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三角函数高考题及练习题(含标准答案)

三角函数高考题及练习题(含答案)————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:三角函数高考题及练习题(含答案)1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质;会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象;掌握函数y =Asin (ωx +φ)的图象及性质.2. 高考试题中,三角函数题相对比较传统,位置靠前,通常是以简单题形式出现,因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性,特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等).3. 三角函数是每年高考的必考内容,多数为基础题,难度属中档偏易.这几年的高考加强了对三角函数定义、图象和性质的考查.在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法,如函数法、待定系数法、数形结合法等.1. 函数y =2sin 2⎝⎛⎭⎫x -π4-1是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”)函数.答案:π 奇解析:y =-cos ⎝⎛⎭⎫2x -π2=-sin2x.2. 函数f(x)=lgx -sinx 的零点个数为________. 答案:3解析:在(0,+∞)内作出函数y =lgx 、y =sinx 的图象,即可得到答案.3. 函数y =2sin(3x +φ),⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的一条对称轴为x =π12,则φ=________.答案:π4解析:由已知可得3×π12+φ=k π+π2,k ∈Z ,即φ=k π+π4,k ∈Z .因为|φ|<π2,所以φ=π4.4. 若f(x)=2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0,π3上的最大值是2,则ω=________.答案:34解析:由0≤x ≤π3,得0≤ωx ≤ωπ3<π3,则f(x)在⎣⎡⎦⎤0,π3上单调递增,且在这个区间上的最大值是2,所以2sin ωπ3=2,且0<ωπ3<π3,所以ωπ3=π4,解得ω=34.题型二 三角函数定义及应用问题例1 设函数f(θ)=3sin θ+cos θ,其中角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x 轴非负半轴重合,终边经过点P(x ,y),且0≤θ≤π.(1) 若点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫12,32,求f(θ)的值;(2) 若点P(x ,y)为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≥1,x ≤1,y ≤1上的一个动点,试确定角θ的取值范围,并求函数f(θ)的最小值和最大值.解:(1) 根据三角函数定义得sin θ=32,cos θ=12,∴ f (θ)=2.(本题也可以根据定义及角的范围得角θ=π3,从而求出 f(θ)=2).(2) 在直角坐标系中画出可行域知0≤θ≤π2,又f(θ)=3sin θ+cos θ=2sin ⎝⎛⎭⎫θ+π6,∴ 当θ=0,f (θ)min =1;当θ=π3,f (θ)max =2.(注: 注意条件,使用三角函数的定义, 一般情况下,研究三角函数的周期、最值、单调性及有关计算等问题时,常可以先将函数化简变形为y =Asin (ωx +φ)的形式)如图,在平面直角坐标系xOy 中,以Ox 轴为始边作两个锐角α、β,它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点,已知A 、B 的横坐标分别为210、255.求:(1) tan (α+β)的值; (2) α+2β的值.解:由题意得cos α=210,cos β=255,α、β∈⎝⎛⎭⎫0,π2,所以sin α=1-cos 2α=7210,sin β=1-cos 2β=55, 因此tan α=7,tan β=12.(1) tan (α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β=7+121-7×12=-3.(2) tan (α+2β)=tan [(α+β)+β]=-3+121-(-3)×12=-1.又α+2β∈⎝⎛⎭⎫0,3π2,所以α+2β=3π4.