2020年东莞市普通高中毕业班模拟自测
理科数学
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
1. 已知集合{}{
}2
230,210A x x x B x x =+-<=->，则A I B=
A 1)2(-3, B. (-3,1) C. 1(,1)2 D. 1(,3)2
2. 设复数z 满足1iz i =+， 则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于 A.第一像限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3. 玫瑰花窗(如右图)是哥特式建筑的特色之一，镶嵌着彩色玻璃 的玫瑰花窗给人以瑰丽之感.构成花窗的图案有三叶形、四叶形、 五叶形、六叶形和八叶形等.右图是四个半圆构成的四叶形，半 圆的连接点构成正方形ABCD ，在整个图形中随机取一点，此 点取自正方形区域的概率为 A.
22π+ B. 11π+ C. 42π+ D. 2
1
π+ 4. 己知定义在R 上的奇函数f (x )， 当x >0时，2()log x
f x =;且
f (m )=2，则m =
A. 14
B.4
C.4或14
D.4或14
- 5. 已知平面向量a r 、b r 的夹角为135°， 且a r
为单位向量，(1,1)b =r ，则a b +=r r
A.
5 B. 32. C.1 D. 32
6. 已知F 1、F 2分别为椭圆C: 22
22+1(0)x y a b a b
=>>的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线l 交
椭圆C 于A ，B 两点，若∆AF 2B 是边长为4的等边三角形，则椭圆C 的方程为
A. 22143x y +=
B. 22
196x y += C.
221164x y += D. 22
1169
x y += 7.定义运算a b *为执行如图所示的程序框图输出的S 值,则
(cos
)(sin
)12
12
π
π
*=
A. 32-
B. 32
C.1
D.-1 8。
《尘劫记》中记载了这样一个问题:第1个月，有一对老鼠生了6对小老鼠，两代老鼠加起来共有7对;第2个月，每对老鼠各生了6对小老鼠，三代老鼠共有49对.由此类推，父母、子女、孙子、曾孙辈的大小老鼠们，每个月每对老鼠都会生6对.第6个月，共有( ) 对老鼠. A.66
B.76
C. 666-15（）
D. 67716
-（）
9. 为加强学生音乐素养的培育，东莞市某高中举行“校园十大歌手”比赛，比赛现场有7名评委给选
手
评分，另外，学校也提前发起了网络评分，学生们可以在网络上给选手评分，场内数百名学生均参与网络评分.某选手参加比赛后，现场评委的评分表和该选手网络得分的条形图如下图所示:
记现场评委评分的平均分为1x ,网络评分的平均分为2x ,所有评委与场内学生评分的平均数为x ，那么下列选项正确的是 A. 122x x x +<
B. 122x x x +=
C. 122x x x +>
D. x 与12
2
x x +关系不确定 10.已知函数()cos()(0,)2
2
f x x π
π
ωϕωϕ=+>-
<<
的最小正周期为π,将f (x )的图象向左平移
3
π
个单位后，所得图象关于原点对称，则函数f (x )的图象 A.关于直线2
x π
=-对称 B.关于直线3
x π
=-
对称
C.关于点(
2π,0)对称 D. 关于点(3
π
,0)对称 11. 已知双曲线C : 22221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线被圆222
()2x c y a -+=截得的弦长为
A.
2
2
B. 2
C. 3
D. 2
12.在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AB 和DD 1的中点，经过点B 1，E ，F 的平面α交AD 于G ，则AG= A.
13 B. 14 C. 34 D. 23
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.
13.各项均为正数的等比数列{}n a 中， 2a 2，a 4，3a 3 成等差数列，则
25
47
_____a a a a +=+
14. 已知4
(1)(1)ax x ++的展开式中x 2的系数为18, 则a =___________. 15. 已知三棱锥P- ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA=BC=2，∠BAC=3
π
,则三棱锥P- ABC 的外 接球的表面积为_______。
16.已知sin()
2()2ax x f x x x
π
+=
-在(0,1)x ∈上恰有一个零点，则正实数a 的取值范围为_______________。
三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题:本大题共5小题，每小题12分，共60分. 17. (本小题满分12分)
△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3
cos sin 3
c a B A -= (1)求A;
(2)若b =4，c =2，AM 为BC 边上的中线，求AM 的长.
18. (本小题满分 12分),
如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，其中AB ⊥BC,AD // BC, AD=4, AP= AB=BC=2, E 是AD 的中点，AC 和BE 交于点O,且PO ⊥平面ABCD. (1)证明:平面PAC ⊥平面PCD;
(2)求直线AB 与平面PCD 所成角的大小.
19. (本小题满分 12分)
已知抛物线E:y 2 = 4x ,过抛物线焦点F 的直线1分别交抛物线E 和圆F :(x -1)2+y 2=1于点A 、C 、D 、B (自上而下)。
(1)求证: AC BD ⋅为定值;
(2)若AC 、CD 、DB 成等差数列，求直线l 的方程.
20. (本小题满分 12分) 已知函数()3x
f x e ax =+.
(1)讨论函数f (x )的单调性:
(2)若函数f (x )在区间[1,+∞)上的最小值为0，求a 的值.
21. (本小题满分 12分) 在党中央的正确领导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制.甲、乙两个地区采取防护措施后，统计了从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数，绘制成如下折线图:
(1)根据图中甲、乙两个地区折线图的信息，写出你认为最重要的两个统计结论; (2)治疗“新冠肺炎”药品的研发成了当务之急，某药企计划对甲地区的A 项目或乙地区的B 项目投入研发资金，经过评估,对于A 项目，每投资十万元，一年后利润是l. 38万元、1.18万元、l. 14万元的概率分别为
16、12、1
3
;对于B 项目，利润与产品价格的调整有关，已知B.项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，每次价格调整中，产品价格下调的概率都是p(0<p<1)，记B 项目一年内产品价格的下调次数为ξ，每投资十万元，ξ取0、1、2时，一年后相应利润是1.4万元、1.25 万元、0.6万元。
记对A 项目投资十万元，一年后利润的随机变量为1ξ，记对B 项目投资十万元，一年后利润的随机变量为2ξ.
( i )求1ξ，2ξ的概率分布列和数学期望1E ξ，2E ξ;
(ii) 如果你是投资决策者，将做出怎样的决策?请写出决策理由.
(二)选考题:共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.
22. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为(33x t
t y t
=⎧⎪⎨
=+⎪⎩为参数)， 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为=2sin (0)a a ρθ>,己知直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点.
(l)求a ;
(2) A, B 为曲线C 上的两点，且∠AOB=
2
π
，求OA OB +的最大值.
23. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 设函数()313,f x x x a x R =++-∈ (1) 当a =1时，求不等式()9f x <的解集; .
(2)对任意x R ∈，恒有()21f x a >-，求实数a 的取值范围.。