第八章 边界层理论基础和绕流运动8—1 设有一静止光滑平板宽b ＝1m ，长L ＝1m ，顺流放置在均匀流u ＝1m/s 的水流中，如图所示，平板长边与水流方向一致，水温t ＝20℃。

试按层流边界层求边界层厚度的最大值δmax 和平板两侧所受的总摩擦阻力F f 。

解：20℃水的运动粘度ν＝1.003⨯10-6 m 2/s 密度3998.2/kg m ρ=6119970091.00310ν-⨯===⨯L uLRe 因为 56310997009310⨯<=<⨯L Re按层流边界层计算。

max 1/25.4470.0055m Re L L δ===3f 1/21.46 1.4610-===⨯L C Re 223998.2122 1.461011N 1.46N 22f ff u F C A ρ-⨯==⨯⨯⨯⨯⨯= 8—2 设有极薄的静止正方形光滑平板，边长为a ，顺流按水平和铅垂方向分别置放于二维恒定均速u 的水流中，试问：按层流边界层计算，平板两种置放分别所受的总摩擦阻力是否相等，为什么？解：因为两种置放情况的物理模型和数学模型及其分析、推导所得计算公式是相同的，所以两种情况平板所受的总摩擦阻力相等。

8—3 设有一静止光滑平板,如图所示,边长1m,上宽0.88m,下宽0.38m,顺流铅垂放置在均匀流速u =0.6m/s 的水流中，水温t =15℃。

试求作用在平板两侧的总摩擦阻力F f 。

注：若为层流边界层，C f 按式（8—24）计算。

解：由表1—1查得，15℃时水的密度ρ=999.13/kg m ，运动粘度ν=1.139×10-6m 2/s 。

首先判别流态，计算平板上宽雷诺数560.60.884635655101.13910ν-⨯===<⨯⨯L uLRe ，按层流边界层计算。

设z 轴铅垂向上,平板宽度x 为0.38+0.5z ，阻力系数C f 按式（8-24）计算,即12f 60.6(0.380.5)1.328 1.13910--⨯+⎡⎤==⨯⎢⎥⨯⎣⎦z C1521.328 5.2677810(0.380.5)z -轾=创?犏臌总摩擦阻力F f 按式(8—20)计算，f f12012(0.380.5)d 2F C u z z r =?ò11522 1.328 5.2677810(0.380.5)z -轾=创创+犏臌ò题8-1图21999.10.6(0.380.5)d 2z z 创创+ 1120.658(0.380.5)d z z =?ò。

因0.380.5x z =+，所以d 0.5d x z = ，或d 2d =z x 。

代入上式得0.88130.8822f 0.380.3820.6582 1.3163=⨯⨯=⨯⎰F x dx x0.88(0.830.23)N 0.528N =?=8—4 油的动力粘度μ=50×10-3Pa ·s ，密度r =990kg/m 3，流速u =0.3m/s ，流过一水平放置的静止光滑平板。

试求距离平板始端150mm 处的边界层厚度δ以及边界层厚度为50mm 处距离平板始端的距离L 。

解：（1）30.39900.158915010x u x Re r m -创===´，为层流边界层。

5.4770.028m d ==?（2）0.05m d =时，假设仍为层流边界层0.05===0.495m L =30.39900.49529405010L Re -创==´，为层流边界层。

0.05m d ==8—5 试按光滑平板上的湍流边界层计算习题8—1中平板上边界层厚度的最大值maxd 和平板两侧所受的总摩擦阻力F f 。

解：max 150.3810.024m Re L Ld ===3f 150.074= 4.6710LC Re -==? ()2f f f =22u F C A r 两侧23998.212 4.671011N4.66N 2-´=创创?max d 、F f 值均大于习题8—1按层流边界层计算所得的值。

8—6 空气的温度t ＝0℃，流速u ＝30m/s ，在一个标准大气压下，流过一水平放置的（静止）光滑平板。

已知距平板始端4m 处的某点流速u x ＝27m/s ，试求该点距平板的垂直距离y 。

解：t ＝0℃时，空气的动力粘度μ=1.71×10-5Pa ·s ，密度31.293kg/m r =。

51.29330490736841.7110x ux Re r m -创===´，在5731010´范围内。

按湍流边界层计算150.3810.3810.062m xx Re d ==?17x y u u d骣÷ç=÷ç÷ç桫 77270.062m 0.03m 30x u y ud 骣骣÷÷çç=??÷÷çç÷÷çç桫桫8—7 有一宽b ＝2.5m ，长L ＝30m 的光滑平板潜没在静水中，以5m/s 的速度等速拖曳，平板长边与运动方向一致，水温为20℃，试求光滑平板的总摩擦阻力F f 。

