第4章功和能4-1如图，质量为 m 的小球由长为I 的轻质细绳悬挂在天花板上 o 点，求小球沿圆弧从最低位置a 运动到细绳与竖直方向夹角为0的过程中重力mg 所做的功。

（不考虑空气阻力）r ndW G dr mg cos( )ds mgs in ds式中ds 是位移dr 所对应的圆弧，ds ld ，细绳与竖直方向夹角为°dW 0 mgl sin d = mgl (14-2 如图，一根长为I ，质量为M 的匀质木杆，其一端挂在一个光滑的水平轴上而静止在竖直位解方法一，建立如解用图1所示的直角坐标系，重力 Gr r rmgj ，位移 dr dxi dyjr r r rdW G dr ( mgj) (dxi细绳与竖直方向夹角为*方法二，如解用图yW dW o mgdy2 ，设质点位置与竖直方向夹角为dyj) mgdy mgy mgl (1 cos 0)rrn，重力G 与位移dr 的夹角为(-cos 0)习题4-1图习题4-1解用图1置。

现将细杆在拉力F的作用下，缓慢地从竖直位置拉到木杆与竖直方向成0角的位置。

求在此过程中重力矩所作的功(不考虑空气阻力)。

解如图，设刚体与竖直方向夹角为，此时重力矩M mg*sinl0 0 l重力矩做的功W o Md 0 mg —sin d mg—(1 cos 0) Array习题4-2解用图r4-3质量为5kg的质点在变力F的作用下沿空间曲线运动，其位矢r r r Ir 3 4 2 2r (2t t)i (3t t +8)j 12t k m。

求力F 的功率。

r dr 2r 3r r=(6t2 1)i (12t3 2t)j 24tk m/sdtr r d r r 2 r rF ma m 60ti (180t2 10)j 120k Ndtr r 53P F (2160t -120t +2960t )W4-4质量m 2 kg的质点在力作用下沿x轴运动，其运动方程为x t t3 m，求力在最初2.0秒内所做的功。

果物体在沿着x轴方向的作用力F 3 4x N的作用下运动了3米，计算物体处于3米处的速度和加速度各为多少?3解力F在3米内做的功W FdxF 15 / 2 彳 u /2a m/s 1.5m/sm 104-6质量为m的物体在阻尼介质中以低速作直线运动时，阻力近似为速度的线性函数km ，式中k是正常数。

试证明物体以初速度°开始运动到静止的过程中阻力所做的功正好等于物体损失的动能。

证物体开始时速度为0后来静止，则在此过程中损失的动能E k 0 1 2 m 0 2x阻尼力所做的功W fdx mk dx0 0由牛顿第二定律得, d d dx dmk m m一或dxdt dx dt k0 1 2代入功的表达式积分得W m d m 0 E k0 24-7质量分布均匀的柔软绳子,一部分置于光滑水平桌面，另一部分子沿桌边下垂,未找到引用源。

开始时下垂部分为错误！未找到引用源。

，绳初速度为零，试用动能定理求整个绳全部离开桌面时的速度（设绳不伸长）。

错误!未找到引用源。

时，绳子所受合力为m yg错误! 未dx 1 3t2 m/s dt d2xd26t m/s2 F ma 12t N力在最初 2.0秒内所做的功W F 2dt q 12t(123t )dt 168J方法二dx1 3t2m/s，(1) 1 m/s，(2) dt应用动能定理W 12 1 m⑵2m ⑴168J2 （） 213 m/s10kg的物体沿x轴无摩擦地运动，设t 0时，物体位于原点，速率为零。

如3o(3 4x)dx 27J根据质点的动能定理^m 20 W得22.32m/s m质点处于3米处的力F 15N，加速度绳全长为错误!解以整个绳子为研究对象，下垂部分为4-5 质量为m找到引用源。

若在此力作用下，绳子下移了错误！未找到引用源。

，则合力做的元功 错误！未找到引用源。

整个绳全部离开桌面时合力所做的功W dW : mpygdy 2L m g （L " L 0）血- L 0）错误！未找到引用源。

4-8 铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比。

在铁锤击第 一次时，能将小钉击入木板内 1cm ，问击第二次时能击入多深？假定铁锤两次打击时的速度相同。

解 由于铁锤质量远大于钉的质量，因此可以认为击钉后铁锤和钉具有相同的速度，即铁锤打击铁 钉时的速度。

铁锤能将小钉击入木板内，是由于铁锤的动能E k 全部转化为铁钉克服阻力所作的功，所以可将铁锤和小钉视作整体，作为研究对象。

阻力对它所作的功即为其动能的变化。

设木板对铁钉的阻力为 F kx ，第一次击入深度为 为，则阻力的功X iX|W 0 Fdx 0 kxdx设第二次打击钉后深度达 x 2，则阻力所做的功X 2W 2kxdxx i根据动能定理得力 F 所做的功由动能定理可得| 2 2k （x ；铁锤两次打击时的速度相同，w W 2，解得x 2 - 2为第二次击入深度为x 2 x 2x 1 x 1 0.41cm4-9 质量为m 的小球系在绳子的一端，绳穿过水平面上一小孔，使小球限制在一光滑水平面上运动，先使小球以速度 0绕小孔做半径为r 0的圆周运动，然后缓慢向下拉绳使圆周半径减小为 r 1，求力右所做的功。

解 小球在运动过程中，除受重力、支持力这一对平衡力外，还受绳子的拉力作用，拉力对小孔的力 矩为零，满足角动量守恒条件，设小球速度的大小变为 ，则r 0m 0r 1m或r2 2 2(r ° A 0 (2~r i4-10如图，长为I 、质量为m 的匀质细杆竖直放置，其下端与 一固定铰链o 相连并绕其无摩擦地转动，此杆因受到微小扰动在重力 作用下由静止开始绕 o 点转动。