题型二 三角函数的图象与解析式问题例2 函数f(x)=Asin (ωx +φ)(A 、ω、φ是常数,A>0,ω>0)的部分图象如图所示. (1) 求f(0)的值;(2) 若0<φ<π,求函数f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0,π3上的取值范围.解:(1)由题图可知A =2,∵ T 4=7π12-π3=π4,∴ ω=2.又2×7π12+φ=2k π+3π2,∴ φ=2k π+π3(k ∈Z ),∴ f(0)=2sin ⎝⎛⎭⎫2k π+π3=62.(2) φ=π3,f(x)=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3.因为0≤x ≤π3,所以π3≤2x +π3≤π,所以0≤sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3≤1,即f(x)的取值范围为[0,2].(注:本题主要考查正弦、余弦、正切函数及y =Asin (ωx +φ)的图象与性质以及诱导公式,运用数形结合思想,属于中档题)已知函数f(x)=Asin ωx +Bcos ωx(A 、B 、ω是常数,ω>0)的最小正周期为2,并且当x =13时,f(x)max =2.(1) 求f(x)的解析式;(2) 在闭区间⎣⎡⎦⎤214,234上是否存在f(x)的对称轴?如果存在,求出其对称轴方程;如果不存在,请说明理由.解:(1) 因为f(x)=A 2+B 2sin (ωx +φ),由它的最小正周期为2,知2πω=2,ω=π.又当x =13时,f(x)max =2,知13π+φ=2k π+π2(k ∈Z ),即φ=2k π+π6(k ∈Z ),所以f(x)=2sin ⎝⎛⎭⎫πx +2k π+π6=2sin ⎝⎛⎭⎫πx +π6(k ∈Z ).故f(x)的解析式为f(x)=2sin ⎝⎛⎭⎫πx +π6.(2) 当垂直于x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时,该直线就是正弦曲线的对称轴,令πx +π6=k π+π2(k ∈Z ),解得x =k +13(k ∈Z ),由214≤k +13≤234,解得5912≤k ≤6512.又k ∈Z ,知k =5,由此可知在闭区间⎣⎡⎦⎤214,234上存在f(x)的对称轴,其方程为x =163. 题型三 三角函数的性质与图象的移动问题例3 把函数f(x)=sin 2x -2sinxcosx +3cos 2x 的图象沿x 轴向左平移m 个单位(m>0),所得函数的图象关于直线x =17π8对称.(1) 求m 的最小值;(2) 证明:当x ∈⎝⎛⎭⎫-17π8,-15π8时,经过函数f(x)图象上任意两点的直线的斜率恒为负数;(3) 设x 1,x 2∈(0,π),x 1≠x 2,且f(x 1)=f(x 2)=1,求x 1+x 2的值.(1) 解:f(x)=sin 2x -2sinxcosx +3cos 2x =1-cos2x 2-sin2x +3·1+cos2x2=cos2x -sin2x+2=2cos ⎝⎛⎭⎫2x +π4+2.因为将f(x)的图象沿x 轴向左平移m 个单位(m>0),得到g(x)=2⎣⎡⎦⎤2(x +m )+π4+2的图象,又g(x)的图象关于直线x =17π8对称,所以2⎝⎛⎭⎫17π8+m +π4=k π,即m =(2k -9)4π(k ∈Z ). 因为m>0,所以m 的最小值为π4.(2) 证明:因为x ∈⎝⎛⎭⎫-17π8,-15π8,所以-4π<2x +π4<-7π2,所以f(x)在⎝⎛⎭⎫-17π8,-15π8上是减函数.所以当x 1、x 2∈⎝⎛⎭⎫-17π8,-15π8,且x 1<x 2时,都有f(x 1)>f(x 2),从而经过任意两点(x 1,f(x 1))和(x 2,f(x 2))的直线的斜率k =f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0.(3) 解:令f(x)=1,所以cos ⎝⎛⎭⎫2x +π4=-22.因为x ∈(0,π),所以2x +π4∈⎝⎛⎭⎫π4,9π4.所以2x +π4=3π4或2x +π4=5π4,即x =π4或x =π2.因为x 1、x 2∈(0,π),x 1≠x 2,且f(x 1)=f(x 2)=1,所以x 1+x 2=π4+π2=3π4已知函数f(x)=2sin ωx ,其中常数ω>0.(1) 若y =f(x)在⎣⎡⎦⎤-π4,2π3上单调递增,求ω的取值范围;(2) 令ω=2,将函数y =f(x)的图象向左平移π6个单位,再向上平移1个单位,得到函数y =g(x)的图象,区间[a ,b](a ,b ∈R 且a<b)满足:y =g(x)在[a ,b]上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的[a ,b]中,求b -a 的最小值.