高考复习数列专题： 数 列(参考答案附后)第一节 数列的概念与数列的简单表示一、选择题1．已知数列{}a n 对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10＝( )A ．－165B ．－33C ．－30D ．－21 2．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n)，则a n ＝( )A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n3．若数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝n 2C ．a n ＝n ＋12n 2D ．a n ＝n 2n －124．在数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2＋a n ，a 1＝2，a 2＝5，则a 6的值是( ) A ．－3 B ．－11 C ．－5 D ．195．已知数列{a n }中，a n ＝n －79n －80(n ∈N *)，则在数列{a n }的前50项中最小项和最大项分别是( )A ．a 1，a 50B ．a 1，a 8C ．a 8，a 9D ．a 9，a 50二、填空题6．若数列{}a n 的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为________；数列{}na n 中数值最小的项是第__________项．7．数列35，12，511，37，717，…的一个通项公式是___________________________．8．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝__________. 三、解答题9．如果数列{}a n 的前n 项和为S n ＝32a n －3，求这个数列的通项公式．10．已知{a n }是正数组成的数列，a 1＝1，且点(a n ，a n ＋1)(n ∈N＋)在函数y ＝x 2＋1的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若列数{b n }满足b 1＝1，b n ＋1＝b n ＋2a n ，求证：b n ·b n ＋2＜b 2n ＋1.参考答案1．解析：由已知a 4＝a 2＋a 2＝－12，a 8＝a 4＋a 4＝－24，a 10＝a 8＋a 2＝－30.答案：C2．解析：a 2＝a 1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋11，a 3＝a 2＋ln ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋12，…，a n ＝a n －1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1n －1⇒a n ＝a 1＋ln ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43…⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n n －1＝2＋ln n . 答案：A3．解析：由a 1·a 2·a 3…a n ＝n 2得，当n ≥2时，a 1·a 2·a 3…a n －1＝(n －1)2，两式相除得a n ＝n 2n －12.答案：D4．解析：由a n ＋1＝a n ＋2＋a n ⇒a n ＋2＝a n ＋1－a n ，∴a 3＝a 2－a 1＝3，a 4＝a 3－a 2＝－2，a 5＝a 4－a 3＝－5，a 6＝a 5－a 4＝－3.答案：A5．解析：a n ＝n －79n －80＝1＋80－79n －80.当n ＝8,9时，|n －80|最小．故选择C. 答案：C6．解析：数列{}a n 的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ＝1,2,3，…)，数列为等差数列，数列的通项公式为a n ＝S n －S n －1＝2n －11，数列{}na n 的通项公式为na n ＝2n 2－11n ，其中数值最小的项应是最靠近对称轴n ＝114的项，即n ＝3，第3项是数列{}na n 中数值最小的项．答案：a n ＝2n －11 37．a n ＝n ＋23n ＋28．解析：∵a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，∴a n ＝a n －1＋(n －1)＋1，a n －1＝a n －2＋(n －2)＋1，a n －2＝a n －3＋(n －3)＋1，…，a 3＝a 2＋2＋1， a 2＝a 1＋1＋1，a 1＝2＝1＋1.将以上各式相加得：a n ＝[(n －1)＋(n －2)＋(n －3)＋…＋2＋1]＋n ＋1 ＝n －1[n －1＋1]2＋n ＋1＝n －1n2＋n ＋1＝n n ＋12＋1；答案：n n ＋12＋19．解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝32a 1－3，∴a 1＝6.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32a n －3－32a n －1＋3.∴a na n －1＝3.依定义知数列{}a n 是以3为公比，6为首项的等比数列，∴a n ＝6×3n －1＝2×3n(n ∈N ＋)．10．解析：法一：(1)由已知得a n ＋1＝a n ＋1，即a n ＋1－a n ＝1， 又a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，公差为1的等差数列． 故a n ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)证明：由(1)知：a n ＝n 从而b n ＋1－b n ＝2n.b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n－1.