第二十四章自主检测(满分：120分 时间：100分钟)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1．如图24-1，已知△ABC 是等边三角形，则∠BDC ＝( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°图24-1 图24-22．⊙O 的半径为8，圆心O 到直线l 的距离为4，则直线l 与⊙O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不能确定3．已知：如图24-2，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 是劣弧上不同于点C 的任意一点，则∠BPC 的度数是( )A ．45°B ．60°C ．75°D ．90°4．如图24-3，在平面直角坐标系中，⊙A 经过原点O ，并且分别与x 轴、y 轴交于B ，C 两点，已知B (8,0)，C (0,6)，则⊙A 的半径为( )A ．3B ．4C ．5D ．8图24-3 图24-45．如图24-4，EB 为半圆O 的直径，点A 在EB 的延长线上，AD 切半圆O 于点D ，BC ⊥AD 于点C ，AB ＝2，半圆O 的半径为2，则BC 的长为( )A ．2B ．1C ．1.5D ．0.56．圆内接四边形ABCD ，∠A ，∠B ，∠C 的度数之比为3∶4∶6，则∠D 的度数为( )A ．60°B ．80°C ．100°D ．120°7．一个圆锥的冰淇淋纸筒，其底面直径为6 cm ，母线长为5 cm ，围成这样的冰淇淋纸筒所需纸片的面积为( )A ．15π cm 2B ．30π cm 2C ．18π cm 2D ．12π cm 28．如图24-5，以等腰直角三角形ABC 两锐角顶点A ，B 为圆心作等圆，⊙A 与⊙B 恰好外切，若AC ＝2，那么图中两个扇形(即阴影部分)的面积之和为( )A.π4B.π2C.2π2D.2π图24-5 图24-69．如图24-6，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝10，D ，E 分别是AC ，AB 的中点，则以DE 为直径的圆与BC 的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定10．如图24-7，四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，AB ＝2，扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是( )图24-7A.2π3－32B.2π3－ 3 C ．π－32D ．π－ 3 二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)11．平面内到定点P 的距离等于4 cm 的所有点构成的图形是一个________．12．圆被弦所分成的两条弧长之比为2∶7，这条弦所对的圆周角的度数为__________．13．如图24-8，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB ＝3.5 cm ，则此光盘的直径是______cm.图24-8 图24-914．如图24-9，某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为________米．15．如图24-10，在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝2，以A 为圆心，1为半径的圆与边BC 相切，则∠BAC 的度数是________度．图24-10 图24-1116．如图24-11，一个圆心角为90°的扇形，半径OA ＝2，那么图中阴影部分的面积为(结果保留π)__________．三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题6分，共18分)17．如图24-12，⊙O 的半径OB ＝5 cm ，AB 是⊙O 的弦，点C 是AB 延长线上一点，且∠OCA ＝30°，OC ＝8 cm ，求AB 的长．图24-1218．如图24-13，AB是⊙O的直径，AC＝CD，∠COD＝60°.(1)△AOC是等边三角形吗？请说明理由；(2)求证：OC∥BD.图24-1319．如图24-14，在Rt△ABC中，AB＝10 cm，BC＝6 cm，AC＝8 cm，问以点C为圆心，r为半径的⊙C与直线AB有怎样的位置关系：(1)r＝4 cm；(2)r＝4.8 cm；(3)r＝6 cm.图24-14四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题7分，共21分)20．如图24-15，是某几何体的平面展开图，求图中小圆的半径．图24-1521．如图24-16，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于点M(0,2)，N(0,8)两点，求点P的坐标．图24-1622．