专题四：功和能【知识梳理】一、功 1、功的定义： 一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生一段位移，我们就说这个力对物体做了功。

功是能量改变的量度。

2、公式：αcos FS W =功的正负：功是标量但有正负，当090≤<︒α时，力对物体做正功；90180︒<≤︒α时，力对物体做负功（物体克服某力做功，取正值）。

当︒=90α时，力对物体不功； 3、计算功的常用方法(1)用公式 W ＝Fs cos α计算功．该方法只能求恒力的功．该公式可写成 W ＝F ·(s ·cos α)＝(F ·cos α)·s ，即功等于力与力方向上位移的乘积或等于位移与位移方向上力的乘积．(2)用公式 W ＝Pt 来计算．该式一般用于求功率恒定但力变化的情况，例如恒定功率启动的汽车． (3)利用功能原理求功．该方法在考试中最常用，注意功是能量转化的量度，某个力做功对应某一能量转化，例如合外力的功对应物体动能的变化，重力做功对应重力势能的变化，电场力做功对应电势能的变化．(4)等值法求功．当求某个力的功比较困难(一般是变力)，且该力做功与某一力做功相同(一般是恒力)，可以用等值替代来求．例1、某物体同时受到三个力作用而做匀减速直线运动，其中 F 1 与加速度 a 的方向相同，F 2 与速度 v 的方向相同，F 3 与 速度 v 的方向相反，则A ．F 1对物体做正功B ．F 2对物体做正功C ．F 3对物体做正功D ．合外力对物体做负功【解析】因物体做匀减速运动，a 的方向与 v 的方向相反，故F 1对物体做负功，A 错；F 2与速度 v 方向相同，做正功，B 正确；F 3 与 v 方向相反，做负功，C 错误；做匀减速直线运动时，合外力的方向与运动方向相反，做负功，故 D 正确．例2、如图8－3所示，用恒力F 通过光滑的定滑轮，将静止于水平面上的物体从位置A 拉到位置B ，物体可视为质点，定滑轮距水平面高为h ，物体在位置A 、B 时，细绳与水平面的夹角分别为α和β，求绳的拉力F 对物体做的功．【解析】从题设的条件看，作用于物体上的绳的拉力T ，大小与外力F 相等，但物体从A 运动至B 的过程中，拉力T 的方向与水平面的夹角由α变为β，显然拉力T 为变力．此时恒力功定义式W=F ·S·cos α就不适用了．如何化求变力功转而求恒力功就成为解题的关键．由于绳拉物体的变力T 对物体所做的功与恒力F 拉绳做的功相等，根据力对空间积累效应的等效替代便可求出绳的拉力对物体做的功．解：设物体在位置A 时，滑轮左侧绳长为l 1，当物体被绳拉至位置B 时，绳长变为l 2，因此物体由A 到B ，绳长的变化量又因T=F ，则绳的拉力T 对物体做的功例3、质量为m 的物体放在光滑的水平面上，绳经滑轮与水平方向成α角，大小为F 的力作用下，如图所示，求使物体前进位移为S 的过程中对物体做的功。

（力F 的方向保持不变）。

【解析】本题要求物体前进S 的过程中力对物体做的功实际有两个力，一个是拉力F ，另一个是水平绳的拉力大小也为F ，应当分别求各力的功，再求代数和。

解：水平绳上拉力F 对物体做功 W 1=FS 斜向上拉力F 对物体做功为W FS 2=cos α所以对物体做的总功为W FS FS FS =+=+cos (cos )αα1【巩固练习】1、质量为 m 的小球，用长为l 的轻绳悬挂于O 点。