以O 点为重力势能零点，当 角为何 值时刚体定轴转动的动能等于其重力势能。

解经分析知，刚体在绕铰链 o 点定轴转动的过程中，只有重力 做功，满足机械能守恒的条件，取O 点为势能零点。

1. 2 I 厂 I IJ mg — cos ，即 mg 2 mg — cos 2 2 2 2解得4-11长为I 、质量为M 的匀质木杆，一端挂在光滑的水平轴上，开始时静r止于竖直位置，现有一粒质量为m 的子弹以水平速度°从杆的中点穿过，穿岀r 一速度为，如图所示，求杆的最大摆角。

解选子弹和木杆组成的系统为研究对象，子弹和木杆相互作用过程角动量守刚体处于竖直位置EEk0E p0 0 mg 5，处在如图所 示位置时的角速度为，E E kE p1J 2 mglcos22I mg-!J2I mg — cos2 2 2刚体定轴转动的动能等于重力势能有600习题4-10图恒。

开始时，系统相对于0点的角动量L_0~ (_)m 0设相互作用后，木杆转动的角速度为，则系统的角动量L 】MI2 3 1 m 2L0 L得到(2)m0(2)m ’Ml2 3解得3m (2MI ( 0)Mg -sin0 2Mg? sin ，负号表示与转动方向相反，所做的功d Mg - (cos 1)木杆在摆动过程中(图示位置),所受重力矩为应用刚体定轴转动的动能定理得将式（1 ）代入上式，求得最大摆角Mg Q (cos 1) 0 1】MI22 3cos 1[13m2(4gM 2I( 04-12 如图，质量为m、长为I、初始角速度为的匀质细杆，可绕光滑垂直轴O在粗糙的水平桌面内定轴转动，设细杆与水平桌面间的摩擦系数为，求细杆在停止转动前所转过的角度。

解取0为正向，由习题3-12的结果知整个细杆所受的摩擦力矩为―”表示力矩使杆减速。

根据刚体定轴转动的动能定理MdE k E k。

得M =0 〔ml2解得4-13 如图，一半径为R、质量为m的匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。

设盘与桌面间的摩擦系数为，令圆盘最初以角速度0绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，求圆盘在停止转动前所转过的角度。

解取0为正向，由习题3-13的结果知整个圆盘所受的摩擦力矩为2 mgRM =—3-”表示力矩使盘减速。

根据刚体定轴转动的动能定理Md E k E k0 得M =0 ^mR 2 o4解得3R 0「0 12 D 6E p (r) E 0 (卫)2(卫) ，式中r 为两个原子间的距离。

试证明：(1)r 0为分子势能极小时的原子间距；(2)分子势能的极小值为 E 0 ；(3)当E p (r) 0时,4-14 质量为M 、长为I 的匀质细杆，可绕 光滑端点0自由转动，质量为m 的小球和细杆均 在摩擦系数为 的水平面上。

初速度为 0的小球与细杆另一端垂直相碰，设碰撞后小球弹回的速度 为。

求细杆从静止开始转动到转动停止时所转过 的角度。

解取细杆逆时针转动的角动量正方向， 设碰撞后细杆获得角速度为 m 0I J m(- )l解得由习题3-12的结果知整个细杆所受的摩擦力矩为3m(。

+ )Ml ―”表示力矩使杆减速。

设细杆转过的角度为解得M=-如2，则刚体定轴转动的动能定理得M 0 -〔Ml 2 22 33m 2( ° )2gM 2I4-15质点沿X 轴运动，势能为 E P (X )， 总能量为E 恒定不变。

开始时质点静止于原点，试证明质点到达坐标X 处所经历的时间ttdt0 X1 Xdx■dx E E p (x) /m证明 机械运动的总能量为EE P (X ) E k (X ) 1m 2E E p (x)对上式分离变量后积分，并注意到t 0时XttdtX1 dxE k (x)，得2 EE p (x) dx 或v ----------- —\ mdt0，则质点到达坐标X 处所经历的时间t 为Xdx4-16一双原子分子的势能函数为由相碰的过程角动量守恒原子间距为 r °. 62 o（3）解方程 E p （r ） 0，得r r °. 62质量m 、地球的半径R 、万有引力常量 G 和地球的质量 m e 来表示：（1）卫星的动能；（2）卫星的引力 势能；（3）卫星的总能量；（4）卫星对地心角动量的大小4-19试用机械能守恒定律重解习题4-7证明（1）令空dr0,得 r r o（2）将r r 0代入势能函数，得分子势能极小值E p (r o )E o4-17 质量为m 的地球卫星，在地球上空高度为3倍于地球半径R 的圆轨道上运动。

试用卫星的解（1）万有引力提供向心力，有mG m e m “ -m4R(4R)1 2 m e m E k-m G 」28R (2) 卫星的势能E pG m -m4R (3) 卫星的总能量E E kE pG m -m8R(4) 卫星对地心角动量的大小 L 4Rm 2m Gm -RGimm 4R卫星的动能4-18 如图，发射一宇宙飞船去考察一 质量为M 、半径为R 的行星，当飞船静止 于空间且距行星为4R 时，以速度0发射一质量为m （m M ）的仪器，要使仪器恰好掠着行星表面着陆， 角应是多少？着陆滑行初速度大小为多少？解 仪器处于行星的引力场中，仪器所受引力对行星中心的力矩为零，所以仪器对行星中心的角动 动量守恒。