解：t ＝20℃时，水的运动粘度n =1.003×10-6m 2/s ，密度998.2r =kg/m 3。

65301.00310o L U L Re n -´===´149551346＞107，按湍流边界层计算。

()fm 2.580.4550.002lg L C Re == 220fm f 998.25220.002 2.530N 3743.25N 22U F C A r ´==创创=总8—8 空气的温度t ＝40℃，流速U 0＝60m/s ，流过一长L ＝6m ，宽b ＝2m 的光滑平板, 平板长边与流速方向一致。

设平板边界层由层流转变为湍流的条件为60crcr 10x U x Re n==。

试求平板两侧所受的总摩擦阻力F f （注：按混合边界层计算）。

解：t ＝40℃时，空气的运动粘度521.6810m /s n -=?，密度31.128kg/m r =。

60560621428571101.6810L U L Re n -´===>´，按混合边界层计算。

Re x cr =106，由表8-1可查得A=3300()fm 11550.0740.07433000.002352142857121428571L LA C Re Re =-=-= 220f fm 1.12860220.0023526N 114.5N 22U F C bLr ´=?创创=8—9 空气的温度为293K ，流速u =30m/s,在一个标准大气压下，流过一水平放置的光滑平板。

层流边界层转变为湍流边界层的临界雷诺数cr x Re 5510=?，试求（1）边界层流态转变处离平板始端距离x cr 和该处离平板垂直距离y ＝1mm 处的流速u x ；（2）离平板始端1m 处的边界层厚度和每米宽平板所需的总拖曳力F f 。

（按混合边界层计算）解：（1）t =293K 时，空气的动力粘度51.8110Pa s m -=醋，密度31.205kg/m r =。

cr cr =x Re ux rm55cr cr 510 1.8110m 0.25m 1.20530x Re x u m r -创?===´cr 1/2cr 5.4775.4770.00194m x x Re d ==? 2222300.001()(0.001)m/s 22.96m/s 20.0019420.00194x u y u y d d ´=-=-=´(2) 551.205301199********.8110L uL Re r m -创===>?´为湍流边界层。

1/5=0.3810.3810.0209m L x Re d =?f m 1/50.074170017000.003221997238L L C Re Re =-==22f fm 1.20530220.0032211N 3.49N 22u F C bL r ´==创创=8—10 设有一宽b =2.5m ，长L =30m 的粗糙平板潜没在静水中，以5m/s 的速度等速拖曳，平板宽边b 与运动方向一致，水温为20℃，平板当量粗糙度∆=0.3mm 。

试求粗糙平板的总摩擦阻力F f 。

解：由表1—1查得，水温t =20℃时，水的密度ρ= 998.2 kg/m 3，运动粘度ν=1.003×10-6m 2/s 。

5065 2.5124626125101.00310ν-⨯===>⨯⨯b U bRe ，为湍流边界层。

允许粗糙度∆'650100100 1.00310m 2.00610m 0.02mm 0.3mm /5U ν--⨯⨯≤==⨯≈<∆=＞14×0.02=0.28mm ，粗糙平板，且可认为属于湍流边界层粗糙区。

层流边界层长度 56cr cr 0510 1.00310m 0.1m 5-⨯⨯⨯===x Re v x U与平板宽边b =2.5m 相比，可略去不计。

按湍流边界层粗糙区计算摩阻系数C f ，即2.5 2.5f 2.5(1.62lg1.89)(1.62lg 1.89)0.0003--=+=+∆b C 31013.5-⨯= 2320f f 2 5.1310998.25 2.5302N 22U F C A r -创创创== 9601.44N =8—11 球形尘粒密度s ρ= 2.5×103kg/m 3，在20℃的大气中等速自由沉降。

若空气阻力可按斯托克斯阻力公式计算，试求尘粒最大直径d max 和自由沉降速度u f 。

解：由表1-2查得空气的运动粘度ν=1.5×10-5m 2/s ，密度ρ=1.205 kg/m 3 。

50515.8410m58.4μm d -===?max 58.4μm d =2f 1()18s u d g r r nr=- 2510.000058418 1.510 1.205-=?创? (2.51000 1.205)9.8m/s 创-? f u 0.257m/s = 8—12 球形水滴在20℃的大气中等速自由沉降，若空气阻力可按斯托克斯阻力公式计算，试求水滴最大直径d max 和自由沉降速度u f 。

解：（1）由表1-2查得空气的运动粘度ν=1.5×10-5m 2/s ，密度ρ=1.205 kg/m 3 ，水的密度F ρ= 998.2kg/m 3。