1、了解正多边形的概念，探究正多边形与圆的关系；
2、经历探索正多边形与圆的关系，理解正多边形的性质；
第一课时正多边形与圆知识点梳理
课前检测
1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比( )
A.扩大了一倍
B.扩大了两倍
C.扩大了四倍
D.没有变化
2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( )
A.3∶2∶1
B.4∶3∶2
C.4∶2∶1
D.6∶4∶3
3.正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴.
4.中心角是45°的正多边形的边数是__________.
5.已知△ABC的周长为20,△ABC的内切圆与边AB相切于点D,AD=4,那么BC=__________.
知识梳理
正多边形的定义：
各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形．
正多边形的相关概念：
⑴正多边形的中心角；⑵正多边形的中心；⑶正多边形的半径；⑷正多边形的边心距
正多边形的性质：
⑴正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形； ⑵正多边形都是轴对称图形，正n 边形共有n 条通过正n 边形中心的对称轴； ⑶偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心． 正多边形的有关计算 ⑴正n 边形的每个内角都等于
()2180n n
-⋅︒；
⑵正n 边形的每一个外角与中心角相等，等于
360n
︒
； ⑶设正n 边形的边长为n a ，半径为R ，边心距为n r ，周长为n P ，面积为n S ， 则222180180111
2sin
cos 422
n n n n n n n n n n n a R r R R r a P na S n r a r P n n ︒︒===+==⋅⋅=⋅，，，， 正多边形的画法
1.用量角器等分圆
由于在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆. 2.用尺规等分圆
对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.
第二课时 正多边形与圆典型例题
题型一、正多边形的概念
例1.填写下列表中的空格 正多边形边数 内角 中心角 半径
边长 边心距 周长
面积 3
23 4 1 6
2
变1.（1）若正n 边形的一个外角是一个内角的
3
2
时，此时该正n 边形有_________条对称轴. 典型例题
（2
）同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( ) A.
26 B.43 C.3
6
D.34
例2.已知一个正三角形与一个正六边形的周长相等，求它们的面积的比值．
解：设正三角形边长为a ，则其周长为C 1＝3a ，面积S 1＝a 2， 又设正六边形边长为b ，则周长为C 2＝6b ．面积S 2=b 2，
由C 1=C 2，知,a=2b,
∴S 1∶S 2=a 2∶b 2=b 2∶b 2=,
故它们的面积的比值为2∶3。

变2.若正三角形、正方形、正六边形和圆的周长都相等，那么____________的面积最大；若它们的面积都相等，那么_____________的周长最大．
题型二、正多边形的性质
例3.下面给出六个命题：
①各角相等的圆内接多边形是正多边形；②各边相等的圆内接多边形是正多边形； ③正多边形是中心对称图形；④各角均为120 的六边形是正六边形；
⑤边数相同的正n 边形的面积之比等于它们边长的平方比；⑥各边相等的圆外切多边形是正多边形 其中，错误的命题是_____________．
变3.（1）正n 边形内接于半径为R 的圆，这个n 边形的面积为23R ，则n 等于____________． （2）正八边形每一个外角是多数等于_______．N 边形每一个内角等于________． 例4.已知：如图在△RtABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝3，BC ＝4，分别以各边为直径在AB 同侧作半圆，求阴影部分的面积．
解：在Rt△ABC 中，∵AC＝3，BC ＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝5。

43
23
343233323
332
G
F
E D
C
B
O A 则图中阴影部分的面积为S 阴=π×()2+π×()2+×3×4-π×()2=+2π+6-=6
故图中阴影部分的面积为S 阴=6个（平方单位）．
变4.如图，两相交圆的公共弦AB 为32，在⊙O 1中为内接正三角形的一边，在⊙O 2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比。

题型三、正多边形的证明
例5.如图，△AFG 中，AF = AG ，∠FAG = 108°，点C 、D 在FG 上，且CF= CA ，DG = DA ，过点A 、C 、D 的⊙O 分别交AF 、AG 于点B 、E 。

求证：五边形ABCDE 是正五边形。

变5.如图，⊙O 的内接正五边形AB CDE 的对角线AD 与BE 相交于点M ，（1）请你仔细观察图形，并直接写出图中的所有等腰三角形；（2）求证：BM 2＝BE · ME ；（3）设 BE 、 ME 的长是关于 x 的一元二次方程x 2-2x+k ＝0的两个根，试求k 的值，并求出正五边形ABCDE 的边长．
2123212421212589π825π
5
第三课时 正多边形与圆课堂检测
1.正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为( ) A.
63 B.43 C.332 D.3
3
2.已知正多边形的边心距与边长的比为
2
1
，则此正多边形为( ) A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正十二边形 3.已知正六边形的半径为3 cm ，则这个正六边形的周长为__________ cm.
4.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于___________度.
5.如图2.6-2，两相交圆的公共弦AB 为23，在⊙O 1中为内接正三角形的一边，在⊙O 2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比.
课堂检测
图2.6-2
6.某正多边形的每个内角比其外角大100°，求这个正多边形的边数.
7.如图2.6-3，在桌面上有半径为2 cm的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？
图2.6-3
8.如图2.6-4，请同学们观察这两个图形是怎么画出来的？并请同学们画出这个图形(小组之间参与交流、评价).
图2.6-4
9.用等分圆周的方法画出下列图案：
图2.6-5
10.如图2.6-6(1)、2.6-6(2)、2.6-6(3)、…、2.6-6(n)，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON.
图2.6-6
(1)求图2.6-6(1)中∠MON的度数；
(2)图2.6-6(2)中∠MON的度数是_________，图2.6-6(3)中∠MON的度数是_________；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).。