中考数学高频考点专题突破与提升策略（二次函数）
考点一：二次函数图像信息题
一.解决函数图象问题的一般步骤:
1.弄清题意,分析函数自变量的取值范围及分段.
2.分析各段上的函数的变化趋势.
3.确定函数表达式,根据函数的图象与性质作出判断.
二．典型题专练
1. 如图,下列各曲线中能够表示y是x的函数的是( )
2. 小明从家到学校,先匀速步行到车站,等了几分钟后坐上了公交车,公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校.小明从家到学校行驶路程s(m)与时间
t(min)的大致图象是( )
3.如图,正方形ABCD的边长为2 cm,动点P,Q同时从点A出发,在正方形的边上,分别按A→D→C,A→B→C的方向,都以1 cm/s的速度运动,到达点C运动终止,连接PQ,设运动时间为x s,△APQ的面积为y cm2,则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是( )
4. 如图,在正方形ABCD中,AB=3 cm,动点M自A点出发沿AB方向以每秒1 cm 的速度运动,同时动点N自D点出发沿折线DC-CB以每秒2 cm的速度运动,到达B点时运动同时停止,设△AMN的面积为y(cm2),运动时间为x(秒),则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是 ( )
考点二：二次函数的图象和性质
=ax2+bx 1.已知a,b是非零实数,|a|>|b|,在同一平面直角坐标系中,二次函数y
1
与一次函数y
=ax+b的大致图象不可能是( )
2
2.抛物线y=x2+6x+7可由抛物线y=x2如何平移得到的( )
A.先向左平移3个单位,再向下平移2个单位
B.先向左平移6个单位,再向上平移7个单位
C.先向上平移2个单位,再向左平移3个单位
D.先向右平移3个单位,再向上平移2个单位
3.二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,有以下结
论:①3a-b=0;②b2-4ac>0;③5a-2b+c>0;④4b+3c>0,其中错误结论的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
4.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,若M=4a+2b,N=a-b.则M,N的大小关系为M N.(填“>”“=”或“<”)
5.一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图象的一个交点坐标为(1,2),另一个交点是该二次函数图象的顶点.
(1)求k,a,c的值.
(2)过点A(0,m)(0<m<4)且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图象相交于B,C两点,点O为坐标原点,记W=OA2+BC2,求W关于m的函数表达式,并求W的最小值.
考点三：二次函数的应用
一．利用二次函数解决实际问题的一般步骤: 1.先分析问题中的数量关系,列出函数表达式. 2.确定自变量的取值范围. 3.分析所得函数的性质. 4.解决提出的问题. 二．典型题专练
1. 运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出,足球飞行的路线是一条抛物线,不考虑空气阻力,足球距离地面的高度h(单位:m)与足球被踢出后经过的时间t(单位:s)之间的关系如下表:
下列结论:①足球距离地面的最大高度为20 m;②足球飞行路线的对称轴是直线t=9
2;③足球被踢出9.5 s 时落地:④足球被踢出7.5 s 时,距离地面的高度是11.25 m,其中不正确结论的个数是 ( ) A.1
B.2
C.3
D.4
2. 如图,一位运动员推铅球,铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是y=-1
12x 2+2
3x+5
3,则此运动员把铅球推出多远 ( )
A.12 m
B.10 m
C.3 m
D.4 m
3. 如图,某工厂大门是抛物线形水泥建筑,大门底部地面宽4米,顶部距地面的高度为
4.4米,现有一辆满载货物的汽车欲通过大门,其装货宽度为2.4米,该车要想通过此门,装货后的高度应小于( )
A.2.80米
B.2.816米
C.2.82米
D.2.826米
4. 如图,隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成,长方形的长OA是12 m,宽OC
x2+bx+c表示.在抛物是4 m.按照图中所示的平面直角坐标系,抛物线可以用y=-1
6
线形拱壁上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等,如果灯离地面的高度不超过8 m.那么两排灯的水平距离最小是 .
5. 如图,一铁杠长为1.6 m,两立柱高为2.2 m,将一根绳子的两端拴在立柱与铁杠的结合处,绳子自然下垂呈抛物线状. 一身高为0.7 m的小孩子站在离立柱0.4 m处,其头部刚好触到绳子,则绳子最低点到地面的距离为 .
