一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0,6),B(6,0),C(﹣2,0),点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.(1)求抛物线的解析式;(2)当点P运动到什么位置时,△PAB的面积有最大值?(3)过点P作x轴的垂线,交线段AB于点D,再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E,连结DE,请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣12x2+2x+6;(2)当t=3时,△PAB的面积有最大值;(3)点P(4,6).【解析】【分析】(1)利用待定系数法进行求解即可得;(2)作PM⊥OB与点M,交AB于点N,作AG⊥PM,先求出直线AB解析式为y=﹣x+6,设P(t,﹣12t2+2t+6),则N(t,﹣t+6),由S△PAB=S△PAN+S△PBN=12PN•AG+12PN•BM=12PN•OB列出关于t的函数表达式,利用二次函数的性质求解可得;(3)由PH⊥OB知DH∥AO,据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°,结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形,则∠EDP=45°,从而得出点E与点A重合,求出y=6时x的值即可得出答案.【详解】(1)∵抛物线过点B(6,0)、C(﹣2,0),∴设抛物线解析式为y=a(x﹣6)(x+2),将点A(0,6)代入,得:﹣12a=6,解得:a=﹣12,所以抛物线解析式为y=﹣12(x﹣6)(x+2)=﹣12x2+2x+6;(2)如图1,过点P作PM⊥OB与点M,交AB于点N,作AG⊥PM于点G,设直线AB 解析式为y=kx+b ,将点A (0,6)、B (6,0)代入,得:660b k b =⎧⎨+=⎩, 解得:16k b =-⎧⎨=⎩, 则直线AB 解析式为y=﹣x+6,设P (t ,﹣12t 2+2t+6)其中0<t <6, 则N (t ,﹣t+6), ∴PN=PM ﹣MN=﹣12t 2+2t+6﹣(﹣t+6)=﹣12t 2+2t+6+t ﹣6=﹣12t 2+3t , ∴S △PAB =S △PAN +S △PBN=12PN•AG+12PN•BM =12PN•(AG+BM ) =12PN•OB =12×(﹣12t 2+3t )×6 =﹣32t 2+9t =﹣32(t ﹣3)2+272, ∴当t=3时,△PAB 的面积有最大值;(3)如图2,∵PH⊥OB于H,∴∠DHB=∠AOB=90°,∴DH∥AO,∵OA=OB=6,∴∠BDH=∠BAO=45°,∵PE∥x轴、PD⊥x轴,∴∠DPE=90°,若△PDE为等腰直角三角形,则∠EDP=45°,∴∠EDP与∠BDH互为对顶角,即点E与点A重合,则当y=6时,﹣12x2+2x+6=6,解得:x=0(舍)或x=4,即点P(4,6).【点睛】本题考查了二次函数的综合问题,涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等,熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.2.如图,在直角坐标系xOy中,二次函数y=x2+(2k﹣1)x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点.(1)求这个二次函数的解析式;(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B,使△AOB的面积等于6,求点B的坐标;(3)对于(2)中的点B,在此抛物线上是否存在点P,使∠POB=90°?若存在,求出点P 的坐标,并求出△POB的面积;若不存在,请说明理由.【答案】(1)y=x2﹣3x。
(2)点B的坐标为:(4,4)。
(3)存在;理由见解析;【解析】【分析】(1)将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值,从而求得抛物线的解析式。
(2)根据(1)得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标,也就求出了OA的长,根据△OAB 的面积可求出B 点纵坐标的绝对值,然后将符合题意的B 点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B 点的坐标,然后根据B 点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B 点是否符合要求即可。
(3)根据B 点坐标可求出直线OB 的解析式,由于OB ⊥OP ,由此可求出P 点的坐标特点,代入二次函数解析式可得出P 点的坐标.求△POB 的面积时,求出OB ,OP 的长度即可求出△BOP 的面积。