因为b n ·b n ＋2－b 2n ＋1＝(2n －1)(2n ＋2－1)－(2n ＋1－1)2＝(22n ＋2－2n ＋2－2n ＋1)－(22n ＋2－2－2n ＋1－1)＝－5·2n＋4·2n＝－2n＜0， 所以b n ·b n ＋2＜b 2n ＋1. 法二：(1)同法一． (2)证明：因为b 2＝1，b n ·b n ＋2－b 2n ＋1＝(b n ＋1－2n )(b n ＋1＋2n ＋1)－b 2n ＋1 ＝2n ＋1·b n －1－2n ·b n ＋1－2n ·2n ＋1＝2n(b n ＋1－2n ＋1)＝2n(b n＋2n－2n＋1) ＝2n(b n－2n)＝…＝2n(b1－2)＝－2n<0，所以b n－b n＋2<b2n＋1.第二节等差数列一、选择题1．已知{a n}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0.则公差d＝( )A．－2 B．－12C.12D．22．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3＝6，a1＝4，则公差d＝( )A．1 B.53C．－2 D．33．等差数列{a n}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是( )A．90 B．100 C．145 D．190 4．已知{a n}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以S n表示{a n}的前n项和，则使得S n达到最大值的n是( ) A．21 B．20 C．19 D．185．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S2＝10，S5＝55，则过点P(n，a n)和Q(n＋2，a n＋2)(n∈N*)的直线的斜率是( ) A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题6．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6＝S3＝12，则a n＝________.7．在等差数列{a n}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________. 8．等差数列{a n}前n项和为S n.已知a m－1＋a m＋1－a2m＝0，S2m－1＝38，则m＝________.三、解答题9．已知等差数列{a n}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{a n}前n项和S n.10．已知f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7，(1)设f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n}，求证：{a n}为等差数列；(2)设f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成数列{b n}，求{b n}的前n项和S n.参考答案1．解析：a 7－2a 4＝a 3＋4d －2(a 3＋d )＝2d ＝－1⇒d ＝－12.答案：B2．解析：S 3＝6⇒3a 2＝6⇒a 2＝2，∴d ＝a 2－a 1＝－2.选C.答案：C3．解析：设公差为d ，则(1＋d )2＝1·(1＋4d )．∵d ≠0，解得d ＝2，∴S 10＝100.答案：B4．解析：由a 1＋a 3＋a 5＝105得3a 3＝105，即a 3＝35，由a 2＋a 4＋a 6＝99得3a 4＝99，即a 4＝33，∴d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)×(－2)＝41－2n ，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n ＋1＜0得n ＝20，选B.答案：B 5．A6．解析：由a 6＝S 3＝12可得{a n }的公差d ＝2，首项a 1＝2，得a n ＝2n .答案：2n7．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7a 1＋4d ＝a 1＋d ＋6解得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝2.∴a 6＝a 1＋5d ＝13. 答案：138．解析：由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0得：2a m －a 2m ＝0， ∴a m ＝0或a m ＝2. 又S 2m －1＝2m －1a 1＋a 2m －12＝(2m －1)a m ＝38知a m ≠0.∴m ＝10. 答案：10 9．解析：设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d a 1＋6d ＝－16，a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 21＋8da 1＋12d 2＝－16，a 1＝－4d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2.因此S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)， 或S n ＝8n －n (n －1)＝－n (n －9)．10．解析：(1)证明：∵f (x )＝[x －(n ＋1)]2＋3n －8， ∴a n ＝3n －8，∵a n ＋1－a n ＝3，∴{a n }为等差数列． (2)∵b n ＝|3n －8|，当1≤n ≤2时，b n ＝8－3n ，b 1＝5.S n ＝n 5＋8－3n2＝13n －3n22.当n ≥3时，b n ＝3n －8，S n ＝5＋2＋1＋4＋…＋(3n －8)＝7＋n －21＋3n －82＝3n 2－13n ＋282.∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧13n －3n22，1≤n ≤23n 2－13n ＋282，n ≥3.第三节 等比数列一、选择题1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( )A ．2 B.73 C.83D ．32．已知等比数列{a n }满足a n ＞0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n(n≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝ ( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)23．设x ∈R ，记不超过x 的最大整数为[x ]，令{x }＝x －[x ]，则)215(+，)215(+，215+ ( )A ．是等差数列但不是等比数列B ．是等比数列但不是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列也不是等比数列4．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝ ( )A ．64B ．81C ．128D ．2435．已知等比数列{a n }中a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞) 二、填空题6．等比数列{a n }的公比q ＞0，已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝________.7．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |＞1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,81}中则6q ＝________.8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．三、解答题9．等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .10．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列．(1)求{a n }的公比q ； (2)若a 1－a 3＝3，求S n ，参考答案1．解析：设公比为q ，则S 6S 3＝1＋q 3S 3S 3＝1＋q 3＝3⇒q 3＝2.于是S 9S 6＝1＋q 3＋q 61＋q 3＝1＋2＋41＋2＝73. 答案：B2．解析：由a 5·a 2n －5＝22n(n ≥3)得a 2n ＝22n，a n ＞0，则a n ＝2n， log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2. 答案：C3．解析：可分别求得)215(+＝5－12，)215(+＝1，则三数成等比数列．答案：B4．解析：由a 2＋a 3＝q (a 1＋a 2)＝3q ＝6， ∴q ＝2，∴a 1(1＋q )＝3，∴a 1＝1， ∴a 7＝26＝64. 答案：A5．解析：∵等比数列{a n }中a 2＝1，∴S 3＝a 1＋a 2＋a 3 ＝a 2(1＋q ＋1q )＝1＋q ＋1q.∴当公比q >0时，S 3＝1＋q ＋1q≥1＋2q ·1q＝3(当且仅当q＝1q即q ＝1时取“＝”)；当公比q <0时， S 3＝1－(－q －1q)≤1－2－q ·－1q＝－1，(当且仅当－q ＝－1q即q ＝－1时取等号)．∴S 3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)，故选D. 答案：D6．解析：由a n ＋2＋a n －1＝6a n 得：qn ＋1＋q n ＝6qn －1，即q 2＋q －6＝0，q ＞0，解得：q ＝2，又a 2＝1， ∴a 1＝12，S 4＝121－241－2＝152. 答案：1527．解析：{a n }有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中，四项－24,36，－54,81成等比数列，公比为q ＝－32，6q ＝－9.答案：－98．解析：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．答案：T 8T 4 T 12T 89．解析：(1)设{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2·2n －1＝2n. (2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32. 设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝8b 1＋4d ＝32解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16d ＝12，从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28， 所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n －16＋12n －282＝6n 2－22n .10．解析：(1)依题意有a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2) 由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0，又q ≠0，从而q ＝－12.(2)由已知可得a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－122＝3，故a 1＝4.