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(完整版)等差数列专题

等差数列专题一、等差数列知识点回顾与技巧点拨1.等差数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示.2.等差数列的通项公式若等差数列{a n }的首项是a 1,公差是d ,则其通项公式为a n =a 1+(n -1)d =(n -m )d=p .3.等差中项如果三个数x ,A ,y 组成等差数列,那么A 叫做x 和y 的等差中项,如果A 是x 和y 的等差中项,则A =x +y2.4.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:a n =a m +(n -m )d (n ,m ∈N *). (2)若{a n }为等差数列,且m +n =p +q ,则a m +a n =a p +a q (m ,n ,p ,q ∈N *).(3)若{a n }是等差数列,公差为d ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N *)是公差为md 的等差数列.(4)数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…也是等差数列. (5)S 2n -1=(2n -1)a n .(6)若n 为偶数,则S 偶-S 奇=nd2;若n 为奇数,则S 奇-S 偶=a 中(中间项). 5.等差数列的前n 项和公式若已知首项a 1和末项a n ,则S n =n a 1+a n2,或等差数列{a n }的首项是a 1,公差是d ,则其前n 项和公式为S n =na 1+n n -12d .6.等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n =d 2n 2+⎝⎛⎭⎪⎫a 1-d 2n ,数列{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn (A ,B 为常数).7.最值问题在等差数列{a n }中,a 1>0,d <0,则S n 存在最大值,若a 1<0,d >0,则S n 存在最小值.一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n 项和公式: S n =a 1+a 2+a 3+…+a n ,① S n =a n +a n -1+…+a 1,②①+②得:S n =n a 1+a n2.两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题,要善于设元. (1)若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a -2d ,a -d ,a ,a +d ,a +2d ,…. (2)若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a -3d ,a -d ,a +d ,a +3d ,…,其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元. 四种方法等差数列的判断方法(1)定义法:对于n ≥2的任意自然数,验证a n -a n -1为同一常数;(2)等差中项法:验证2a n -1=a n +a n -2(n ≥3,n ∈N *)都成立; (3)通项公式法:验证a n =pn +q ;(4)前n 项和公式法:验证S n =An 2+Bn .注: 后两种方法只能用来判断是否为等差数列,而不能用来证明等差数列.回顾:1.已知等差数列{a n }中,a 3=9,a 9=3,则公差d 的值为( ) A .B . 1C .D . ﹣12.已知数列{a n }的通项公式是a n =2n+5,则此数列是( ) A . 以7为首项,公差为2的等差数列 B . 以7为首项,公差为5的等差数列 C . 以5为首项,公差为2的等差数列 D . 不是等差数列 3.在等差数列{a n }中,a 1=13,a 3=12,若a n =2,则n 等于( ) A . 23 B . 24 C . 25 D . 26 4.两个数1与5的等差中项是( ) A . 1 B . 3 C . 2 D . 5.(2005•黑龙江)如果数列{a n }是等差数列,则( ) A . a 1+a 8>a 4+a 5 B . a 1+a 8=a 4+a 5 C . a 1+a 8<a 4+a 5 D . a 1a 8=a 4a 5考点1:等差数列的通项与前n 项和题型1:已知等差数列的某些项,求某项【解题思路】给项求项问题,先考虑利用等差数列的性质,再考虑基本量法 【例1】已知{}n a 为等差数列,,则解:方法1: 方法2:,方法3:令,则方法4:{}n a 为等差数列,也成等差数列,设其公差为,则为首项,20,86015==a a =75a Θ154,156420598141160115==⇒⎩⎨⎧=+==+=d a d a a d a a ∴2415474156474175=⨯+=+=d a a Θ1544582015601560=-=--=a a d ∴241541520)6075(6075=⨯+=-+=d a a b an a n +=38,45162060815==⇒⎩⎨⎧=+=+b a b a b a ∴24384516757575=+⨯=+=b a a Θ∴7560453015,,,,a a a a a 1d 15a 60a为第4项.方法5:{}n a 为等差数列,三点共线对应练习:1、已知{}n a 为等差数列,(互不相等),求.2、已知个数成等差数列,它们的和为,平方和为,求这个数.题型2:已知前项和及其某项,求项数.【解题思路】⑴利用等差数列的通项公式求出及,代入可求项数;⑵利用等差数列的前4项和及后4项和求出,代入可求项数.【例2】已知为等差数列{}n a 的前项和,,求解:设等差数列的首项为,公差为,则对应练习:3、若一个等差数列的前4项和为36,后4项和为124,且所有项的和为780,求这个数列的项数.4.已知为等差数列{}n a 的前项和,,则.题型3:求等差数列的前n 项和【解题思路】(1)利用求出,把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题.