【详解】解:(1)∵函数的图象与x 轴相交于O ,∴0=k+1,∴k=﹣1。
∴这个二次函数的解析式为y=x 2﹣3x 。
(2)如图,过点B 做BD ⊥x 轴于点D ,令x 2﹣3x=0,解得:x=0或3。
∴AO=3。
∵△AOB 的面积等于6,∴12AO•BD=6。
∴BD=4。
∵点B 在函数y=x 2﹣3x 的图象上,∴4=x 2﹣3x ,解得:x=4或x=﹣1(舍去)。
又∵顶点坐标为:( 1.5,﹣2.25),且2.25<4,∴x 轴下方不存在B 点。
∴点B 的坐标为:(4,4)。
(3)存在。
∵点B 的坐标为:(4,4),∴∠BOD=45°,22BO 442=+=。
若∠POB=90°,则∠POD=45°。
设P 点坐标为(x ,x 2﹣3x )。
∴2x x 3x =-。
若2x x 3x =-,解得x="4" 或x=0(舍去)。
此时不存在点P (与点B 重合)。
若()2x x 3x =--,解得x="2" 或x=0(舍去)。
当x=2时,x 2﹣3x=﹣2。
∴点P 的坐标为(2,﹣2)。
∴22OP 222=+=∵∠POB=90°,∴△POB 的面积为:12PO•BO=12×2×2=8。
3.如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3,4).以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C.动点P从点A出发,以每秒12个单位的速度沿线段AD向点D运动,运动时间为t秒.过点P作PE⊥x轴交抛物线于点M,交AC 于点N.(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;(2)当t为何值时,△ACM的面积最大?最大值为多少?(3)点Q从点C出发,以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动,当t为何值时,在线段PE上存在点H,使以C、Q、N、H为顶点的四边形为菱形?【答案】(1)A(1,4);y=-x2+2x+3;(2)当t=2时,△AMC面积的最大值为1;(3)2085或20 13.【解析】(1)由矩形的性质得到点A的坐标,由抛物线的顶点为A,设抛物线的解析式为y=a(x -1)2+4,把点C的坐标代入即可求得a的值;(2)由点P的坐标以及抛物线解析式得到点M的坐标,由A、C的坐标得到直线AC的解析式,进而得到点N的坐标,即可用关于t的式子表示MN,然后根据△ACM的面积是△AMN和△CMN的面积和列出用t表示的△ACM的面积,利用二次函数的性质即可得到当t=2时,△AMC面积的最大值为1;(3)①当点H在N点上方时,由PN=CQ,PN∥CQ,得到四边形PNCQ为平行四边形,所以当PQ=CQ时,四边形FECQ为菱形,据此得到,解得t值;②当点H在N点下方时,NH=CQ=,NQ=CQ时,四边形NHCQ为菱形,NQ2=CQ2,得:,解得t值.解:(1)由矩形的性质可得点A(1,4),∵抛物线的顶点为A,设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+4,代入点C (3, 0),可得a =-1.∴y =-(x -1)2+4=-x 2+2x +3.(2)∵P (112t +,4), 将112x t =+代入抛物线的解析式,y =-(x -1)2+4=2144t -, ∴M (112t +,2144t -), 设直线AC 的解析式为,将A (1,4),C (3,0)代入,得:, 将112x t =+代入得, ∴N (112t +,), ∴MN, ∴, ∴当t =2时,△A MC 面积的最大值为1.(3)①如图1,当点H在N点上方时,∵N(112t +,),P (112t +,4), ∴P N=4—()==CQ ,又∵PN ∥CQ , ∴四边形PNCQ 为平行四边形,∴当PQ =CQ 时,四边形FECQ 为菱形,PQ 2=PD 2+DQ 2 =,∴, 整理,得240800t t -+=.解得12085t =-,22085t =+(舍去);②如图2当点H在N点下方时, NH=CQ=,NQ =CQ 时,四边形NHCQ 为菱形,NQ 2=CQ 2,得:.整理,得213728000t t -+=.()()1320400t t --=.所以12013t =,(舍去).“点睛”此题主要考查二次函数的综合问题,会用顶点式求抛物线,会用两点法求直线解析式,会设点并表示三角形的面积,熟悉矩形和菱形的性质是解题的关键.4.如图,抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B (1,0),与y 轴交于点C (0,3),其对称轴l 为x=﹣1.(1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标;(2)若动点P 在第二象限内的抛物线上,动点N 在对称轴l 上.