2017年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求1．（5分）已知全集为R，集合M={﹣1，1，2，4}，N={x|x2﹣2x≥3}，则M∩（∁R N）=（）A．{﹣1，2，2}B．{4}C．{1，2}D．{x|﹣1≤x≤2}2．（5分）复数z满足z（2+i）=3﹣i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，则“|q|=1”是“S6=3S2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A．2 B．4 C．5 D．65．（5分）在考试测评中，常用难度曲线图来检测题目的质量，一般来说，全卷得分高的学生，在某道题目上的答对率也应较高，如果是某次数学测试压轴题的第1、2问得分难度曲线图，第1、2问满分均为6分，图中横坐标为分数段，纵坐标为该分数段的全体考生在第1、2问的平均难度，则下列说法正确的是（）A．此题没有考生得12分B．此题第1问比第2问更能区分学生数学成绩的好与坏C．分数在[40，50）的考生此大题的平均得分大约为4.8分D．全体考生第1问的得分标准差小于第2问的得分标准差6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．6 B．C．7 D．7．（5分）如图所示的程序框图，输出的值为（）A．B．C．D．8．（5分）一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB、AD分别交于E、F，且交其对角线AC于K，若=2，=3，=λ（λ∈R），则λ=（）A．2 B．C．3 D．59．（5分）下列函数中，同时满足两个条件“①∀x∈R，f（）+f（）=0；②当﹣＜x＜时，f′（x）＞0”的一个函数是（）A．f（x）=sin（2x+）B．f（x）=cos（2x+）C．f（x）=sin（2x﹣）D．f（x）=cos（2x﹣）10．（5分）二项式（x+）n（n∈N*）展开式中只有一项的系数为有理数，则n可能取值为（）A．6 B．7 C．8 D．911．（5分）任意a∈R，曲线y=e x（x2+ax+1﹣2a）在点P（0，1﹣2a）处的切线l与圆C：x2+2x+y2﹣12=0的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．以上均有可能12．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，g（x）=3x2+2ax+b（a，b，c是常数），若f（x）在（0，1）上单调递减，则下列结论中：①f（0）•f（1）≤0；②g（0）•g（1）≥0；③a2﹣3b有最小值．正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分13．（5分）函数f（x）=﹣log2为奇函数，则实数a=．14．（5分）已知0＜x＜，且tan（x﹣）=﹣，则sinx+cosx=．15．（5分）所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数（也称为完备数、玩美数），如6=1+2+3；28=1+2+4+7+14；496=1+2+4+8+16+31+62+124+248，此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和，如6=21+22，28=22+23+24，…，按此规律，8128可表示为．16．（5分）已知双曲线C：﹣=1（b＞a＞0）的右焦点为F，O为坐标原点，若存在直线l过点F交双曲线C的右支于A，B两点，使•=0，则双曲线离心率的取值范围是．三．解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=4c，B=2C （Ⅰ）求cosB；（Ⅱ）若c=5，点D为边BC上一点，且BD=6，求△ADC的面积．18．（12分）我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如图表：（Ⅰ）若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（Ⅱ）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；（Ⅲ）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元．试估计政府执行此计划的年度预算．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAD为正三角形，AB∥CD，AB=2CD，∠BAD=90°，PA⊥CD，E为棱PB的中点（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面CDE；（Ⅱ）若直线PC与平面PAD所成角为45°，求二面角A﹣DE﹣C的余弦值．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（2，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设A（0，﹣1），直线l与椭圆C交于P，Q两点，且|AP|=|AQ|，当△OPQ （O为坐标原点）的面积S最大时，求直线l的方程．