解:(1) 因为ω>0,根据题意有 ⎩⎨⎧-π4ω≥-π22π3ω≤π20<ω≤34.(2) f(x)=2sin2x ,g(x)=2sin2⎝⎛⎭⎫x +π6+1=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3+1,g(x)=0sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3=-12x =k π-π3或x =k π-712π,k ∈Z, 即g(x)的零点相邻间隔依次为π3和2π3,故若y =g(x)在[a ,b]上至少含有30个零点,则b -a 的最小值为14×2π3+15×π3=43π3.已知函数f(x)=3sin (ωx +φ)-cos (ωx +φ)(0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数y =f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1) 求f ⎝⎛⎭⎫π8的值;(2) 将函数y =f(x)的图象向右平移π6个单位后,得到函数y =g(x)的图象,求函数g(x)的单调递减区间.解:(1) f(x)=3sin (ωx +φ)-cos (ωx +φ)=2⎣⎡⎦⎤32sin (ωx +φ)-12cos (ωx +φ)=2sin ⎝⎛⎭⎫ωx +φ-π6.因为f(x)为偶函数,所以对x ∈R ,f(-x)=f(x)恒成立,因此sin ⎝⎛⎭⎫-ωx +φ-π6=sin ⎝⎛⎭⎫ωx +φ-π6,即-sin ωxcos ⎝⎛⎭⎫φ-π6+cos ωxsin ⎝⎛⎭⎫φ-π6=sin ωxcos (φ-π6)+cos ωx sin ⎝⎛⎭⎫φ-π6,整理得sin ωxcos ⎝⎛⎭⎫φ-π6=0.因为ω>0,且x ∈R ,所以cos ⎝⎛⎭⎫φ-π6=0.又0<φ<π,故φ-π6=π2.所以f(x)=2sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π2=2cos ωx.由题意得2πω=2×π2,所以ω=2,故f(x)=2cos2x ,因此f ⎝⎛⎭⎫π8=2cos π4= 2.(2) 将f(x)的图象向右平移π6个单位后,得到f ⎝⎛⎭⎫x -π6的图象,所以g(x)=f ⎝⎛⎭⎫x -π6=2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x -π6=2cos ⎝⎛⎭⎫2x -π3.当2k π≤2x -π3≤2k π+π(k ∈Z ),即k π+π6≤x ≤k π+2π3(k ∈Z )时,g(x)单调递减,因此g(x)的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π+π6,k π+2π3(k ∈Z ). 题型四 三角函数图象及性质、三角公式综合运用例4 已知函数f(x)=2sin 2⎝⎛⎭⎫π4+x -3cos2x -1,x ∈R .(1) 求f(x)的最小正周期;(2) 若h(x)=f(x +t)的图象关于点⎝⎛⎭⎫-π6,0对称,且t ∈(0,π),求t 的值;(3) 当x ∈⎣⎡⎦⎤π4,π2时,不等式|f(x)-m|<3恒成立,求实数m 的取值范围.解:(1)因为f(x)=-cos ⎝⎛⎭⎫π2+2x -3cos2x =2sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3,故f(x)的最小正周期为π.(2) h(x)=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +2t -π3.令2×⎝⎛⎭⎫-π6+2t -π3=k π(k ∈Z ),又t ∈(0,π),故t =π3或5π6. (3) 当x ∈⎣⎡⎦⎤π4,π2时,2x -π3∈⎣⎡⎦⎤π6,2π3,∴ f(x)∈[1,2].又|f(x)-m|<3,即f(x)-3<m <f(x)+3, ∴ 2-3<m <1+3,即-1<m <4.已知函数f(x)=Asin (ωx +φ)(A>0,ω>0,|φ|<π),在同一周期内,当x =π12时,f(x)取得最大值3;当x =712π时,f(x)取得最小值-3.(1) 求函数f(x)的解析式;(2) 求函数f(x)的单调递减区间;(3) 若x ∈⎣⎡⎦⎤-π3,π6时,函数h(x)=2f(x)+1-m 有两个零点,求实数m 的取值范围.解:(1) 由题意,A =3,T =2⎝⎛⎭⎫712π-π12=π,ω=2πT =2.由2×π12+φ=π2+2k π得φ=π3+2k π,k ∈Z .又 -π<φ<π,∴ φ=π3,∴ f(x)=3sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3.