东莞市2020届普通高中毕业班模拟自测
文科数学
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
1. 已知集合{}{
}2
230,210A x x x B x x =+-<=->，则A I B=
A 1)2(-3, B. (-3,1) C. 1(,1)2 D. 1(,3)2
2. 设复数z 满足1iz i =+， 则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于 A.第一像限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3. 玫瑰花窗(如右图)是哥特式建筑的特色之一，镶嵌着彩色玻璃 的玫瑰花窗给人以瑰丽之感.构成花窗的图案有三叶形、四叶形、
五叶形、六叶形和八叶形等.右图是四个半圆构成的四叶形，半 圆的连接点构成正方形ABCD ，在整个图形中随机取一点，此 点取自正方形区域的概率为 A.
22π+ B. 11π+ C. 42π+ D. 2
1
π+ 4. 己知定义在R 上的奇函数f (x )， 当x >0时，2()log x
f x =;且f (m )=2，则m =
A.
14 B.4 C.4或14 D.4或14
- 5. 已知平面向量a r 、b r 的夹角为135°， 且a r
为单位向量，(1,1)b =r ，则a b +=r r
532. C.1 D. 32
6. 已知F 1、F 2分别为椭圆C: 22
22+1(0)x y a b a b
=>>的左、右焦
点，过F 1且垂直于x 轴的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若∆AF 2B 是边长为4的等边三角形，则椭圆C 的方程为
A. 22143x y +=
B. 22
196x y += C.
221164x y += D. 22
1169
x y += 7.定义运算a b *为执行如图所示的程序框图输出的S 值,则
(cos
)(sin
)12
12
π
π
*=
A. 3-
B. 3
C.1
D.-1 8.约公元前600年，几何学家泰勒斯第一个测出了金 字塔的高度.如图，金字塔是正四棱锥，泰勒斯先测 量出某个金字塔的底棱长约为230米;然后，他站立 在沙地上,请人不断测量他的影子,当他的影子和身高 相等时，他立刻测量出该金字塔影子的顶点A 与相 应底棱中点B 的距离约为22.2米.此时，影子的顶点 A 和底面中心O 的连线恰好与相应的底棱垂直，则 该金字塔的高度约为
A. 115米
B.137.2米
C.230米.
D.252.2米
9. 为加强学生音乐素养的培育，东莞市某高中举行“校园十大歌手”比赛，比赛现场有7名评委给选手评分，另外，学校也提前发起了网络评分，学生们可以在网络上给选手评分，场内数百名学生均参与网络评分.某选手参加比赛后，现场评委的评分表和该选手网络得分的条形图如下图所示:
记现场评委评分的平均分为1x ,网络评分的平均分为2x ,所有评委与场内学生评分的平均数为x ，那么下列选项正确的是 A. 122x x x +<
B. 122x x x +=
C. 122x x x +>
D. x 与12
2
x x +关系不确定 10.已知函数()cos()(0,)2
2
f x x π
π
ωϕωϕ=+>-
<<
的最小正周期为π,将f (x )的图象向左平移
3
π
个单位后，所得图象关于原点对称，则函数f (x )的图象 A.关于直线2x π=-对称 B.关于直线3x π
=-对称
C.关于点(2π,0)对称
D. 关于点(3
π
,0)对称
11. 已知双曲线 C : 22221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线被圆222
()2x c y a -+=截得的弦长为
2b (其中c 为双曲线的半焦距)，则双曲线C 的离心率为 A.
2
2
23 D. 2 12.在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AB 和DD 1的中点，经过点B 1，E ，F 的平面α交AD 于G ，则AG= A.
13 B. 14 C. 34 D. 23
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.
13.∆ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若3
cos sin a B A =
，则 _____B =
14. 已知21
()x
x kx f x e ++=在0x =的切线方程为1y x =+, 则k =___________.
15. 已知三棱锥P- ABC 中，PA⊥平面ABC ，PA=BC=2，∠BAC=2
π
,则三棱锥P- ABC 的外 接球的表面积为_______。

16.已知sin()
2()2ax x f x x x
π
+=
-在(0,1)x ∈上恰有一个零点，则正实数a 的取值范围为_______________。

三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题:本大题共5小题，每小题12分，共60分. 17. (本小题满分12分)
已知等差数列{}n a 的前n 项和为Sn ，43216,3S a a == (1)求{}n a 的通项公式; (2)设1
1
n n n b a a +=⋅，求{}n b 的前2n 项的和2n T .
18. (本小题满分 12分),
如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，其中AB⊥BC,AD// BC, AD=4, AP= AB=BC=2, E 是AD 的中点，AC 和BE 交于点O,且PO⊥平面ABCD. (1)证明:平面PAC⊥平面PCD; (2)求点D 到平面PCE 的距离.
19. . (本小题满分 12分) 已知函数()3x
f x e ax =+. (1)讨论函数f (x )的单调性:
(2)若函数()0f x ≥在(0,)x ∈+∞上恒成立，求a 的取值范围.
20.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆N ：2
2
(1)1x y -+=，圆心N(1,0)，点E 在直线1x =-上，点
P 满足,PE ON NP NE EP EN ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
P ,点P 的轨迹为曲线M 。

(1)求曲线M 的方程.
(2)过点N 的直线l 分别交M 和圆N 于点A 、B 、C 、D （自上而下），若AC 、CD 、DB 成等差数列，求直线l 的方程。

21. (本小题满分 12分)
在党中央的正确领导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制.甲、乙两个地区采取防护措施后，统计了从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数，绘制成如下折线图:
(1)根据图中甲、乙两个地区折线图的信息，写出你认为最重要的两个统计结论;
(2)新冠病毒在进入人体后有一段时间的潜伏期，此期间为病毒传播的最佳时期，我们把与病毒感染者有过密切接触的人群称为密切接触者，假设每位密切接触者不再接触其他病毒感染者，10天内所有人不知情且生活照常.
( i )在不加任何防护措施的前提下，假设每位密切接触者被感染的概率均为p(0<p<1).第一天，若某位感染者产生()a a N ∈名密切接触者则第二天新增感染者平均人数为a p;第二天，若每位感染者都产生a 名密切接触者，则第三天新增感染者平均人数为ap (1+ap );以此类推，记由一名感染者引发的病毒传播的第n 天新增感染者平均人数为E n (2≤n ≤10).写出E 4，E n ;
(ii)在(i )的条件下，若所有人都配戴口罩后，假设每位密切接触者被感染的概率均为p'，且满足关系p'=ln(1+p ) 23
p -
，此时，记由一名感染者引发的病毒传播的第n 天新增感染者平均人数为'
n E (2≤n ≤10).当p'最大，且a =10时， 、根据E 6和'
6E 的值说明戴口罩的必要性. ('
p 精确到0.1)
参考公式:函数y =ln(1+ x )的导函数'11
y x =
+，;参考数据: ln3≈1.1， ln2≈0.7, 64
= 1296.
(二)选考题:共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.
22. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为(3x t
t y =⎧⎪⎨
=+⎪⎩为参数)， 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为=2sin (0)a a ρθ>,己知直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点.
(l)求a ;
(2) A, B 为曲线C 上的两点，且∠AOB=
2
π
，求OA OB +的最大值.
23. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 设函数()313,f x x x a x R =++-∈ (1) 当a =1时，求不等式()9f x <的解集; .
(2)对任意x R ∈，恒有()21f x a >-，求实数a 的取值范围.
11/ 11。