21．（12分）设函数f（x）=e ax+λlnx，其中a＜0，0＜λ＜，e是自然对数的底数（Ⅰ）求证：函数f（x）有两个极值点；（Ⅱ）若﹣e≤a＜0，求证：函数f（x）有唯一零点．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．（10分）在极坐标系中，射线l：θ=与圆C：ρ=2交于点A，椭圆Γ的方程为ρ2=，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy （Ⅰ）求点A的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；（Ⅱ）若E为椭圆Γ的下顶点，F为椭圆Γ上任意一点，求•的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]（共1小题，满分0分）23．已知不等式|x+3|﹣2x﹣1＜0的解集为（x0，+∞）（Ⅰ）求x0的值；（Ⅱ）若函数f（x）=|x﹣m|+|x+|﹣x0（m＞0）有零点，求实数m的值．2017年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求1．（5分）已知全集为R，集合M={﹣1，1，2，4}，N={x|x2﹣2x≥3}，则M∩（∁R N）=（）A．{﹣1，2，2}B．{4}C．{1，2}D．{x|﹣1≤x≤2}【分析】化简集合N，根据补集与交集的定义进行计算即可．【解答】解：全集为R，集合M={﹣1，1，2，4}，N={x|x2﹣2x≥3}={x|x2﹣2x﹣3≥0}={x|x≤﹣1或x≥3}，∴∁R N={x|﹣1＜x＜3}，∴M∩（∁R N）={1，2}．故选：C．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2．（5分）复数z满足z（2+i）=3﹣i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】由z（2+i）=3﹣i，得，再利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出复数z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：由z（2+i）=3﹣i，得=，则复数z在复平面内对应的点的坐标为：（1，﹣1），位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．（5分）设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，则“|q|=1”是“S6=3S2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据等比数列的前n项和为S n．结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若q=1时，S6=6a1=3S2=3•2a1=6a1，q=﹣1时，S6=3S2=0，符合题意，是充分条件；反之也成立，故“|q|=1”是“S6=3S2”的充要条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用等比数列的性质是解决本题的关键．4．（5分）变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A．2 B．4 C．5 D．6【分析】先根据条件画出可行域，设z=x+3y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线z=x+3y，取得截距的最小值，从而得到z最小值即可．【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域，由z=x+3y可得y=﹣x+z．则z为直线y=﹣x+z在y轴上的截距，截距越小，z越小，作直线L：x+3y=0，然后把直线L向可行域方向平移，当经过点B时，z最小由可得B（2，0），此时z=2故选：A．【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．5．（5分）在考试测评中，常用难度曲线图来检测题目的质量，一般来说，全卷得分高的学生，在某道题目上的答对率也应较高，如果是某次数学测试压轴题的第1、2问得分难度曲线图，第1、2问满分均为6分，图中横坐标为分数段，纵坐标为该分数段的全体考生在第1、2问的平均难度，则下列说法正确的是（）A．此题没有考生得12分B．此题第1问比第2问更能区分学生数学成绩的好与坏C．分数在[40，50）的考生此大题的平均得分大约为4.8分D．全体考生第1问的得分标准差小于第2问的得分标准差【分析】由图中横坐标为分数段，纵坐标为该分数段的全体考生在第1、2问的平均难度，分数越高的同学，第1问得分高，说明此题第1问比第2问更能区分学生数学成绩的好与坏，即可得出结论．【解答】解：由图中横坐标为分数段，纵坐标为该分数段的全体考生在第1、2问的平均难度，分数越高的同学，第1问得分高，说明此题第1问比第2问更能区分学生数学成绩的好与坏，故选：B．【点评】本题考查难度曲线图，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．