①当PA ⊥NA ,且PA=NA 时,求此时点P 的坐标;②当四边形PABC 的面积最大时,求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标.【答案】(1)y=﹣(x+1)2+4,顶点坐标为(﹣1,4);(2)①点P 2﹣1,2);②P (﹣32,154) 【解析】试题分析:(1)将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式,由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式;(2)①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标,然后根据已知条件得到PD=OA ,从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标;②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形,表示出来得到二次函数,求得最值即可.试题解析:(1)∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B (1,0),与y 轴交于点C (0,3),其对称轴l 为1x =-,∴0{312a b c c b a ++==-=-,解得:1{23a b c =-=-=,∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++,∴顶点坐标为(﹣1,4);(2)令2230y x x =--+=,解得3x =-或1x =,∴点A (﹣3,0),B (1,0),作PD ⊥x 轴于点D ,∵点P 在223y x x =--+上,∴设点P (x ,223x x --+), ①∵PA ⊥NA ,且PA=NA ,∴△PAD ≌△AND ,∴OA=PD ,即2232y x x =--+=,解得x=21-(舍去)或x=21--,∴点P (21--,2);②设P(x ,y),则223y x x =--+,∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形=12OB•OC+12AD •PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x ⨯⨯⨯+++-=333222x y -+ =2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228x -++, ∴当x=32-时,ABCP S 四边形最大值=758,当x=32-时,223y x x =--+=154,此时P (32-,154).考点:1.二次函数综合题;2.二次函数的最值;3.最值问题;4.压轴题.5.如图1,二次函数234y ax ax a =--的图像与x 轴交于,A B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点()0,3C -.(1)求二次函数的表达式及点A 、点B 的坐标;(2)若点D 在二次函数图像上,且45DBC ABC S S =△△,求点D 的横坐标; (3)将直线BC 向下平移,与二次函数图像交于,M N 两点(M 在N 左侧),如图2,过M 作ME y ∥轴,与直线BC 交于点E ,过N 作NF y ∥轴,与直线BC 交于点F ,当MN ME +的值最大时,求点M 的坐标.【答案】(1)y =239344x x --,A (﹣1,0),B (4,0);(2)D 点的横坐标为22﹣2,2;(3)M (13,﹣113) 【解析】【分析】(1)求出a ,即可求解;(2)求出直线BC 的解析式,过点D 作DH ∥y 轴,与直线BC 交于点H ,根据三角形面积的关系求解;(3)过点M 作MG ∥x 轴,交FN 的延长线于点G ,设M (m ,34m 2﹣94m ﹣3),N (n ,34n 2﹣94n ﹣3),判断四边形MNFE 是平行四边形,根据ME =NF ,求出m +n =4,再确定ME +MN =﹣34m 2+3m +5﹣52m =﹣34(m ﹣13)2+6112,即可求M ; 【详解】(1)y =ax 2﹣3ax ﹣4a 与y 轴交于点C (0,﹣3),∴a =34, ∴y =34x 2﹣94x ﹣3, 与x 轴交点A (﹣1,0),B (4,0);(2)设直线BC 的解析式为y =kx +b ,∴403k bb+=⎧⎨=-⎩,∴343 kb⎧=-⎪⎨⎪=-⎩,∴y=34x﹣3;过点D作DH∥y轴,与直线BC交于点H,设H(x,34x﹣3),D(x,34x2﹣94x﹣3),∴DH=|34x2﹣3x|,∵S△ABC=1155323⨯⨯=,∴S△DBC=41552⨯=6,∴S△DBC=2×|34x2﹣3x|=6,∴x=2+22,x=2﹣22,x=2;∴D点的横坐标为2+22,2﹣22,2;(3)过点M作MG∥x轴,交FN的延长线于点G,设M(m,34m2﹣94m﹣3),N(n,34n2﹣94n﹣3),则E(m,34m﹣3),F(n,34n﹣3),∴ME=﹣34m2+3m,NF=﹣34n2+3n,∵EF∥MN,ME∥NF,∴四边形MNFE是平行四边形,∴ME=NF,∴﹣34m2+3m=﹣34n2+3n,∴m +n =4,∴MG =n ﹣m =4﹣2m , ∴∠NMG =∠OBC ,∴cos ∠NMG =cos ∠OBC =MG OBMN BC=, ∵B (4,0),C (0,﹣3), ∴OB =4,OC =3,在Rt △BOC 中,BC =5,∴MN =54(n ﹣m )=54(4﹣2m )=5﹣52m , ∴ME +MN =﹣34m 2+3m +5﹣52m =﹣34(m ﹣13)2+6112,∵﹣34<0, ∴当m =13时,ME +MN 有最大值,∴M (13,﹣113)【点睛】本题考查二次函数图象及性质,一次函数图象及性质;熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法,结合三角形的性质解题.6.如图1,在平面直角坐标系中,直线AB :y =kx +b (k <0,b >0),与x 轴交于点A 、与y 轴交于点B ,直线CD 与x 轴交于点C 、与y 轴交于点D .若直线CD 的解析式为y =﹣1k(x +b ),则称直线CD 为直线AB 的”姊线”,经过点A 、B 、C 的抛物线称为直线AB 的“母线”.(1)若直线AB 的解析式为:y =﹣3x +6,求AB 的”姊线”CD 的解析式为: (直接填空);(2)若直线AB 的”母线”解析式为:2142y x x =-+,求AB 的”姊线”CD 的解析式; (3)如图2,在(2)的条件下,点P 为第二象限”母线”上的动点,连接OP ,交”姊线”CD 于点Q ,设点P 的横坐标为m ,PQ 与OQ 的比值为y ,求y 与m 的函数关系式,并求y 的最大值;(4)如图3,若AB 的解析式为:y =mx +3(m <0),AB 的“姊线”为CD ,点G 为AB 的中点,点H 为CD 的中点,连接OH ,若GH AB 的”母线”的函数解析式.【答案】(1)1(6)3y x =+;(2)(2,0)、(0,4)、(﹣4,0);(3)当m =﹣32,y 最大值为338;(4)y =x 2﹣2x ﹣3. 【解析】 【分析】(1)由k ,b 的值以及”姊线”的定义即可求解;(2)令x =0,得y 值,令y =0,得x 值,即可求得点A 、B 、C 的坐标,从而求得直线CD 的表达式;(3)设点P 的横坐标为m ,则点P (m ,n ),n =﹣12m 2﹣m+4, 从而求得直线OP 的表达式,将直线OP 和CD 表达式联立并解得点Q 坐标,由此求得P Q y y ,从而求得y =﹣12m 2﹣32m+3,故当m =﹣32,y 最大值为338;(4)由直线AB 的解析式可得AB 的“姊线”CD 的表达式y =﹣1m(x+3),令x =0,得 y 值,令y =0,得x 值,可得点C 、D 的坐标,由此可得点H 坐标,同理可得点G 坐标, 由勾股定理得:m 值,即可求得点A 、B 、C 的坐标,从而得到 “母线”函数的表达式. 【详解】(1)由题意得:k =﹣3,b =6,则答案为:y =13(x+6); (2)令x =0,则y =4,令y =0,则x =2或﹣4,点A 、B 、C 的坐标分别为(2,0)、(0,4)、(﹣4,0), 则直线CD 的表达式为:y =12(x+4)=12x+2; (3)设点P 的横坐标为m ,则点P (m ,n ),n =﹣12m 2﹣m+4, 则直线OP 的表达式为:y =n mx ,将直线OP 和CD 表达式联立得122ny x my x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩, 解得:点Q (2438m m m --+,222838m m m m +-+-) 则P Q y y =﹣12m 2﹣32m+4, y =1P Q P Q Q y y y PQ OQ y y -==-=﹣12m 2﹣32m+3, 当m =﹣32,y 最大值为338; (4)直线CD 的表达式为:y =﹣1m(x+3), 令x =0,则y =﹣3m,令y =0,则x =﹣3, 故点C 、D 的坐标为(﹣3,0)、(0,﹣3m ),则点H (﹣32,﹣32m), 同理可得:点G (﹣32m ,32), 则GH 2=(32+32m )2+(32﹣32m)2=(5)2, 解得:m =﹣3(正值已舍去),则点A 、B 、C 的坐标分别为(1,0)、(0,3)、(﹣3,0), 则“母线”函数的表达式为:y =a (x ﹣1)(x+3)=a (x 2﹣2x ﹣3), 即:﹣3a =﹣3,解得:a =1,故:“母线”函数的表达式为:y =x 2﹣2x ﹣3. 【点睛】此题是二次函数综合题目,考查了“姊线”的定义,待定系数法求二次函数解析式,二次函数的最值问题,掌握二次函数的有关性质是解答此题的关键.7.如图,已知抛物线的图象与x 轴的一个交点为B (5,0),另一个交点为A ,且与y 轴交于点C (0,5)。