∴438203111560=⇒+=⇒+=d d d a a ∴2442016075=+=+=d a a Θ∴),75(),,60(),,15(756015a a a 2415204582060751560757560751560=⇒-=-⇒--=--a a a a a a q a p a n m ==,k n m ,,k a 551655n n S dn a a n )1(1-+=1a dn S n n a a +1n S n n S n 63,6,994=-==n S a a n 1a d3,186893111-==⇒⎩⎨⎧-=+=+d a d a d a ∴7,663)1(231821==⇒=--=n n n n n S n n n S n100,7,141===n S a a =n n S n a(2)含绝对值符号的数列求和问题,要注意分类讨论.【例3】已知为等差数列{}n a 的前项和,.(1);⑵求; ⑶求.解:,当时,,当时,,当时,, .由,得,当时,;当时,.(1);⑵;(3)时,,当时,对应练习:5、已知为等差数列{}n a 的前项和,,求.n S n 212n n S n -=321a a a ++10321a a a a ++++Λna a a a ++++Λ321Θ212n n S n -=∴1=n 1111211=-==S a 2≥n n n n n n S S a n n n 213)1()1(12)12(221-=-+---=-=-1=n 1111213a ==⨯-∴n a n 213-=0213≥-=n a n 213≤n ∴61≤≤n 0>n a 7≥n 0<n a 27331223321321=-⨯==++=++S a a a a a a )(10987632110321a a a a a a a a a a a a +++-++++=++++ΛΛ52)101012()6612(2222106=-⨯--⨯=-=S S 61≤≤n 232132112n n a a a a a a a a n n -=++++=++++ΛΛ7≥n )(876321321n n a a a a a a a a a a a +++-++++=++++ΛΛΛ.7212)12()6612(222226+-=---⨯=-=n n n n S S n n S n 10,10010010==S S 110S考点2 :证明数列是等差数列【名师指引】判断或证明数列是等差数列的方法有:1、定义法:(,是常数){}n a 是等差数列;2、中项法:(){}n a 是等差数列;3、通项公式法:(是常数){}n a 是等差数列; 4、项和公式法:(是常数,){}n a 是等差数列.【例4】已知为等差数列{}n a 的前项和,. 求证:数列是等差数列.解:方法1:设等差数列{}n a 的公差为,,(常数)数列是等差数列.方法2:, ,, 数列是等差数列.对应练习:6、设为数列{}n a 的前项和,,(1) 常数的值;(2) 证:数列是等差数列.d a a n n =-+1+∈N n d ⇔212+++=n n n a a a +∈N n ⇔b kn a n +=b k ,⇔Bn An S n +=2B A ,0≠A ⇔n S n )(+∈=N n nS b nn {}n b d d n n na S n )1(211-+=∴d n a n S b n n )1(211-+==∴2)1(2121111dd n a nd a b b n n =---+=-+∴{}n b Θd n a n S b n n )1(211-+==∴nd a b n 2111+=+d n a b n )1(2112++=+∴1111222)1(21)1(21++=+=-++++=+n n n b nd a d n a d n a b b ∴{}n b n S n )(+∈=N n pna S n n .21a a =p {}n a考点3 :等差数列的性质【解题思路】利用等差数列的有关性质求解.【例5】1、已知为等差数列{}n a 的前项和,,则 ;2、知为等差数列{}n a 的前项和,,则.解:1、;2、方法1:令,则. ,,;方法2:不妨设., ;方法3:{}n a 是等差数列,为等差数列三点共线.n S n 1006=a =11S nS n)(,m n n S m S m n ≠===+n m S 11001122112)(116611111==⨯=+=a a a a S Bn An S n +=2n m m n B m n A nBm Am mBn An -=-+-⇒⎩⎨⎧=+=+)()(2222Θm n ≠∴1)(-=++B m n A ∴)()()(2n m n m B n m A S n m +-=+++=+n m >mn a a n m a a a a a S S m n m m n n n n m -=+-=+++++=-+-+++2))((11321Λ∴211-=+=+++m n n m a a a a ∴)(2))((1n m a a n m S n m n m +-=++=++Θ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+n m S n m m S m nSn n m m n,,,,,.对应练习:7、含个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为( )8.设、分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前项和,,则. 考点4: 等差数列与其它知识的综合【解题思路】1、利用与的关系式及等差数列的通项公式可求; 2、求出后,判断的单调性.【例6】已知为数列{}n a 的前项和,;数列满足:,,其前项和为⑴ 数列{}n a 、的通项公式;⑵设为数列的前项和,,求使不等式对都成立的最大正整数的值. 解:⑴,当时,;当时,当时,,;,是等差数列,设其公差为.则,∴)(n m S nm nn m S n m n m m n n m n m +-=⇒-+=--++12+n .A n n 12+.B n n 1+.C n n 1-.D nn 21+n S nT n 327++=n n T S nn=55b a n a n S n T n T n S n n n S n 211212+={}n b 113=b nn n b b b -=++1229.153{}n b nT {}n c n)12)(112(6--=n n n b a c 57kT n >+∈∀N n k Θn n S n 211212+=∴1=n 611==S a 2≥n 5)1(211)1(2121121221+=----+=-=-n n n n n S S a n n n 1=n 1651a ==+∴5+=n a n Θ222112+++++=⇒-=n n n n n n b b b b b b ∴{}n b d3,5153369112111==⇒⎩⎨⎧=+=+d b d b d b.