6 B．C．7 D．【分析】由题意，直观图是正方体切去一个三棱锥，即可求出该几何体的体积．【解答】解：由题意，直观图是正方体切去一个三棱锥，该几何体的体积为=，故选：D．【点评】本题考查几何体体积的计算，考查三视图，确定几何体的形状是关键．7．（5分）如图所示的程序框图，输出的值为（）A．B．C．D．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当i=1时，满足进行循环的条件，故S=，i=2，当i=2时，满足进行循环的条件，故S=1，i=3，当i=3时，满足进行循环的条件，故S=，i=4，当i=4时，满足进行循环的条件，故S=，i=5，当i=5时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．8．（5分）一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB、AD分别交于E、F，且交其对角线AC于K，若=2，=3，=λ（λ∈R），则λ=（）A．2 B．C．3 D．5【分析】=λ⇒=，由E，F，K三点共线可得，即可．【解答】解：∵=2，=3，∴=λ∴=，由E，F，K三点共线可得，∴λ=5故选：D．【点评】本题主要考查了向量加法的平行四边形法则的应用，向量共线定理的应用，其中解题的关键由EFK三点共线得系数之和为1，属于基础题．9．（5分）下列函数中，同时满足两个条件“①∀x∈R，f（）+f（）=0；②当﹣＜x＜时，f′（x）＞0”的一个函数是（）A．f（x）=sin（2x+）B．f（x）=cos（2x+）C．f（x）=sin（2x﹣）D．f（x）=cos（2x﹣）【分析】①∀x∈R，f（）+f（）=0，函数的对称中心为（，0）；②当﹣＜x＜时，f′（x）＞0，函数单调递增，结合选项，可得结论．【解答】解：①∀x∈R，f（）+f（）=0，函数的对称中心为（，0）；②当﹣＜x＜时，f′（x）＞0，函数单调递增，结合选项，可得C满足，故选：C．【点评】本题考查三角函数的对称性、单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10．（5分）二项式（x+）n（n∈N*）展开式中只有一项的系数为有理数，则n可能取值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】由题意，展开式中项的系数为，系数为有理数，n﹣r是2的倍数，r是3的倍数，代入验证，即可得出结论．【解答】解：由题意，展开式中项的系数为，系数为有理数，n﹣r是2的倍数，r是3的倍数，n=6，r=0，6不符合；n=7，r=3；n=8，r=0，6不符合；n=9，r=3，9，不符合题意，故选：B．【点评】本题考查二项展开式，考查学生的计算能力，属于中档题．11．（5分）任意a∈R，曲线y=e x（x2+ax+1﹣2a）在点P（0，1﹣2a）处的切线l与圆C：x2+2x+y2﹣12=0的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．以上均有可能【分析】求出曲线y=e x（x2+ax+1﹣2a）在点P（0，1﹣2a）处的切线l恒过定点（﹣2，﹣1），代入x2+2x+y2﹣12，可得4﹣4+1﹣12=﹣11＜0，即定点在圆内，即可得出结论．【解答】解：∵y=e x（x2+ax+1﹣2a），∴y′=e x（x2+ax+2x+1﹣a），x=0时，y′=1﹣a，∴曲线y=e x（x2+ax+1﹣2a）在点P（0，1﹣2a）处的切线y﹣1+2a=（1﹣a）x，恒过定点（﹣2，﹣1），代入x2+2x+y2﹣12，可得4﹣4+1﹣12=﹣11＜0，即定点在圆内，∴切线l与圆C：x2+2x+y2﹣12=0的位置关系是相交．故选：A．【点评】本题考查导数的几何运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，g（x）=3x2+2ax+b（a，b，c是常数），若f（x）在（0，1）上单调递减，则下列结论中：①f（0）•f（1）≤0；②g（0）•g（1）≥0；③a2﹣3b有最小值．正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】由f（x）在（0，1）上单调递减，可得g（x）=3x2+2ax+b≤0在（0，1）上恒成立，则3x2+2ax+b=0有两个不等的实根根，进而判断三个命题的真假，可得答案．【解答】解：函数f（x）=x3+ax2+bx+c在（0，1）上单调递减，但f（0），f（1）的符号不能确定，故①f（0）•f（1）≤0不一定正确；由f′（x）=3x2+2ax+b≤0在（0，1）上恒成立，即g（x）=3x2+2ax+b≤0在（0，1）上恒成立，故g（0）≤0，且g（1）≤0，故②g（0）•g（1）≥0一定正确；由g（0）≤0，且g（1）≤0得b≤0，3+2a+b≤0，令Z=a2﹣3b，则b=（a2﹣Z），当b=（a2﹣Z）过（﹣，0）点时，Z取最小值﹣故③正确；故选：C．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了利用导数研究函数的单调性，二次函数的图象和性质，难度中档．二、填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分13．