故S n ＝4⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝83⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12n第四节 数列通项的求法一、选择题1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝a n－1(a 为不为零的实数)，则此数列 ( ) A ．一定是等差数列 B ．一定是等比数列C ．或是等差数列或是等比数列D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列2．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )，则数列{}a n 的通项公式a n ＝ ( )A ．2n －1B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n ＋1n n －1C ．n 2D ．n 3．如果数列{a n }满足a 1，a 2a 1，a 3a 2，…，a na n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，则a 100＝( )A ．2100B ．299C ．25050D ．249504．数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝－1a n ＋1，则a 2009＝( )A ．2B ．－13C ．－32 D ．15．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝a ，a 2＝b ，记S n＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则下列结论正确的是 ( )A ．a 2008＝－a ，S 2008＝2b －aB ．a 2008＝－b ，S 2008＝2b －aC ．a 2008＝－b ，S 2008＝b －aD ．a 2008＝－a ，S 2008＝b －a 二、填空题6．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1，则a n ＝________.7．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－2a n ＝2n，则a n ＝________. 8．设函数f (x )＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a n xn －1，f (0)＝12，数列{a n }满足f (1)＝n 2a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项a n ＝________________. 三、解答题9．设曲线y ＝x 2＋x ＋1－ln x 在x ＝1处的切线为l ，数列{a n }中，a 1＝1，且点(a n ，a n ＋1)在切线l 上． (1)求证：数列{1＋a n }是等比数列，并求a n ； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .10．已知数列{a n }满足，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N .(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列： (2)求{a n }的通项公式．参考答案1．解析：n ＝1时，a 1＝S 1＝a －1；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a n－1)－(an －1－1)＝a n －1(a －1)．①当a ＝1时，a n ＝0，数列{a n }的通项公式a n ＝0，是等差数列，但不是等比数列；②当a ≠1时，∵a ≠0，数列{a n }的通项公式a n ＝(a －1)·a n －1，是等比数列，但不是等差数列，选C. 答案：C2．解析：由a n ＝n (a n ＋1－a n )⇒(n ＋1)a n ＝na n ＋1⇒a n ＋1a n ＝n ＋1n ，∴a 2a 1＝21，a 3a 2＝32，…，a n a n ＋1＝nn －1(n ≥2) 相乘得：a na 1＝n ，又a 1＝1，∴a n ＝n .选D.答案：D3．解析：由题设知：a 1＝1，a n a n －1＝2n －1(n ≥2)，∴a 2a 1＝21，a 3a 2＝22，…，a n a n －1＝2n －1，相乘得： a n a 1＝21·22·23…2n －1＝2n n －12，a n ＝2n n －12，a 100＝24950. 答案：D4．解析：由a 1＝2，a n ＋1＝－11＋a n ⇒a 2＝－11＋2＝－13a 3＝－11－13＝－32，a 4＝－11－32＝2，a 5＝－13，a 6＝－32，…故数列{a n }具有周期性，a 3n －2＝2，a 3n －1＝－13，a 3n ＝－32.∵2009＝3×669＋2，∴a 2009＝a 2＝－13. 答案：B5．解析：由a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)⇒a 3＝a 2－a 1＝b －a ，a 4＝a 3－a 2＝b －a －b ＝－a ， a 5＝a 4－a 3＝－a －(b －a )＝－b ， a 6＝a 5－a 4＝－b －(－a )＝a －b a 7＝a 6－a 5＝a －b －(－b )＝a .故数列具有周期性，a 6n ＋1＝a 1，a 6n ＋2＝a 2，a 6n ＋3＝b －a ，a 6n ＋4＝－a ，a 6n ＋5＝－b ，a 6n ＝a －b .且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0.∵2008＝6×334＋4. ∴a 2008＝a 4＝－a ，S 2008＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2b －a .