(2) 由π2+2k π≤2x +π3≤3π2+2k π,得π6+2k π≤2x ≤7π6+2k π,即π12+k π≤x ≤7π12+k π,k ∈Z . ∴ 函数f(x)的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π12+k π,7π12+k π,k ∈Z.(3) 由题意知,方程sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3=m -16在⎣⎡⎦⎤-π3,π6上有两个根.∵ x ∈⎣⎡⎦⎤-π3,π6,∴ 2x +π3∈⎣⎡⎦⎤-π3,2π3.∴ m -16∈⎣⎡⎦⎤-32,1,∴ m ∈[1-33,7).1. (2013·江西卷)设f(x)=3sin3x +cos3x ,若对任意实数x 都有|f(x)|≤a ,则实数a 的取值范围是________.答案:a ≥2解析:f(x)=3sin3x +cos3x =2sin ⎝⎛⎭⎫3x +π6,|f(x)|≤2,所以a ≥2.2. (2013·天津卷)函数f(x)=sin ⎝⎛⎭⎫2x -π4在区间⎣⎡⎦⎤0,π2上的最小值是________.答案:-223. (2013·全国卷)函数y =cos(2x +φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后,与函数y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3的图象重合,则|φ|=________.答案:5π64. (2014·北京卷)设函数f(x)=Asin (ωx +φ)(A 、ω、φ是常数,A>0,ω>0).若f(x)在区间⎣⎡⎦⎤π6,π2上具有单调性,且f ⎝⎛⎭⎫π2=f ⎝⎛⎭⎫2π3=-f ⎝⎛⎭⎫π6,则f(x)的最小正周期为________. 答案:π解析:由f(x)在区间⎣⎡⎦⎤π6,π2上具有单调性,f ⎝⎛⎭⎫π2=-f ⎝⎛⎭⎫π6知,函数f(x)的对称中心为⎝⎛⎭⎫π3,0,函数f(x)的对称轴为直线x =12⎝⎛⎭⎫π2+2π3=7π12,设函数f(x)的最小正周期为T ,所以12T ≥π2-π6,即T ≥2π3,所以7π12-π3=T 4,解得T =π. 5. (2014·福建卷)已知函数f(x)=cosx(sinx +cosx)-12.(1) 若0<α<π2,且sin α=22,求f(α)的值;(2) 求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.解:(解法1)(1) 因为0<α<π2,sin α=22,所以cos α=22.所以f(α)=22⎝⎛⎭⎫22+22-12=12.(2) 因为f(x)=sinxcosx +cos 2x -12=12sin2x +1+cos2x 2-12=12sin2x +12cos2x =22sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4,所以T =2π2=π.由2k π-π2≤2x +π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-3π8≤x≤k π+π8,k ∈Z .所以f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π-3π8,k π+π8,k ∈Z .(解法2)f(x)=sinxcosx +cos 2x -12=12sin2x +1+cos2x 2-12=12sin2x +12cos2x =22sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4.(1) 因为0<α<π2,sin α=22,所以α=π4.从而f(α)=22sin ⎝⎛⎭⎫2α+π4=22sin 3π4=12.(2) T =2π2=π.由2k π-π2≤2x +π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z .所以f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π-3π8,k π+π8,k ∈Z .6. (2013·北京卷)已知函数f(x)=(2cos 2x -1)sin2x +12cos4x.(1) 求f(x)的最小正周期及最大值;(2) 若α∈⎝⎛⎭⎫π2,π,且f(α)=22,求α的值.解:(1) 因为f(x)=(2cos 2x -1)sin2x +12cos4x =cos2xsin2x +12cos4x =12(sin4x +cos4x)=22sin ⎝⎛⎭⎫4x +π4,所以f(x)的最小正周期为π2,最大值为22. (2) 因为f(α)=22,所以sin ⎝⎛⎭⎫4α+π4=1.