（5分）函数f（x）=﹣log2为奇函数，则实数a=1．【分析】由题意，f（﹣x）=﹣f（x），可得﹣﹣log2=﹣+log2，即可求出a的值．【解答】解：由题意，f（﹣x）=﹣f（x），可得﹣﹣log2=﹣+log2∴a=±1，a=﹣1，函数定义域不关于原点对称，舍去．故答案为1．【点评】本题考查奇函数的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．14．（5分）已知0＜x＜，且tan（x﹣）=﹣，则sinx+cosx=．【分析】利用两角差的正切公式求出tanx的值，又根据已知条件列出方程组，求解即可得到sinx，cosx的值，代入sinx+cosx计算得答案．【解答】解：∵tan（x﹣）=﹣，∴=，则tanx=又0＜x＜，∴，解得sinx=，cosx=，则sinx+cosx=．故答案为：．【点评】本题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，是基础题．15．（5分）所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数（也称为完备数、玩美数），如6=1+2+3；28=1+2+4+7+14；496=1+2+4+8+16+31+62+124+248，此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和，如6=21+22，28=22+23+24，...，按此规律，8128可表示为26+27+ (212)【分析】依据定义，结合可以表示为2的一些连续正整数次幂之和，即可得出结论．【解答】解：由题意，2n﹣1是质数，2n﹣1（2n﹣1）是完全数，∴令n=7，可得一个四位完全数为64×（127﹣1）=8128，∴8128=26+27+ (212)故答案为：26+27+ (212)【点评】本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，正确理解新定义是关键．16．（5分）已知双曲线C：﹣=1（b＞a＞0）的右焦点为F，O为坐标原点，若存在直线l过点F交双曲线C的右支于A，B两点，使•=0，则双曲线离心率的取值范围是≤e＜．【分析】设焦点为F（c，0），设直线AB：y=k（x﹣c），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程和双曲线方程，消去y，运用韦达定理和判别式大于0，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得k，即可得到离心率的范围．【解答】解：直线的斜率不存在时，A（c，），B（c，﹣），由于OA⊥OB，则有x1x2+y1y2=0，可得e=；焦点为F（c，0），直线AB：y=k（x﹣c），设A（x1，y1），B（x2，y2），则联立直线方程和双曲线的方程，可得（b2﹣a2k2）x2+2ca2k2x﹣a2k2c2﹣a2b2=0，则△=4c2a4k4+4（b2﹣a2k2）（a2k2c2+a2b2）＞0，x1+x2=，x1x2=，则y1y2=k2（x1x2+c2﹣c（x1+x2））=k2•，由于OA⊥OB，则有x1x2+y1y2=0，即有a2b2+a2k2c2+k2（a2b2﹣b2c2）=0，即有k2=，∴＞，∵b＞a，∴＞e＞，故答案为≤e＜．【点评】本题考查双曲线的离心率的范围，考查联立直线方程和双曲线方程，消去未知数，运用韦达定理和判别式大于0，考查运算能力，属于中档题和易错题．三．解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=4c，B=2C （Ⅰ）求cosB；（Ⅱ）若c=5，点D为边BC上一点，且BD=6，求△ADC的面积．【分析】（Ⅰ）由二倍角的正弦公式、正弦定理求出cosC，由二倍角的余弦公式变形求出cosB的值；（Ⅱ）由题意求出b的值，由余弦定理列出方程，化简后求出a的值，由条件求出CD的值，由cosC和平方关系求出sinC，代入三角形的面积公式求出△ADC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由题意得B=2C，则sinB=sin2C=2sinCcosC，又b=4c，所以cosC===，所以cosB=cos2C=2cos2C﹣1=；（Ⅱ）因为c=5，b=4c，所以b=，由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2accosB则80=a2+25﹣2×a，化简得，a2﹣6a﹣55=0，解得a=11或a=﹣5（舍去），由BD=6得，CD=5，由cosC=得sinC==，所以△ADC的面积S===10．【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理，二倍角的正弦公式、余弦公式变形等，以及三角形的面积公式的应用，考查方程思想，化简、计算能力．18．（12分）我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如图表：（Ⅰ）若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（Ⅱ）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；（Ⅲ）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元．