故选A. 答案：A6．解析：由a n ＋1＝a n1＋3a n ⇒1a n ＋1＝1a n＋3，又a 1＝1，∴1a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，a n ＝13n －2. 答案：13n －27．解析：由a n ＋1＝2a n ＋2n⇒a n ＋12n ＋1＝a n 2n ＋12，又a 1＝1∴a n 2n ＝12＋(n －1)·12＝n 2，a n ＝n ·2n －1. 答案：n ·2n －18．解析：a 1＝f (0)＝12，a 1＋a 2＋…＋a n ＝f (1)＝n 2·a n当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2·a n －1两式相减得：a n ＝n 2·a n －(n －1)2·a n －1⇒a n a n －1＝n －1n ＋1.∴a 2a 1＝13，a 3a 2＝24，a 4a 3＝35，…，a n a n －1＝n －1n ＋1， 相乘得：a n a 1＝1×2n n ＋1，又a 1＝12，∴a n ＝1n n ＋1.答案：1nn ＋19．解析：(1)由y ＝x 2＋x ＋1－ln x ，知x ＝1时，y ＝3. 又y ′|x ＝1＝2x ＋1－1x|x ＝1＝2，∴切线l 的方程为y －3＝2(x －1)，即y ＝2x ＋1. ∵点(a n ，a n ＋1)在切线l 上， ∴a n ＋1＝2a n ＋1,1＋a n ＋1＝2(1＋a n )．又a 1＝1，∴数列{1＋a n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴1＋a n ＝2·2n －1，即a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1) ＝2＋22＋…＋2n －n ＝2n ＋1－2－n .10．解析：(1)证明：b 1＝a 2－a 1＝1， 当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n2－a n＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1，所以{b n }是以1为首项；－12为公比的等比数列．(2)由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12n －1， 当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12n －2＝1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝1＋23⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12n －1 ＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12n －1， 当n ＝1时，53－23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12n －1＝1＝a 1，所以a n ＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12n －1()n ∈N *.第五节 数列的求和一、选择题1．数列{}a n 中，a 1＝－60，且a n ＋1＝a n ＋3，则这个数列的前30项的绝对值之和为 ( )A ．495B ．765C ．3105D ．120 2．化简S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －1＋2n －1的结果是 ( ) A ．2n－2n ＋1 B ．2n ＋1－n ＋2 C ．2n ＋n －2 D ．2n ＋1－n －23．在项数为2n ＋1且中间项不为零的等差数列中，所有奇数项和与偶数项和之比为( )A.n ＋1nB.n ＋12nC.2n ＋1nD ．14．数列{}a n 的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n 为 ( )A ．11B ．99C ．120D ．121 5．设S n 和T n 分别为两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和，若对任意n ∈N ，都有S n T n ＝7n ＋14n ＋27，则数列{a n }的第11项与数列{b n }的第11项的比是 ( ) A ．4∶3 B ．3∶2 C ．7∶4 D ．78∶71二、填空题6．对于每个正整数n ，抛物线y ＝(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1与x 轴交于两点a n 、B n ，则||a 1B 1＋||A 2B 2＋…＋||A 2010B 2010的值为______．7．一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品，如下图所示．若按照这种规律依次增加一定数量的宝石，则第5件工艺品所用的宝石数为________颗；第n 件工艺品所用的宝石数为________颗(结果用n 表示)．8．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝23a n －13，且1＜S k ＜9，则a 1的值为：________；k 的值为：________.三、解答题9．设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝2－2S n ；数列{a n }为等差数列，且a 5＝14，a 7＝20. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)若c n ＝a n ·b n ，n ＝1,2,3，…，T n 为数列{c n }的前n 项和，求证：T n ＜72.10．