6. “互联网+”时代,网上购物备受消费者青睐.某网店专售一款休闲裤,其成本为每条40元,当售价为每条80元时,每月可销售100条.为了吸引更多顾客,该网店采取降价措施.据市场调查反映:销售单价每降1元,则每月可多销售5条.设每条裤子的售价为x元(x为正整数),每月的销售量为y条.
(1)直接写出y与x的函数表达式.
(2)设该网店每月获得的利润为w元,当销售单价降低多少元时,每月获得的利润最大,最大利润是多少?
(3)该网店店主热心公益事业,决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生.为了保证捐款后每月利润不低于4 220元,且让消费者得到最大的实惠,该如何确定休闲裤的销售单价?
考点四：二次函数与一元二次方程的关系
一．二次函数与一元二次方程的关系:
1.以形定数,抛物线与x轴交点的横坐标是对应的一元二次方程的实数根;以数定形,求出方程ax2+bx+c=0的实数根,便得到抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标.
2.一元二次方程ax2+bx+c=m的解,即为二次函数y=ax2+bx+c在当y=m时的两点的横坐标.
二．典型题专练
1已知二次函数y=ax2+2ax-3的部分图象(如图),由图象可知关于x的一元二次方
程ax2+2ax-3=0的两个根分别是x
1=1.3和x
2
= ( )
A.-1.3
B.-2.3
C.-0.3
D.-3.3
2.若二次函数y=x2+bx-5的对称轴为直线x=2,则关于x的方程x2+bx-5=2x-13的解为.
3. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①b>0;②a-b+c=0;③一元二次方程ax2+bx+c+1=0(a≠0)有两个不相等的实数根;④当x<-1或x>3时,y>0.上述结论中正确的是.(填上所有正确结论的序号)
4. 在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时,甲写错了一次项的系数,列表如下:
乙写错了常数项,列表如下:
通过上述信息,解决以下问题:
(1)求原二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的表达式.
(2)对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当x 时,y的值随x的值增大而增大.
(3)若关于x的方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个不相等的实数根,求k的取值范围.
5. 已知二次函数y=x2+x+a的图象与x轴交于A(x
1,0),B(x
2
,0)两点,且1
x12
+1
x22
=1,
求a的值.
6. 已知二次函数y=a(x-m)2-a(x-m)(a、m为常数,且a≠0).
(1)求证:不论a与m为何值,该函数的图象与x轴总有两个公共点.
(2)设该函数的图象的顶点为C,与x轴交于A、B两点,与y轴交于点D.
①当△ABC的面积等于1时,求a的值;
②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时,求m的值.
考点五：二次函数综合应用
一．二次函数压轴题,一般遵循多问解答的形式,第一问是对基础知识的考查,如求表达式等,第二问是对知识点的应用或小的拓展,第三问是在前两问的基础上进行开放性探究. 二．典型题专练
1. 已知二次函数y=x 2+x+m,当x 取任意实数时,都有y>0,则m 的取值范围是( )
A.m ≥1
4 B.m>1
4
C.m ≤1
4
D.m<1
4
2. 已知二次函数y=(k-2)2x 2+(2k+1)x+1与x 轴有交点,则k 的取值范围是( ) A.k>4
3且k ≠2
B.k ≥4
3且k ≠2
C.k>4
3
D.k ≥3
4且k ≠2
3. 将二次函数y=x 2的图象先向下平移1个单位,再向右平移3个单位,得到的图象与一次函数y=2x+b 的图象有公共点,则实数b 的取值范围是 .
4. 如图,顶点为M 的抛物线y=ax 2+bx+3与x 轴交于A(3,0),B(-1,0)两点,与y 轴交于点C.
(1)求这条抛物线对应的函数表达式.
(2)问在y 轴上是否存在一点P,使得△PAM 为直角三角形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.
(3)若在第一象限的抛物线下方有一动点D,满足DA=OA,过D 作DG ⊥x 轴于点G,设△ADG 的内心为I,试求CI 的最小值.
5. 如图,顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-1,0),B两点,与y轴交于点C,过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D,作DE⊥x轴,垂足为点E,双曲线(x>0)经过点D,连接MD,BD.
y=6
x
(1)求抛物线的表达式.
(2)点N,F分别是x轴,y轴上的两点,当以M,D,N,F为顶点的四边形周长最小时,求出点N,F的坐标.
(3)动点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动,运动时间为t 秒,当t为何值时,∠BPD的度数最大?(请直接写出结果)。