试估计政府执行此计划的年度预算．【分析】（Ⅰ）从图表中求出不能自理的80岁及以上长者占比，由此能求出用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，两个群体中各应抽取多少人．（Ⅱ）求出在600人中80岁及以上长者在老人中占比，用样本估计总体，能求出80岁及以上长者占户籍人口的百分比．（Ⅲ）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X元，则X的可能取值为0，120，200，220，300，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列、EX，从而能估计政府执行此计划的年度预算．【解答】解：（Ⅰ）数据整理如下表：从图表中知采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，80岁及以上应抽取：8×=3人，80岁以上应抽取：8×=5人．（Ⅱ）在600人中80岁及以上长者在老人中占比为：，用样本估计总体，80岁及以上长者为：66×=11万，用样本估计总体，80岁及以上长者占户籍人口的百分比为=2.75%．（Ⅲ）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X元，P（X=0）=，P（X=120）==，P（X=200）==，P（X=220）==，P（X=300）==，则随机变量X的分布列为：EX==28，全市老人的总预算为28×12×66×104=2.2176×108元．政府执行此计划的年度预算约为2.2176亿元．【点评】本题考查分表图、分层抽样的应用，考查离散型随机变量的分布列及应用，是中档题，历年高考中都是必考题型之一．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAD为正三角形，AB∥CD，AB=2CD，∠BAD=90°，PA⊥CD，E为棱PB的中点（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面CDE；（Ⅱ）若直线PC与平面PAD所成角为45°，求二面角A﹣DE﹣C的余弦值．【分析】（Ⅰ）取AP的中点F，连结EF，DF，推导出四边形CDEF为平行四边形，从而DF∥CE，由此能证明平面PAB⊥平面CDE．（Ⅱ）以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出二面角A ﹣DE﹣C的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取AP的中点F，连结EF，DF，∵E是PB中点，∴EF AB，∴CD EF，∴四边形CDEF为平行四边形，∴DF∥CE，又△PAD 为正三角形，∴PA⊥DF，从而PA⊥CE，又PA⊥CD，CD∩CE=C，∴PA⊥平面CDE，又PA⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面CDE．解：（Ⅱ）∵AB∥CD，PA⊥CD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD，PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，∴∠CPD为PC与平面PAD所成角，即∠CPD=45°，从而CD=AD，以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，如图所示，设AD=2，则A（0，0，0），B（4，0，0），P（0，1，），D（0，2，0），E（2，，），∴=（2，），=（0，2，0），设平面ADE的法向量=（x，y，z），则，取z=﹣4，得=（），由（Ⅰ）知PA⊥平面CDE，∴=（0，1，）是平面CDE的一个法向量，∴cos＜＞===﹣，∴二面角A﹣DE﹣C的余弦值为﹣．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（2，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设A（0，﹣1），直线l与椭圆C交于P，Q两点，且|AP|=|AQ|，当△OPQ （O为坐标原点）的面积S最大时，求直线l的方程．【分析】（Ⅰ）由椭圆过点M（2，1），且离心率为，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程；（Ⅱ）由题意知直线l的斜率k存在，当k=0时，直线l的方程为y=±1．当k≠0时，可设直线l的方程为y=kx+m，联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣2）=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式，结合已知条件能求出直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（2，1），且离心率为，∴，又a2=b2+c2，解得a=2，b=，∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）由题意知直线l的斜率k存在，①当k=0时，设直线l的方程为y=y0，P（﹣x0，y0），Q（x0，y0），则，∴S=|2x0|•|y0|=|x0|•|y0|=2≤=2，当且仅当=2﹣，即|y0|=1时，取等号，此时直线l的方程为y=±1．