已知点⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，13是函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象上一点，等比数列{a n }的前n 项和为f (n )－c ，数列{b n }(b n ＞0)的首项为c ，且前n 项和S n 满足S n －S n －1＝ S n ＋ S n －1(n ≥2)．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若数列{1b n b n ＋1}前n 项和为T n ，问T n ＞10002009的最小正整数n 是多少？参考答案1．解析：数列{a n }是首项a 1＝－60，公差d ＝3的等差数列， ∴a n ＝－60＋(n －1)×3＝3n －63.当a n ≤0时，3n －63≤0⇒1≤n ≤21；当n ≥22时，a n ＞0. ∴前30项的绝对值之和S 30＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 21|＋|a 22|＋…＋|a 30|＝－(a 1＋a 2＋…＋a 21)＋a 22＋…＋a 30＝630＋135＝765. 答案：B2．解析：由S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋1×2n －1⇒2S n ＝n ×2＋(n －1)×22＋…＋3×2n －2＋2×2n －1＋1×2n相式相减得：S n ＝2＋22＋…＋2n －1＋2n －n ＝2(2n－1)－n ＝2n ＋1－n－2.选D. 答案：D3．解析：奇数项之和S 1＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝a 1＋a 2n ＋12×(n ＋1)＝(n ＋1)a n ＋1，偶数项之和S 2＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝a 2＋a 2n2×n ＝na n ＋1∵中间项不为零，∴a n ＋1≠0即S 1S 2＝n ＋1n.选A.答案：A4．解析：由a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n 得：a 1＝2－1，a 2＝3－2，…，a n ＝n ＋1－n ，∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝n ＋1－1 令n ＋1－1＝10⇒n ＝120.选C. 答案：C5．解析：因为a n b n ＝12a 1＋a 2n －112b 1＋b 2n －1＝12a 1＋a 2n －12n －112b 1＋b 2n －12n －1＝S 2n －1T 2n －1， 所以a 11b 11＝S 2×11－1T 2×11－1＝S 21T 21＝7×21＋14×21＋27＝43.故选A.答案：A6．解析：令y ＝0⇒(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1＝0⇒ (nx －1)[(n ＋1)x －1]＝0解得x 1＝1n ，x 2＝1n ＋1，∴|A n B n |＝|x 1－x 2|＝1n －1n ＋1.∴|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2010B 2010|＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12010－12011 ＝1－12011＝20102011.答案：201020117．解析：设第n 件工艺品所用的宝石数为a n ，则a 1＝4×(1＋2)－3×2＝6，a 2＝4×(1＋2＋3)－3×3＝15， a 3＝4×(1＋2＋3＋4)－3×4＝28， a 4＝4×(1＋2＋3＋4＋5)－3×5＝45，a 5＝4×(1＋2＋3＋4＋5＋6)－3×6＝66.依此规律， a n ＝4×[1＋2＋3＋…＋n ＋(n ＋1)]－3×(n ＋1)＝4×n ＋2n ＋12－3(n ＋1)＝(2n ＋1)(n ＋1)．答案：66 2n 2＋3n ＋18．解析：令n ＝1，得a 1＝S 1＝23a 1－13⇒a 1＝－1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.∴S n ＝23(S n －S n －1)－13⇒S n ＝－2S n －1－1，∴S n ＋13＝－2⎝⎛⎭⎪⎪⎫S n －1＋13. ∴S n ＋13＝－23×(－2)n －1，∴S n ＝－13－23×(－2)n －1＝13[(－2)n－1]由1＜S k ＜9⇒1＜13[(－2)k －1]＜9⇒3＜(－2)k－1＜27，∴k ＝4. 答案：－1 49．解析：(1)由b n ＝2－2S n ，令n ＝1，则b 1＝2－2S 1，又S 1＝b 1，所以b 1＝23.b 2＝2－2(b 1＋b 2)，则b 2＝29.当n ≥2时，由b n ＝2－2S n ，可得b n －b n －1＝－2(S n －S n －1)＝－2b n ，即b n b n －1＝13.所以{b n }是以b 1＝23为首项，13为公比的等比数列，于是b n ＝2·13n .当n ＝1时，b 1＝23也适合上式，∴b n ＝2·13n (n ∈N *)(2)证明：数列{a n }为等差数列，公差d ＝12(a 7－a 5)＝3，a 1＝2，可得a n ＝3n －1.从而c n ＝a n ·b n ＝2(3n －1)·13n .∴T n ＝2⎝⎛⎭⎪⎪⎫23＋532＋833＋…＋3n －13n ， 13T n ＝2⎝⎛⎭⎪⎪⎫232＋533＋…＋3n －43n ＋3n －13n ＋1， ∴23T n ＝2⎣⎢⎢⎡3·13＋3·132＋3·133＋…＋3·13n －13－(3n －1)·⎦⎥⎥⎤13n ＋1. 从而T n ＝72－72·13n －n 3n －1＜72.10．