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2,π,所以4α+π4∈⎝⎛⎭⎫9π4,17π4,所以4α+π4=5π2,故α=9π16.(本题模拟高考评分标准,满分14分)设a>0,函数f(x)=asinxcosx -sinx -cosx ,x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2的最大值为G(A).(1) 设t =sinx +cosx ,x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2,求t 的取值范围,并把f(x)表示为t 的函数m(t);(2) 求G(A).解:(1) t =sinx +cosx =2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4.∵ x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2,∴ x +π4∈⎣⎡⎦⎤π4,3π4,∴ 22≤sin ⎝⎛⎭⎫x +π4≤1,∴ 1≤t ≤2,即t 的取值范围为[1,2].(3分)(另解:∵ x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2,∴ t =sinx +cosx =1+sin2x.由2x ∈[0,π]得0≤sin2x ≤1,∴ 1≤t ≤2)∵ t =sinx +cosx ,∴ sinxcosx =t 2-12,(5分)∴ m(t)=a·t 2-12-t =12at 2-t -12a ,t ∈[1,2],a>0.(7分)(2) 由二次函数的图象与性质得:① 当1a <1+22,即a>2(2-1)时,G(A)=m(2)=12a -2; (10分)② 当1a ≥1+22,即0<a ≤2(2-1)时,G(A)=m(1)=- 2.(13分)∴ G(A)=⎩⎪⎨⎪⎧12a -2,a>2(2-1),-2,0<a ≤2(2-1).(14分)1. 若π4<x <π2,则函数y =tan2xtan 3x 的最大值为________.答案:-8解析:令tanx =t ∈(1,+∞),y =2t 41-t 2,y ′(t)=-4t 3(t +2)(t -2)(1-t 2)2,得t =2时y 取最大值-8.2. 已知函数f(x)=2cos2x +sin 2x ,求:(1) f ⎝⎛⎭⎫π3的值;(2) f(x)的最大值和最小值.解:(1) f ⎝⎛⎭⎫π3=2cos 2π3+sin 2π3=-1+34=-14.(2) f(x)=2(2cos 2x -1)+(1-cos 2x)=3cos 2x -1,x ∈R .因为cosx ∈[-1,1],所以当cosx =±1时,f(x)取最大值2;当cosx =0时,f(x)取最小值-1.3. 已知A 为△ABC 的内角,求y =cos 2A +cos 2⎝⎛⎭⎫2π3+A 的取值范围.解: y =cos 2A +cos 2⎝⎛⎭⎫2π3+A =1+cos2A 2+1+cos2⎝⎛⎭⎫2π3+A 2=1+cos2A 2+12⎝⎛⎭⎫cos 4π3cos2A -sin 4π3sin2A=1+12⎝⎛⎭⎫12cos2A +32sin2A =1+12cos ⎝⎛⎭⎫2A -π3.∵ A 为三角形内角,∴ 0<A <π,∴ -1≤cos ⎝⎛⎭⎫2A -π3≤1,∴ y =cos 2A +cos 2⎝⎛⎭⎫2π3+A 的取值范围是[12,32].4. 设函数f(x)=-cos 2x -4tsin x 2cos x2+4t 3+t 2-3t +4,x ∈R ,其中|t|≤1,将f(x)的最小值记为g(t).(1) 求g(t)的表达式;(2) 讨论g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值.解:(1) f(x)=-cos 2x -4tsin x 2cos x2+4t 3+t 2-3t +4=sin 2x -2tsinx +4t 3+t 2-3t +3 =(sinx -t)2+4t 3-3t +3.由于(sinx -t)2≥0,|t|≤1,故当sinx =t 时,f(x)达到其最小值g(t),即g(t)=4t 3-3t +3.(2) g′(t)=12t2-3=3(2t+1)(2t-1),-1<t<1.列表如下:t ⎝⎛⎭⎫-1,-12-12⎝⎛⎭⎫-12,1212⎝⎛⎭⎫12,1g′(t) +0 -0 +g(t) 极大值极小值由此可见,g(t)在区间⎝⎛⎭⎫-1,-12和⎝⎛⎭⎫12,1上单调增,在区间⎝⎛⎭⎫-12,12上单调减,极小值为g⎝⎛⎭⎫12=2,极大值为g⎝⎛⎭⎫-12=4.11。

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