反函数
一、基本知识
1、 反函数的概念：设函数y=f(x)的定义域为A，值域为C，由y=f(x)求出yx，若

对于C中的每一个值y，在A中都有唯一的一个值和它对应，那么yx叫以y为
自变量的函数，这个函数yx叫函数y=f(x)的反函数，记作yfx1，通常
情况下，一般用x表示自变量，所以记作xfy1。
注：在理解反函数的概念时应注意下列问题。
（1）只有从定义域到值域上一一映射所确定的函数才有反函数；
（2）反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；
2、求反函数的步骤
（1）解关于x的方程y=f(x)，达到以y表示x的目的；
（2）把第一步得到的式子中的x换成y，y换成x；
（3）求出并说明反函数的定义域（即函数y=f(x)的值域）。
3、关于反函数的性质
（1）y=f(x)和y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；
（2）y=f(x)和y=f-1(x)具有相同的单调性；
（3）y=f(x)和x=f-1(y)互为反函数，但对同一坐标系下它们的图象相同；
（4）已知y=f(x)，求f-1(a)，可利用f(x)=a，从中求出x，即是f-1(a)；
（5）f-1[f(x)]=x;
（6）若点P(a,b)在y=f(x)的图象上，又在y=f-1(x)的图象上，则P(b,a)在y=f(x)的图
象上；
（7）证明y=f(x)的图象关于直线y=x对称，只需证得y=f(x)反函数和y=f(x)相同；
二、例题选讲
例1：（考例1）求下列函数的反函数

11321xxxy


22xy










0120132xx
xx

y

练习：（变式一）求下列函数的反函数

2,11212xxxy


10log212xy
x

例2、（考例2）已知函数y=f(x)的反函数为y=f-1(x)，求函数y=f(2x-1)+1的反函数。
练习：1、（变式二）已知函数y=f(x)的反函数为y=f-1(x)，求函数xfy1的反函数。
2、已知f(x+1)=2x，求11xf。(11xf=23x)
例3、（考例3）（1）已知函数y=ax+b的图象过点(1,4)，其反函数的图象过点(2,0)，则
a= ,b= 。

（2）已知xxxf3131，则541f= 。
练习：（变式三）若f-1(x)为函数f(x)=lg(x+1)的反函数，则f-1(x)的值域是 。
例4、给定实数a，0a且1a，设函数axRxaxxy1,11且，证明这个函数的图
象关于直线y=x成轴对称图形。
练习：（变式四）若函数bxaxxf212的图像关于直线y=x对称，确定a,b的关系。

例5、设Ra，f(x)为奇函数，且14422xxaaxf
（1）试求f(x)的反函数的解析式f-1(x)及f-1(x)的定义域；
（2）设kxxg1log2，若32,21x时，f-1(x)xg恒成立，求实数k的取值范围。

练习：（变式五）已知函数1,02log2aaxxxfa的反函数f-1(x)，设


2log221anfng

，若Nnngnn233，求a的取值范围。

三、小结
1、求反函数；
2、利用反函数的性质解题；
四、作业：能力提高：7、8、预测