⑵,是单调递增数列. 当时, 对都成立 所求最大正整数的值为.对应练习:9.已知为数列{}n a 的前项和,,.⑴ 数列{}n a 的通项公式;⑵数列{}n a 中是否存在正整数,使得不等式对任意不小于的正整数都成立?若存在,求最小的正整数,若不存在,说明理由.课后练习:1.(2010广雅中学)设数列是等差数列,且,,是数列的前项和,则A .B .C .D .2.在等差数列{}n a 中,,则 .3.数列{}n a 中,,当数列{}n a 的前项和取得最小值时,.4.已知等差数列{}n a 共有项,其奇数项之和为,偶数项之和为,则其公差是 .5.设数列中,,则通项 .6.从正整数数列中删去所有的平方数,得到一个新数列,则这个新数列的第∴23)1(35+=-+=n n b n Θ[][]1)23(211)5(26)12)(112(6-+-+=--=n n b a c n n n 121121)12)(12(2+--=+-=n n n n ∴1211)121121()7151()5131()311(+-=+--++-+-+-=n n n T n ΛΘ+∈N n ∴n T ∴1=n ()323111min =-==T T n ∴57k T n >+∈∀N n ()38573257min <⇔>⇔>⇔k k k T n ∴k 37n S n 31=a )2(21≥=-n a S S n n n k 1+>k ka a k k {}n a 28a =-155a =n S {}n a n 1011S S =1011S S >910S S =910S S <1205=a =+++8642a a a a 492-=n a n nnS =n 101030{}n a 112,1n n a a a n +==++n a =Λ,5,4,3,2,1项是 .答案与解析: 对应练习:1、【解析】2、【解析】设这个数分别为则解得当时,这个数分别为:; 当时,这个数分别为:3、【解析】4、【解析】设等差数列的公差为,则.5、【解析】方法1:设等差数列的公差为,则 ;方法2:6、【解析】⑴,,⑵由⑴知:,当时,,,数列是等差数列.7、【解析】(本两小题有多种解法)1964n m k m q n k p a n k q a n m q p n k a a n m a a k k n k n m --+-=⇒--=--⇒--=--)()(5.2,,,,2d a d a a d a d a ++--⎩⎨⎧=+=⇒⎩⎨⎧=+++++-+-=+++++-+-1651051165)2()()()2(5)2()()()2(2222222d a a d a d a a d a d a d a d a a d a d a 4,1±==d a 4,1==d a 59,5,1,3,7--4,1-==d a 5.7,3,1,5,9--Θ124,363214321=+++=+++---n n n n a a a a a a a a 3423121---+=+=+=+n n n n a a a a a a a a ∴40160)(411=+⇒=+n n a a a a ∴39780207802)(1=⇒=⇒=+=n n a a n S n n d 23171414=-=--=a a d 101002)1(21=⇒=⨯-+=n n n n S n d ⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=+=+100109950111049501001004510111d a d a d a ∴110109110211101110-=⨯⨯+=d a S Θ2902)(90100111001110100-=+⇒-=+=-a a a a S S 1102)(1102)(110100*********-=+=+=a a a a S Θn n pna S =21a a =∴111=⇒=p pa a n n na S =2≥n 0))(1()1(111=--⇒--=-=---n n n n n n n a a n a n na S S a ∴)2(01≥=--n a a n n ∴{}n a Θ,.选B. 8、【解析】填. 9、【解析】⑴当时,,且,{}n a 是以为公差的等差数列,其首项为.当时,当时,,; ⑵,得或,当时,恒成立,所求最小的正整数课后练习:1、【解析】C . 另法:由,,得,,计算知2、【解析】3、【解析】 由知{}n a 是等差数列, 2))(1(12112531++++=++++=n n a a n a a a a S Λ奇2)(222642n n a a n a a a a S +=++++=Λ偶nn a a a a 22121+=++∴nn S S 1+=偶奇∴12652525514225143)12(2)12(7551212=+⨯-⨯=⇒+-=+-+-==--b a n n n n T S b a n n n n ∴12652≥n )(22111----=⇒=n n n n n n n S S S S a S S ∴21111-=--n n S S 3111=S ∴21-31∴nS n n S S n n 356635)1(21111-=⇒-=--=∴2≥n )53)(83(18211--==-n n S S a n n n 1=n 11018)53)(83(18a ≠=--∴⎪⎩⎪⎨⎧≥--=)2()53)(83(18)1(3n n n n 0)23)(53)(83(181>---=-+k k k a a k k 3532<<k 38>k ∴3≥k 1+>k k a a .3=k 1091521015216292)(,22S S a d a S d a a a a S =⇒++=++=+=28a =-155a =713815)8(5=---=d 76921=-=d a a 910S S =480.480458642==+++a a a a a 24492-=n a n .250>⇒>n a n ∴4、【解析】 已知两式相减,得5、【解析】利用迭加法(或迭代法),也可以用归纳—猜想—证明的方法.6、【解析】.24=n 4.4205=⇒=d d 1)1(21++n n 2008。

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