cos 2 cos1 ) x (cos 2 cos 1 ) y (cos 2 cos 1 ) z] 0
1.3.3两列同频率、同向振动的平面波叠加
主要内容 1.叠加场的强度表达式
2.干涉场的强度分布
3.空间周期性——频率表达式 4.强度分布周期——空间周期大小
（1）叠加场的强度表达式

设两列同频率简谐波复振幅分别为
~ ~ E1 (r ) E10 exp[i (k1 r 10 )], E2 (r ) E20 exp[i (k2 r 20 )]
相邻光强极大(或极小)平面的间距则为：
1 d f 2 sin( 2)
(5)相幅矢量加法：

相幅矢量：长度代表振动的振幅大小,它与ox 轴的夹角等于该振动的相位角。 利用相幅矢量的概念,通过简单的矢量求和运 算，也可以得到与前相同的结论。
2 2 2

E E10 E20 2E10 E20 cos(2 1 )
合成波的波函数：

合矢量与x轴正方向夹角：
Ey Ex E y 0 cos(kz t ) E x 0 cos(kz t )
tan

说明：E矢量在xy平面内的指向随着位置z和时间t而 变化。
2.光矢量E的时间变化(1)δຫໍສະໝຸດ 0,tanθ=Ey0/Ex0
合矢量方向 不随时间t和 空间位置z变化

表明：合成波上任意一点都作圆频率为ω的
简谐振动。
E ( z , t ) 2E10 cos( kz )cos (t ) 2 2
（1）合成波的振幅分布：
z处的振幅：E0 (z) 2E10 cos(kz 2) 合成波振幅不是常数,与各点坐标有关。

kz+δ/2=mπ, 振幅最大,为2E10。 kz+δ/2=(m+1/2)π, 振幅为零。
1.3.1 波的独立传播与叠加原理
一、波的独立传播定律： 两列光波在空间交迭时，它的传播互不 干扰，亦即每列波如何传播，就像另一 列波完全不存在一样各自独立进行，此 即波的独立传播定律。
二、波的叠加原理：

若波的独立传播定律成立，则当两列（或多列） 波同时存在时，在它们的交迭区域内每点的振 动是各列波单独在该点产生振动的叠加 根据：波动方程解的可加性 波的独立作用原理
(k 2 k1 ) r 20 10
（2）叠加场的强度分布

当δ=±2mπ(m=0,1,2…)时，相长干涉。
2 2 I M E10 E20 2E10 E20 (E10 E20 ) 2

当δ=±(2m+1)π(m=0,1,2…)时,相消干涉。


P点的合强度
为使该项具有不为零的稳定贡献，必须有：
(1) E10· E20≠0,即E10不垂直于E20；
(2)对给定点P,位相差δ(P)=φ2(P)-φ1(P)恒定,不
随时间而变化。
若：E10∥E20，E10· E20=E10E20
可得到光场中的光强分布为
2 2 I E10 E20 2E10 E20 cos

适用范围：真空、线性媒质 普通介质光强不太大时均可认为是线性媒质
(1) 光波在真空中总是独立传播的，从而服从叠加原 理。
(2)光波在其中服从叠加原理的媒质称为"线性媒质"。 在其中不服从叠加原理的媒质称为"非线性媒质"。
I ( P) I i ( P)
i 1 N

此时，对于非相干光波：
对于相干光波 ：
1 3 (1)t 0, ; (2)t , ; 4 4 3 (3)t ; (4)t ; 2 2 5 7 (5)t , 4 4
二、维纳(o.wiener)驻波实验：

维纳在1890年发表了著名的“维纳实验”结果。
存在 驻波
e l (2 sin )

z=0平面，tanθ=-(Ey0/Ex0)tan(ωt)，
随着t的增大,θ增大。 E末端轨迹：正椭圆 迎着光线方向看去,E逆时针旋转:左旋 若Ex0=Ey0,左旋圆偏振光。

左旋正椭 圆偏振光
(4) δ= -π/2
θ随着时间t和 空间位置z变化
E y E y0 tan(kz t ) tan E x E x0 E x E x 0 cos(kz t ) ( E x ) 2 ( E y ) 2 1 E y E y 0 sin(kz t ) E x0 E y0
fx fy fz cos 2 cos 1 cos 2 cos 1 cos 2 cos 1

f 2 x f1 x f 2 y f1 y f 2 z f1z


f f 2 f1
(4)条纹间距：
1 由于f1 = f2 = ， λ 2 θ 所以 f = sin λ 2
(cos(kz (cos(kz

2 2
) 0时) ) 0时)
说明： （1）两个波节之间，各点振幅不同，但振动步调一致； （2）每一波节两侧，各点步调相反，相当于位相反转。
E ( z , t ) 2E10 cos( kz

2
)cos (t

2
)
0 时不同时刻的驻波波形
tanθ是一个大于零的常数，E应位于一、三象限 内某一方向确定的直线上。——线偏光 合矢量的振幅为：
E E
2 x0

y
E
2 y0
Ey0
θ
E x Ex0

总强度为：
2 2 I Ex E 0 y0 I x I y
(2)δ=π, tanθ=-Ey0/Ex0

合矢量方向 不随时间t和 空间位置z变化
~ ~ ~ ~ ~* ~* I ( P) E ( P) E ( P) [ E1 ( P) E2 ( P)] [ E1 ( P) E2 ( P)] 2 2 E10 ( P) E20 ( P) 2 E10 E20 cos[ 2 ( P) 1 ( P)]
一、光矢量的时间变化
1.合矢量的表达式 两列振动相互垂直的同频率简谐波：
Ex (z, t ) Ex 0 cos(kz t ), E y (z, t ) E y 0 cos(kz t )

E(z, t ) Ex (z, t ) E y (z, t )
N ~ ~ E ( P) Ei ( P) i 1
1.3.2 同频率简谐波叠加的一般分析 及干涉概念
（1）叠加场的强度表达式

设两列同频率简谐波复振幅分别为 ~ ~ E1 ( P) E10 exp[i1 ( P)] E2 ( P) E20 exp[i2 ( P)] P点合振动的复振幅矢量 ~ ~ ~ E ( P) E1 ( P) E2 ( P)