2 2
在平面流动中，流线微分方程为：
dx dy ux u y
ux dy (uy dx) 0
ux (u y ) 由全微分理论，由于存在条件 x y
二元流动 ux u y ux (u y ) 0 连续性方程为： x y x y
则 ux dy (uy dx) 必是某函数的全微分，即：
“压力穿越边界层不变”的边界层特性。 确定附面层外边界上的流速和压强分布是附面层 和外部势流区流动的主要衔接条件。
管流附面层：附面层的概念对于管流同 样有效。
附面层
¦δΔ
xE
附面层
入口段的流体运动情况不同于正常的层流 或紊流,在实验室内进行管路阻力试验时, 需避开入口段的影响。
Δ ¦δ
第十节

曲面附面层的分离现象 和卡门涡街
(r,θ)
ux a
uy b
ay bx
r (a sin b cos )
ax by
r (a cos b sin )
ur =
Q 2 r Q 2 r
u =0
Q y arctg 2 x Q y arctg 2 x
Q 2 Q 2
Q ln x 2 y 2 2 Q ln x 2 y 2 2 y arctg 2 x

卡门涡街：
卡门涡街演示
尖方头尾绕流形成的涡街 涡街诱发共振实例
第十一节
绕流阻力和升力
绕流阻力：摩擦阻力和形状阻力。 摩擦阻力：附面层理论 形状阻力：实验 绕流阻力的计算式：

D Cd A
u
2
2 0
圆球、圆盘的绕流阻力：
斯托克斯公式
Cd
斯托克斯公式
圆盘
圆球
1
0
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
3
4
5
6
Re
圆柱体 绕流
u z u y y z
u z u y y z
u z u y y z
u z u y y z
u z u y y z
u z u y y z
根据全微分理论，上面三个等式是某空间 位置函数φ存在的必要和充分条件，可表 示为：d ( x, y, z) ux dx u y dy uz dz 函数φ称为速度势函数。存在着速度势 函数的流动，称为有势流动，简称势流。 无旋流动必然是有势流动。
d ( x, y, z) ux dx uy dy uz dz
展开势函数的全微分
d dx dy dz x y x
比较上两式的对应系数，得出：
ux uy uz x y z 即速度在三坐标上的投影，等于速度势函 数对于相应坐标的偏导数

存在势函数的前提是流场内部不存在旋转 角速度。 只有内部不存在摩擦力的理想流体，才会 既不能创造旋涡，又不能消灭旋涡。 摩擦力是产生和消除旋涡的根源，因而一 般只有理想流体流场才可能存在无旋流动 工程中所考虑的流体主要是水和空气，它 们的粘性很小，如果在流动过程中没有受 到边壁摩擦的显著作用，就可以当作理想 流体来考虑。
d ( x, y) ux dy u y dx 因而： d ux dy u y dx 0
由于ψ(x,y)函数是由流线微分方程和连续性 方程所引出，故称ψ(x,y)为流函数。显然连 续性方程是ψ(x,y)存在的必要与充分条件。 由此得到，一切连续性流动流场一定存在流 函数。 d u dy u dx 0
将ux,uy求偏导后，代入无旋 条件可得到： 2 2 表明当流动无旋时，流函数也满足 2 2 0 x y 拉氏方程，也是调和函数。
以上讨论得到：流函数实际上是流线函数。由于 大多数流场是连续的，因此它就成为研究流场重 要工具。所以流函数是更有普遍意义的重要函数。 以上讨论还得到，平面无旋运动同时存在流函数 ψ(x,y)和势函数φ(x,y)，势函数积分得到为： φ(x,y)=C，不同的C对应着不同的等势线。因而 势函数实际上就是表示流场中的不同的等势线簇。
第三节
几种简单的平面无旋流动
均匀直线流、源流、汇流、环流 四种简单的平面无旋流动。
¦¨ ¦¨
¦¨
简单平面无旋流动的 与 函数
运 动 类 别 均 匀 直 线 流 源 流 汇 流 环 流 速度分量 流函数
(x, y )
势函数
ux (ur )
u y (u )
(r,θ)
(x , y )
流函数与势函数间关系为：
ux x y
两者交叉相乘得：
uy y x
0 y y x x
由高等数学得到，上式表明， φ(x,y)=C1和 ψ(x,y)=C2是互为正交的。由此表明：流线与等 势线是相互垂直的。当给出不同的常数C1，C2时， 就可得到一系列等势线和流线，它们间构成相互 正交的流网，应用流网的正交性，借助数值计算 方法和计算机，可以解决复杂的流场问题。
一个流动存在势函数的条件是流动无旋， 只要无旋，不管是可压缩流体，还是不可 压缩流体，也不管是恒定流，还是非恒定 流，三元流还是二元流，都存在势函数。 对于不可压缩流体无旋流动，势函数满足 拉普拉斯方程。
流函数存在的条件则是不可压缩流体，以 及流动是平面问题，与流动是否无旋，是 否恒定和是否具有粘性无关。当流动又是 无旋时，则流函数也满足拉普拉斯方程。
Q ln r 2 Q ln r 2 2
ur
u =0