解析：(1)∵f (1)＝a ＝13，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x ， a 1＝f (1)－c ＝13－c ，a 2＝[f (2)－c ]－[f (1)－c ]＝－29，a 3＝[f (3)－c ]－[f (2)－c ]＝－227.又数列{a n }成等比数列，a 1＝a 22a 3＝481－227＝－23＝13－c ，所以c ＝1；又公比q ＝a 2a 1＝13，所以a n ＝－23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13n －1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13n (n ∈N *)； ∵S n －S n －1＝()S n －S n －1S n ＋S n －1＝S n ＋S n －1(n ≥2)又b n ＞0，S n ＞0，∴ S n －S n －1＝1；数列{S n }构成一个首项为1公差为1的等差数列，S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，S n ＝n 2，当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1， 又∵当n ＝1时，b 1＝1满足上式． ∴b n ＝2n －1(n ∈N *)； (2)T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋12n －1×2n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13－15＋12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫15－17＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 由T n ＝n2n ＋1＞10002009得n ＞10009，∴满足T n ＞10002009的最小正整数为112.第六节 数列的综合应用一、选择题1．在等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a 7＝5，S 7＝21，那么S 10等于( )A ．55B ．40C ．35D ．70 2．等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－2008，S 20072007－S 20052005＝2，则S 2008的值为( )A ．－2006B ．2006C ．－2008D ．2008 3．若x 的方程x 2－x ＋a ＝0和x 2－x ＋b ＝0(a ≠b )的四个根可组成首项为14的等差数列，则a ＋b 的值为( )A.38B.1124C.1324D.31724．若数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ， 0≤a n <12；2a n－1， 12≤a n <1.若a 1＝67，则a 20的值为 ( )A.67B.57C.37D.17 5．已知等比数列{}a n 的公比为q <0，前n 项和为S n ，则S 4a 5与S 5a 4的大小关系是( )A ．S 4a 5＝S 5a 4B ．S 4a 5>S 5a 4C ．S 4a 5<S 5a 4D ．以上都不正确 二、填空题6．设等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n＋a ，等差数列{b n }的前n 项和T n ＝n 2－2n ＋b ，则a ＋b ＝________.7．已知实数数列{a n }中，a 1＝1，a 6＝32，a n ＋2＝a 2n ＋1a n，把数列{a n }的各项排成如下图的三角形形状．记A (m ，n )为第m 行从左起第n 个数，则A (12,5)＝______.a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9… … …若A (m ，n )·A (n ，m )＝250，则m ＋n ＝________.8．如下图甲是第七届国际数学教育大会(简称ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中Oa 1＝a 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记Oa 1，OA 2，…，Oa n ，…的长度构成数列{}a n ，则此数列的通项公式为a n ＝________.三、解答题9．已知数列{a n}的前n项和S n＝2n2＋2n，数列{b n}的前n项和T n＝2－b n，(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式；(2)设c n＝a2n·b n，证明：当且仅当n≥3时，c n＋1＜c n.10．已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，且a n＋1＝(1＋q)a n－qa n－1(n ≥2，q≠0)．(1)设b n＝a n＋1－a n(n∈N)，证明：{b n}是等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n ∈N*，a n是a n＋3与a n＋6的等差中项．参考答案1．解析：∵S 7＝21，∴a 1＋a 72×7＝21，即a 1＋5＝6，∴a 1＝1又a 7＝5，∴公差d ＝a 7－a 17－1＝23. ∴S 10＝10×a 1＋10×92×23＝40.答案：B2．解析：∵S n ＝a 1＋a n2×n ，∴S n n ＝a 1＋a n 2，又由S 20072007－S 20052005＝2⇒a 1＋a 20072－a 1＋a 20052＝2⇒a 2007－a 2005＝4，∴公差d ＝2.∴S 2008＝2008a 1＋2008×20072×2＝2008×(a 1＋2007)＝－2008.故选C. 答案：C3．解析：由题意四个根为14，14＋16，14＋26，34.