②当k≠0时，可设直线l的方程为y=kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，消去y，整理得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣2）=0，由△=（8km）2﹣4（1+4k2）•4（m2﹣2）＞0，解得8k2+2＞m2，（*），，∴PQ中点为（﹣，），∵|AP|=|AQ|，∴，化简得1+4k2=3m，结合（*）得0＜m＜6，又O到直线l的距离d=，|PQ|=|x1﹣x2|=，∴S=|PQ|•d=•==，∴当m=3时，S取最大值2，此时k=，直线l的方程为y=．综上所述，直线l的方程为y=±1或y=．【点评】本题考查椭圆方程、直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式的合理运用．21．（12分）设函数f（x）=e ax+λlnx，其中a＜0，0＜λ＜，e是自然对数的底数（Ⅰ）求证：函数f（x）有两个极值点；（Ⅱ）若﹣e≤a＜0，求证：函数f（x）有唯一零点．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而判断函数的极值点的个数；（Ⅱ）根据函数的单调性，令x2∈（﹣，+∞），故f（x2）=（1﹣ax2lnx2），令h（x）=1﹣axlnx，x∈（﹣，+∞），根据函数的单调性判断即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=ae ax+=，（x＞0），令g（x）=axe ax+λ，其中a＜0，x＞0，求导得：g′（x）=ae ax（1+ax），令g′（x）=0，解得：x=﹣，x∈（0，﹣）时，g′（x）＜0，g（x）递减，x∈（﹣，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）递增，x=﹣时，g（x）取得极小值，也是最小值g（﹣）=λ﹣，∵0＜λ＜，∴g（﹣）=λ﹣＜0，又g（0）=λ＞0，∴g（﹣）g（0）＜0，而x→+∞时，f′（x）→λ＞0，∴函数f（x）有两个极值点；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：不妨令x2∈（﹣，+∞），故ax2+λ=0，故f（x2）=（1﹣ax2lnx2），令h（x）=1﹣axlnx，x∈（﹣，+∞），h′（x）=﹣a（lnx+1）＞﹣a（ln+1）=0，∴f（x2）＞0，∵f（0）→负数，∴函数f（x）有唯一零点．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道综合题．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．（10分）在极坐标系中，射线l：θ=与圆C：ρ=2交于点A，椭圆Γ的方程为ρ2=，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy （Ⅰ）求点A的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；（Ⅱ）若E为椭圆Γ的下顶点，F为椭圆Γ上任意一点，求•的取值范围．【分析】（Ⅰ）射线l：θ=与圆C：ρ=2交于点A（2，），可得点A的直角坐标；求出椭圆直角坐标方程，即可求出椭圆Γ的参数方程；（Ⅱ）设F（cosθ，sinθ），E（0，﹣1），求出相应的向量，即可求•的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）射线l：θ=与圆C：ρ=2交于点A（2，），点A的直角坐标（，1）；椭圆Γ的方程为ρ2=，直角坐标方程为+y2=1，参数方程为（θ为参数）；（Ⅱ）设F（cosθ，sinθ），∵E（0，﹣1），∴=（﹣，﹣2），=（cosθ﹣，sinθ﹣1），∴•=﹣3cosθ+3﹣2（sinθ﹣1）=sin（θ+α）+5，∴•的取值范围是[5﹣，5+]．【点评】本题考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的转化，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]（共1小题，满分0分）23．已知不等式|x+3|﹣2x﹣1＜0的解集为（x0，+∞）（Ⅰ）求x0的值；（Ⅱ）若函数f（x）=|x﹣m|+|x+|﹣x0（m＞0）有零点，求实数m的值．【分析】（Ⅰ）不等式转化为或，解得x＞2，即可求x0的值；（Ⅱ）由题意，等价于|x﹣m|+|x+|=2（m＞0）有解，结合基本不等式，即可求实数m的值．【解答】解：（Ⅰ）不等式转化为或，解得x＞2，∴x0=2；（Ⅱ）由题意，等价于|x﹣m|+|x+|=2（m＞0）有解，∵|x﹣m|+|x+|≥m+，当且仅当（x﹣m）（x+）≤0时取等号，∵|x﹣m|+|x+|=2（m＞0）有解，∴m+≤2，∵m+≥2，∴m+=2，∴m=1．【点评】本题考查不等式的解法，考查绝对值不等式，考查基本不等式的运用，属于中档题．。