2011年数学原创试题（8）
1．（本题满分12分）设函数],0[,2
sin 2)6sin()(2ππ∈++
=x x x x f （Ⅰ）求)(x f 的值域；
（Ⅱ）记A ∆BC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a c b B f c b a 求若,3,1,1)(,,,===的值。

【解析】（I ）x x x x x x f cos 1cos 2
1sin 232sin 2)6sin()(2-++=++=π
1)6
sin(1cos 21sin 23+-=+-=πx x x ………………3分
]65,6[6],,0[ππππ-∈-∴∈x x ]2,21[)(∈∴x f ………………6分
（II ）由6,0)6sin(,1)(ππ==-=B B B f 故得 ………………7分
解法一：由余弦定理,cos 2222B a c a b -+= 得21,0222
或解得==+-a a a ………………12分 解法二：由正弦定理
323,23sin ,sin sin ππ或得===C C C c B b 当2,2,322=+===c b a A C 从而ππ ………………9分
当1,6,6,32=====b a B A C 从而又时πππ ………………11分 故a 的值为1或2 ………………12分
2．（本题满分12分）国庆前夕，我国具有自主知识产权的“人甲型H1N1流感病毒核酸检测
试剂盒”（简称试剂盒）在上海进行批量生产，这种“试剂盒”不仅成本低操作简单，而且可以准确诊断出“甲流感”病情，为甲型H1N1流感疫情的防控再添一道安全屏障、某医院在得到“试剂盒”的第一时间，特别选择了知道诊断结论的5位发热病人（其中“甲流感”患者只占少数），对病情做了一次验证性检测、已知如果任意抽检2人，恰有1位是“甲流感”患者的概率为
52。

（1）求出这5位发热病人中“甲流感”患者的人数； （2）若用“试剂盒”逐个检测这5位发热病人，直到能确定“甲流感”患者为止，设ξ
表示检测次数，求ξ的分布列及数学期望E ξ。

【解析】（1）设有x 人患“甲流感”，则由题意有5225151=⋅-C C C x x ， ……………3分 解得 x =1或x =4（舍）、
∴ 这5位发热病人中有1人患“甲流感”、…………………………………5分
（2）ξ=1，2，3，4，则511)1(15===A P ξ，5
1
)2(251
4===A A P ξ， 51)3(352
4===A A P ξ，5
2
)4(454
434=+==A A A P ξ、
∴ ξ的分布列为
……………………………………………………………………………………10分 ∴8.252
451
351
251
1=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 、 ……………………………………12分。