大学物理
波动学基础
第4讲平面简谐波的能量
平面简谐波的能量
在波的传播过程中, 介质中各质元的能量如何变化？遵循怎样的规律？
平面简谐波的能量
波动的过程是能量传播的过程.
介质中各质点在各自平衡位置附近振动动能
介质间相互作用产生弹性形变势能
一、平面简谐波传播时媒质中体积元的能量
(一)能量
设平面简谐波在密度为ρ的弹性介质中沿 x 正方向传
播: ϕ = 0
⎟
⎠
⎞
⎜⎝⎛−=u x t A y ωcos 在 x 处取体积元 ΔV ,
质量为
V
x S m ∆==∆ρρd
当波传到此 ΔV 时, 有
⎟
⎠
⎞⎜⎝⎛−−=∂∂=u x t A t y ωωsin v 所以体积元动能为
()()⎟
⎠
⎞⎜⎝⎛−∆=∆=∆u x t A V m E ωωρ2
222k sin 2121v 经推导(略), 体积元弹性形变势能也为
()⎟
⎠
⎞⎜⎝⎛−∆=∆u x t A V E ωωρ2
22p sin 21
体积元的总能量为
()⎟
⎠⎞⎜⎝
⎛
−∆=∆+∆=∆u x t A V E E E ωωρ2
2
2
p
k sin (1)能量的传播 (2)
(2)周期性的变化
(二)能量变化同相位
形变最大、振速最大（势能最大、动能最大）
形变最小、振速为零
（势能为零、动能为零）
O
x
y
a
b
(三)振动与波动中能量变化的区别
振动: 能量守恒
波动: 能量传播过程
——时大时小, 不守恒 ——
(一)能量密度
单位体积内波的能量————
能量密度 w :()⎟
⎠
⎞⎜⎝⎛−=∆∆==u x t A V E t x ωωρ222sin ，w w 能量密度的平均值:
2
202
1d 1ω
ρA t T T ==∫w w 机械波的能量与振幅平方, 频率平方以及介质密度成
正比.
二、波的能量密度 能流密度
（二）能流和能流密度
能流: 单位时间内垂直于波线方向流过某一面积的能量.
uS
P w =平均能流：
uS
P w = 能流密度: 在单位时间内垂直于波线方向的单位面积
上通过的平均波的能量.
S
P I =
()u S
uS I ⋅=⋅=w w (1)大小:
(2)方向:
(3)单位：2
m
W −⋅(4)能流密度也称为波的强度。

能流密度为矢量, 其方向为波速的方向.
u A I 222
1ωρ=即
(三)球面波(点波源激发)
2
211I r I r ：： 单位时间内穿过这两个球
形面的总平均能量分别为
2
2
2
12
144I r I r ππ 以点O 为中心, r 1, r 2为半径, 作两个同心球形波面, 则
1
r O
2
r
因为无吸收, 由能量守恒定律得
2
2212144I
r I r ππ=所以21
2221r
r I I =即1
221r r A A =
则C
Ar r A r A ====L 2211即
r
C A =
C 为 r =1 时该处的振幅, 则球面波的波函数为
⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=ϕωu r t r C
y cos
解:
ωλπ
2=
=T T u Q π
2ωλ=∴u S
P w π
2ωλ=uS
P w = 例题 在截面积为 S 的圆管中, 有一列平面简谐波, 其波
动的表达式为
管中波的平均能量密度为 , , 则通过截面 S 的平均能流是多少?)
π2cos(λ
ωx
t A y −=w and。