如图24-17，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．(1)若∠AOD＝52°，求∠DEB的度数；(2)若OC＝3，OA＝5，求AB的长．图24-17五、解答题(三)(本大题共3小题，每小题9分，共27分)23．如图24-18，△ABC是⊙O的内接三角形，点C是优弧AB上一点(点C不与A，B 重合)，设∠OAB＝α，∠C＝β.(1)当α＝35°时，求β的度数；(2)猜想α与β之间的关系，并给予证明．图24-1824．已知：如图24-19，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF是过点C的⊙O的切线，AD⊥EF于点D.(1)求证：∠BAC＝∠CAD；(2)若∠B＝30°，AB＝12，求AC的长．图24-1925．如图24-20，已知AB为⊙O的直径，BD为⊙O的切线，过点B的弦BC⊥OD交⊙O于点C，垂足为点M.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)当BC＝BD，且BD＝6 cm时，求图中阴影部分的面积(结果不取近似值)．图24-20第二十四章自主检测1．B 2.B 3.A 4.C 5.B 6.C 7.A 8.B 9.A 10.B11．圆 12.40°或140° 13.7 3 14.8 15.105 16.π－217．解：过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则AD ＝BD . 在Rt △DOC 中，∠OCA ＝30°，OC ＝8 cm ， ∴OD ＝12OC ＝4(cm)． 在Rt △OBD 中，BD ＝OB 2－OD 2＝52－42＝3(cm)， ∴AB ＝2BD ＝6(cm)．18．(1)解：△AOC 是等边三角形．证明如下：∵AC ＝CD ，∴∠AOC ＝∠COD ＝60°.∵OA ＝OC (⊙O 的半径)，∴△AOC 是等边三角形．(2)证明：∵ AC ＝CD ，∴OC ⊥AD . 又∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即BD ⊥AD .∴OC ∥BD . 19．解：过点C 作CD ⊥AB 于点D .则CD ＝AC ·BC AB＝4.8(cm)． (1)当r ＝4 cm 时，CD ＞r ，∴⊙C 与直线AB 相离．(2)当r ＝4.8 cm 时，CD ＝r ，∴⊙C 与直线AB 相切．(3)当r ＝6 cm 时，CD ＜r ，∴⊙C 与直线AB 相交．20．解：这个几何体是圆锥，假设图中小圆的半径为r ， ∵扇形弧长等于小圆的周长，∴l ＝120180·π·8＝2·π·r . ∴r ＝83. 21．解：作P A ⊥MN ，交MN 于点A ，则MA ＝NA . 又M (0,2)，N (0,8)，∴MN ＝6.∴MA ＝NA ＝3.∴OA ＝5.连接PQ ，则PQ ＝OA ＝5.∴MP ＝5.∴AP ＝52－32＝4.∴点P 坐标为(4,5)．22．解：(1)连接OB .∵OD ⊥AB ，∴AD ＝DB . ∴∠AOD ＝∠BOD ＝52°.∴∠DEB ＝12∠BOD ＝12×52°＝26°. (2)∵OD ⊥AB ，∴AC ＝CB ，△AOC 为直角三角形． ∵OC ＝3，OA ＝5，∴AC ＝OA 2－OC 2＝52－32＝4.∴AB ＝2AC ＝8.23．解：(1)连接OB ，则OA ＝OB .∴∠OBA ＝∠OAB ＝35°. ∴∠AOB ＝180°－∠OAB －∠OBA ＝110°.∴β＝∠C ＝12∠AOB ＝55°. (2)α与β的关系是α＋β＝90°.证明如下：连接OB ，则OA ＝OB .∴∠OBA ＝∠OAB ＝α.∴∠AOB ＝180°－2α.∴β＝∠C ＝12∠AOB ＝12(180°－2α)＝90°－α. ∴α＋β＝90°.24．(1)证明：如图D93，连接OC ，图D93∵EF 是过点C 的⊙O 的切线，∴OC ⊥EF .又∵AD ⊥EF ，∴OC ∥AD .∴∠OCA ＝∠CAD .又∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠BAC .∴∠BAC ＝∠CAD .(2)解：∵OB ＝OC ，∴∠B ＝∠OCB ＝30°. 又∵∠AOC 是△BOC 的外角，∴∠AOC ＝∠B ＋∠OCB ＝60°.∵AB ＝12，∴半径OA ＝12AB ＝6. ∴AC 的长为l ＝60π·6180＝2π. 25．(1)证明：连接OC .∵OD ⊥BC ，O 为圆心，∴OD 平分BC .∴DB ＝DC .∴△OBD ≌△OCD (SSS)．∴∠OCD ＝∠OBD .又∵BD 为⊙O 的切线，∴∠OCD ＝∠OBD ＝90°. ∴CD 是⊙O 的切线．(2)解：∵DB ，DC 为切线，B ，C 为切点， ∴DB ＝DC .又∵DB ＝BC ＝6，∴△BCD 为等边三角形． ∴∠BOC ＝360°－90°－90°－60°＝120°， ∠OBM ＝90°－60°＝30°，BM ＝3.∴OM ＝3，OB ＝2 3.∴S 阴影部分＝S 扇形OBC －S △OBC＝120×π×(2 3)2360－12×6×3＝4π－3 3(cm 2)．。