则a ＝14×34＝316，b ＝512×712＝35144.答案：D4．解析：∵a 1＝67＞12，∴a 2＝2a 1－1＝57＞12，a 3＝2a 2－1＝37＜1，a 4＝2a 3＝67，故数列{a n }满足a 1＝a 4＝a 7＝…＝a 3k ＋1且a m ＝a m ＋3. 又20＝3×6＋2，∴a 20＝a 2＝57.选B.答案：B5．解析：当n ≥2时，S n ·a n ＋1－S n ＋1·a n ＝S n (S n ＋1－S n )－S n ＋1·(S n －S n －1)＝－S 2n ＋S n ＋1·S n －1∵S n ＋1＝a 11－q n ＋11－q ，S n ＝a 11－q n 1－q ，S n －1＝a 11－q n －11－q∴S n ＋1·S n －1－S 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 11－q 2[(1－q n ＋1)(1－q n －1)－(1－q n )2] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 11－q 2()2q n －q n＋1－qn －1＝－qn －1·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 11－q 2(1－q )2 当n 是奇数时，S n ＋1·S n －1－S 2n ＜0； 当n 是偶数时，S n ＋1·S n －1－S 2n ＞0. ∴S 4·a 5－S 5·a 4＞0.选B. 答案：B6．解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋a －(2n －1＋a )＝2n －1，又a 1＝S 1，∴1＝21＋a ⇒a ＝－1；又当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝n 2－2n ＋b －(n －1)2＋2(n －1)－b ＝2n －3，由b 1＝T 1⇒－1＝1－2＋b ⇒b ＝0.∴a ＋b ＝－1. 答案：－17．解析：由a n ＋2＝a 2n ＋1a n ⇒a n ＋2a n ＋1＝a n ＋1a n ，知数列{a n }是等比数列，又a 1＝1，a 6＝32，设公比为q ，则32＝q 5⇒q ＝2.∴a n ＝2n －1，由图示规律 ，第11行最右边的数为a 121，∴A (12,5)＝a 126＝2125.(2)(理)一般地，A (m ，n )是数列{a n }中的第(m －1)2＋n 项． 由A (m ，n )·A (n ，m )＝250⇒m 2－2m ＋n ＋n 2－2n ＋m ＝50⇒m 2－m ＋n 2－n －50＝0，Δ＝1－4(n 2－n －50)＝202－(2n －1)2，当(2n －1)2＝81或121时，Δ为完全平方数．解得n ＝5或6，m ＝6或5.∴m ＋n ＝11. 答案：2125118．解析：依题意a 2m －a 2n －1＝1，a 1＝1， ∴a 2n ＝1＋(n －1)＝n ，a n ＝n . 答案：n9．解析：(1)a 1＝s 1＝4.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋2n )－[2(n －1)2＋2(n －1)]＝4n ，∴a n ＝4n (n ∈N *)．又当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝2－b n －(2－b n －1)， ∴2b n ＝b n －1，数列{b n }是首项1，公比为12的等比数列，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1. (2)由(1)知c n ＝a 2n ·b n ＝16n2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1， ∴C n ＋1C n ＝16n ＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n ＋1－116n 2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1＝n ＋122n2.由C n ＋1C n ＜1得n ＋122n2＜1即n 2－2n －1＞0，∴n ＞1＋2即n ≥3.又n ≥3时n ＋122n2＜1成立，即C n ＋1C n＜1，又C n ＞0，因此，当且令当n ≥3时，C n ＋1＜C n .10．解析：(1)证明：由题设a n ＋1＝(1＋q )a n －qa n －1(n ≥2)，得a n ＋1－a n ＝q (a n －a n －1)，即b n ＝qb n －1，n ≥2.又b 1＝a 2－a 1＝1，q ≠0，所以{b n }是首项为1，公比为q 的等比数列．(2)由(1)，a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝q ，…a n －a n －1＝q n －2(n ≥2)．将以上各式相加，得a n －a 1＝1＋q ＋…＋q n －2(n ≥2)．所以当n ≥2时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1－q n －11－q ，q ≠1，n ， q ＝1.上式对n ＝1显然成立．(3)由(2)，当q ＝1时，显然a 3不是a 6与a 9的等差中项，故q ≠1.由a 3－a 6＝a 9－a 3可得q 5－q 2＝q 2－q 8，由q ≠0得q 3－1＝1－q 6，①整理得(q 3)2＋q 3－2＝0，解得q 3＝－2或q 3＝1(舍去)， 于是q ＝－32.另一方面，a n －a n ＋3＝q n ＋2－q n －11－q ＝q n －11－q (q 3－1)，a n ＋6－a n ＝q n －1－q n ＋51－q ＝q n －11－q (1－q 6)．由①可得a n －a n ＋3＝a n ＋6－a n ，n ∈N *.所以对任意的n ∈N *，a n 是a n ＋3与a n ＋6的等差中项．。