小球在水平拉力F 作用下，从平衡位置P 点很缓慢地移动到Q 点，如图所示，则拉力F 所做的功为（） A. mglcos θ B. mgl(1－cos θ) C. Flcos θD. Fl θ2、如图所示，质量为m 的物体在与水平方向成θ的恒力F 作用下以加速度a 做匀加速度直线运动，已知物体和地面间的动摩擦因数为μ，物体在地面上运动距离为x 的过程中力F 做功为 A ．μmgx B ．()θμxμg a m tan 1-+C ．()θμx μg a m tan 1+- D ．θμμmgx tan 1+3、两上质量不同的物体与水平面之间的动摩擦因数相同，它们以相同的初动能开始沿水平面滑动，以下说法中正确的是（ ） A ．质量小的物体滑行的距离较长 B ．质量大的物体滑行的距离较长C ．在整个滑动过程中，质量大的物体克服摩擦阻力做功较多D ．在整个滑动过程中，两物体克服摩擦阻力做功相同 4、如图所示，两个互相垂直的力F 1与F 2作用在同一物体上，使物体通过一段位移过程中，力F 1对物体做功4J ，力F 2对物体做功3J ，则力F 1与F 2的合力对物体做功为（ ）A. 7JB. 1JC. 5JD. 3.5J 5、如下图所示重物P 放在一长木板OA 上，将长木板绕O 端转过一个小角度的过程中，重物P 相对于木板始终保持静止关于木板对重物P 的摩擦力和支持力做功的情况是：（ ） A. 摩擦力对重物不做功 B. 摩擦力对重物做负功 C. 支持力对重物不做功 D. 支持力对重物做正功 二、功率1、定义：功和完成这些功所用的时间的比值叫功率。

公式：定义式：P W t= 导出式：P=Fv2、注意：①P W t=是t 时间内的平均功率，对P=Fv ，当v 为平均速度时P 为平均功率，当v 为即时速度时，P 为瞬时功率，使用P=Fv 时，F 与v 应在同一直线上，对于机车其中F 是牵引力（它不是阻力或合外力）。

当P 恒定时Fv 恒定。

②发动机的功率：额定功率P 0，发动机正常工作时的最大功率；实际功率P ，发动机在实际工作时的输出功率（也叫牵引力的功率）P F v 牵牵=，当F 牵不变时，实际功率P 与速度v 成正比，当P 牵不变时，F 牵与速度成反比；在牵引力与机械所受的阻力相等时，其速度最大，在任何情况都满足P 牵≤P 0。

12O A【巩固练习】6、以20m/s的水平速度从离地45m高处抛出一质量为1kg 的物体，不计空气阻力，则第２s内重力做功多少？第２s末重力的瞬时功率多大？7、质量为2×103 kg的汽车，发动机输出功率为30×103 W．在水平公路上能达到的最大速度为15 m/s，当汽车的速度为10 m/s时，其加速度为______m/s2．8、质量是2000kg、额定功率为80kW的汽车，在平直公路上行驶中的最大速度为20m/s.若汽车从静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为2m/s2，运动中的阻力不变.求：(1)汽车所受阻力的大小. (2)3s末汽车的瞬时功率(3)汽车做匀加速运动的时间(4)汽车在匀加速运动中牵引力所做的功.9、汽车发动机的额定功率为100 kW，汽车的质量为5 t，汽车在水平路面上行驶时，阻力是车重的0.1倍，g取10 m/s2.(1)汽车保持额定功率不变从静止启动，求：①汽车所能达到的最大速度是多大？②当汽车的加速度为1 m/s2时，速度是多大？③当汽车的速度为10m/s时，加速度是多大？(2)若汽车从静止开始，保持以1 m/s2的加速度做匀加速直线运动，这一过程的最大速度是多少？这一过程能维持多长时间？三、功能关系 一）、动能定理 1、动能的概念(1)物体由于运动而具有的能叫动能，动能的大小E k = mv 2，动能是标量，与速度的方向无关.(2)动能是状态量，也是相对量，应为公式中的v 为瞬时速度，且与参照系的选择有关.2、动能定理(1)动能定理的内容及表达式合外力对物体所做的功等于物体动能的变化. 即12K K K E E E W -=∆= (2)物理意义动能定理给出了力对物体所做的总功与物体动能变化之间的关系，即外力对物体做的总功，对应着物体动能的变化，变化的多少由做功的多来量度. 3、求功的三种方法(1)根据功的公式W = Fscos α(只能求恒力的功). (2)根据功率求功W ＝Pt (P 应是恒定功率或平均功率). (3)根据动能定理求功：21222121mv mv W -=(W 为合外力总功).二）、机械能守恒定律1、内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与重力势能可以相互转化，而总的机械能保持不变.2、表达式E 1=E 2或E k1+E P1=E K2+E P23、条件：只有重力或者弹簧的弹力做功三）、功能关系1、物体动能的增量由外力做的总功来量度：W 外=ΔE k ，这就是动能定理.2、物体重力势能的增量由重力做的功来量度：W G = -ΔE P ，这就是势能定理.3、物体机械能的增量由重力以外的其他力做的功来量度：W 其=ΔE 机，（W 其表示除重力以外的其它力做的功），这就是机械能定理.4、当W 其=0时，说明只有重力做功，所以系统的机械能守恒.例4、如图8-15-1所示，斜面倾角为α，长为L ，AB 段光滑，BC 段粗糙，且BC=2AB 。

