yex(C1cosxC2sinx)
例 3 求微分方程y4y8y 0的通解 解 微分方程的特征方程为
r24r80 特征方程的根为r122i r222i 是一对共轭复根 因此微分方程的通解为ye2x(C1cos2xC2sin2x)
通解形式 下页
练 习 巩 固
有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2 有一对共轭复根 r1, 2i
例2 求方程y2yy0的通解
解
y C1er1 x C2er2 x rx y C1 C2 x e
yex(C1cosxC2sinx)
微分方程的特征方程为
r22r10 即(r1)20 特征方程有两个相等的实根r1r21 因此微分方程的通解为yC1ex C2xex
1
2
1 x 1 (arctan x) , 2 1 x （15）
,
1 (arc cot x) . 2 （16） 1 x
1 a 0且a 1 xlna 1 , （14） (arccosx) 2 1 x
二阶线性微分方程解的结构定理
• 如果y1、y2是二阶线性微分方程的两个线性 无关的解 那么yC1y1C2y2就是微分方程的 通解
思考
思考题：通解为 y C1e x C2e2 x 的二阶线性常系数微分方程是
r1 x
r1 x
y ( C1 C 2 x ) e
(3) 当
p 4 q 0 时, 方程有一对共轭复根
2
这时原方程有两个复数解:
( i ) x
x
e (cos x i sin x ) y1 e ( i ) x x y2 e e (cos x i sin x )
有两个不相等的实根 r1、r2
有两个相等的实根 r1r2 有一对共轭复根 r1, 2i
y C1er1x C2er2 x
y C1 C2 x e
rx
yex(C1cosxC2sinx)
下页
特征方程的根与通解的关系 方程r2prq0的根的情况 方程ypyqy0的通解
x
2 (tanx) = sec x （5）
2
x
（7） (secx) = secxtanx
x x (e ) =e （9）
-csc xcotx
) =a x ln a a 0且a 1
1 x (arcsin x) （13） (lnx) = （11）
(log a x) = （12）
3、二阶线性微分方程解的结构定理
求解下列一元二次方程
x x2 0
2
x 2x 1 0
2
x
2
解答 6 x 13 0
基本初等函数导数公式
（1） c 0 (c为任意常数)
'
（2） x
x
1
（3） (sin
x) = cos x
（4） (cos x) = -sin x （6） (cotx) = -csc （8） (cscx) = （10） (a
下页
特征方程的根与通解的关系 方程r2prq0的根的情况 方程ypyqy0的通解
有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2 有一对共轭复根 r1, 2i
解
y C1er1 x C2er2 x y C1 C2 x erx
yex(C1cosxC2sinx)
特征方程的求根公式为
r1,2
p
p 4q 2
2
二阶齐次线性方程通解的求法 分析 考虑到当y, y, y为同类函数时 有可能使ypyqy 恒等于零 而函数erx具 有这种性质 所以猜想erx是方程的解 将yerx代入方程ypyqy0得 (r2prq)erx0 由此可见 只要r满足代数方程r2prq0 函数yerx 就是微分方程的解
求下列微分方程的通解
y 2 y 3 y 0 y 6 y 9 y 0
y 2 y 5 y 0
总结反馈
1. 你学习了哪些内容？
2. 你会解决哪些新问题？
3. 在学习方法上你有哪些体会？
布置作业
继续探究
阅 读 教材章节13.5
书写
P288 习题13-5
即y(C1C2x)ex
下页
特征方程的根与通解的关系 方程r2prq0的根的情况 方程ypyqy0的通解
有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2 有一对共轭复根 r1, 2i

y C1er1 x C2er2 x
y C1 C2 x erx
概念学习
方程
y py qy f ( x)
为二阶线性 常系数微分 方程
p, q是常数, f(x)称为自由项.
若f ( x) 0
y py qy 0
为二阶线性 常系数齐次 微分方程
特征方程及其根
r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程.
设r1, r2是特征方程的两个根. 2 (1) 当 p 4 q 0 时, 方程有两个相异实根 则微分方程有两个线性无关的特解: 因此方程的通解为 y C1 e
(2) 当
r1 x
C2 e
r2 x
p 4 q 0 时, 特征方程有两相等实根
2
则微分方程有一个特解
设另一特解为
, ( u(x) 待定). 代入原微分方程 y py qy 0
二阶线性常系数齐次微分方程
任 务 要 点
• 1、二阶线性常系数齐次微分 方程 • 2、微分方程的特征方程
• 3、二阶线性常系数齐次微分 方程通解的求解步骤
教学过程课前 准备概念 学习知识 推导结论 形成
巩固 练习
小组 成果 展示
课后 作业
课前准备
1、一元二次方程的求解
2、基本初等函数的导数公式
有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2 有一对共轭复根 r1, 2i
求ypyqy0的通解的步骤
y C1er1 x C2er2 x
yex(C1cosxC2sinx)
y C1 C2 x e
rx
•第一步 写出微分方程的特征方程 r2prq0 •第二步 求出特征方程的两个根r1、r2 •第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的 通解
r1 x
2
得:
e [ ( u 2 r1u r1 u ) p( u r1u ) q u 0
2
u ( 2 r1 p ) u ( r1 p r1 q ) u 0
是特征方程的重根
取u=x, 得 y2
u 0
x e , 因此原方程的通解为
例1 求微分方程yy2y0的通解 微分方程的特征方程为
r2r20 即(r1)(r2)0 特征方程有两个不相等的实根r11 r22 因此微分方程的通解为yC1exC2e2x
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特征方程的根与通解的关系 方程r2prq0的根的情况
方程ypyqy0的通解
利用解的叠加原理, 得原方程线性无关特解:
y1 ( y1 y2 ) e
1 2
x
cos x
y2 ( y1 y2 ) e
1 2i
x
sin x
因此原方程的通解为
ye
x
(C1 cos x C 2 sin x )
特征方程的根与通解的关系
方程r2prq0的根的情况 方程ypyqy0的通解