ur =0
u
2 r

ln x 2 y 2 2

ln r 2
势流叠加演示
第六节

绕流运动与附面层基本概念
在绕流中，流体作用在物体的力可分为两分量：


升力：垂直于来流方向的作用力。
阻力：平行于来流方向的作用力。 本章主要讨论绕流阻力
x y
( x, y ) d u dy u y dx C
x
实际上ψ(x,y)表示流场中的流线，C为任 意常数。不同的C，则对应不同的流线。 d dx dy ux , uy x y y x
ux , uy y x
摩擦阻力：空气、水等粘性小的流体在绕过物体
运动时，其摩擦阻力主要发生在附面层内（紧靠 物体表面的流速梯度很大的流体薄层）。
形状阻力：流体绕曲面体或具有锐缘棱角的物体
流动时，附面层要发生分离，从而产生涡旋所造 成的阻力。
u
u
层流边界层
u
紊流边界层 层流底层
xx l

附 面 层 概 念



在流场中，出现两个性质不相同的流动区域。 紧贴物体表面的一层薄层，流速低于u0，流体做粘 性流体的有旋流动，称为附面层。 在附面层边沿以外，流体做理想流体的无旋流动， 速度保持原有的势流速度，称为势流区。 一般把速度等于0.99 u0作为两区间的分界。
工 业 液 槽 边 侧 吸 气
平面无旋运动是旋转角速度为零的平面运 动。在平面运动中，仅只有一个坐标方向 上的旋转角速度分量ωz，当ωz=0时，则 满足： u u
y
x

x
y
这时速度势函数全微分为：
d ux dx u y dy
对应的拉普拉斯方程为： 0 2 2 x y



将速度势函数代入不可压缩 ux u y uz 0 流体连续性方程： x y z
ux 2 其中： 2 x x x x
同理：y y 2
2
u y
得出
拉普拉斯方程: x 2 y 2 z 2 0


悬浮速度：

固体对流体的阻力，也就是流体对固体的 推动力，正是这个数值上等于阻力的推动 力，控制着固体或液体微粒在流体中的运 动。 悬浮速度即颗粒所受到的绕流阻力、浮力 和重力平衡时的流体速度。此时，颗粒处 于悬浮状态。
4 m u ( ) gd 3Cd

绕流升力：
L L
u
D
u
第八章 绕流运动

在自然界和实际工程中，存在着大量的流体 绕流物体的流动问题，即绕流问题。 我们研究时，都是把坐标固结于物体，将物 体看作是静止的，而探讨流体相对于物体的 运动。 在大雷诺数的绕流中，由于流体的惯性力远 大于粘性力，可将流体视为理想流体。 在靠近物体的一薄层内，可以用附面层理论 处理。



第一节
流动场中各点的旋转 角速度等于零的运动 称为无旋流动。在无 旋流动中：
无旋流动
1 uz u y x ( )0 2 y z
1 u x u z y ( )0 2 z x 1 u y ux Z ( )0 2 x y
因此，无旋流动的前提条件是：
u
P 0 x
当流体绕曲面体 流动时，沿附面 层外边界上的速 度和压强都不是 常数。
u
M'
P 0 x
S'
uS
M
S
MM断面以前：减压增速区。 MM断面以后：增压减速区。 压强沿程的变化规律，适用于附面层外边界，也 适用于附面层内。
卡门涡街：
当Re小于40时，附面层对称地在S处分 离，形成旋转方向相对的对称旋涡。 当Re=40-70时，可观察到尾流中有周期 性的振荡。 当Re达到90左右，旋涡从柱体后部交替 释放出来。 由于柱体上的涡以一定的频率交替释放， 因而柱体表面的压强和切应力也以一定 的频率发生有规则的变化。
2 2 2
u z 2 2 z z
满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数。 不可压缩流体势流的速度势函数，是坐标 x,y,z的调和函数。 拉普拉斯方程本身，是不可压缩流体无旋流 动的连续性方程。