质量为m 的木块从斜面顶端无初速下滑，到达C 端时速度刚好减小到零。

则物体和斜面BC 段间的动摩擦因数μ为： A ．αtan B ．cot α C ．αtan 23 D ．αtan 32【解析】对木块，在下滑全过程中除了受重力之外还有摩擦力作用，所以用动能定理，摩擦力做的功为－μ32 cos mgL α，重力做的功为mgLsin α，支持力不做功。

初、末动能均为零。

αμαμαtan 23:0cos 32sin ==-解得mgL mgL答案：C图8-15-121例5、如图5-4-2使一小球沿半径为R 的圆形轨道从最低点B 上升，那么需给它最小速度为多大时，才能使它达到轨道的最高点A ？【解析】运动过程只受重力作用运用机械能守恒定律以小球为研究对象.小球在轨道最高点时，受重力和轨道给的弹力. 小球在圆形轨道最高点A 时满足方程Rv mN mg A A 2=+ (1)根据机械能守恒，小球在圆形轨道最低点B 时的速度满足方程2221221BAmvR mg mv=+ (2)解(1)，(2)方程组得AB N m R gR v +=5当N A =0时,v B 为最小,v B =gR5.所以在B 点应使小球至少具有v B =gR5的速度,才能使小球到达圆形轨道的最高点A.【巩固练习】10、一个25kg 的小孩从高度为3.0m 的滑梯顶端由静止开始滑下，滑到底端时的速度为2.0m ／s 。

取g ＝10m ／s 2，关于力对小孩做的功，以下结果正确的是（ ） A ．合外力做功50J B ．阻力做功500J C ．重力做功500J D ．支持力做功50J11、两辆汽车在同一平直路面上行驶，它们的质量之比m 1∶m 2＝1∶2，速度之比v 1∶v 2＝2∶ 1.当两车急刹车后，甲车滑行的最大距离为l 1，乙车滑行的最大距离为l 2，设两车与路面 间的动摩擦因数相等，不计空气阻力，则 ( ) A ．l 1∶l 2＝1∶2 B ．l 1∶l 2＝1∶1 C ．l 1∶l 2＝2∶1 D ．l 1∶l 2＝4∶112、如图5－2－19所示，质量为M 、长度为l 的小车静止在光滑的水平面上．质量为m 的小物块(可视为质点)放在小车的最左端，现用一水平恒力F 作用在小物块上，使小物块从静止开始做匀加速直线运动物块和小车之间的摩擦力为F f ，小物块滑到小车的最右端时，小车运动的距离为x .在这个过程中，以下结论正确的是 ( )A ．小物块到达小车最右端时具有的动能为(F －F f )(l ＋x )B ．小物块到达小车最右端时，小车具有的动能为F f xC ．小物块克服摩擦力所做的功为F f (l ＋x )D ．小物块和小车增加的机械能为Fx13、质量为m 的物体，由静止开始下落，由于空气阻力，下落的加速度为g 54，在物体下落h的过程中，下列说法正确的是（ ）A ．物体动能增加了mgh 54B ．物体的机械能减少了mgh 54C ．物体克服阻力所做的功为mgh 51D ．物体的重力势能减少了mgh图5-4-2由动能定理分析连接体问题14、如图所示,m A =4kg,m B =1kg,A 与桌面间的动摩擦因数μ=0.2,B 与地面间的距离s=0.8m,A 、B 间绳子足够长，A 、B 原来静止，求：（1）B 落到地面时的速度为多大；（2）B 落地后,A 在桌面上能继续滑行多远才能静止下来。