经济数学线性代数学习讲义合川电大兰冬生1,矩阵:A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012411210,称为矩阵。
认识矩阵第一步:行与列,横为行,竖为列, 第一行依次0,1,2, 第二行1,1,4 第一列0,1,2这是一个三行三列矩阵, 再给出一个三行四列矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=12614231213252A 教材概念的m 行n 列矩阵。
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211,这个矩阵记作n m A ⨯,表明这个矩阵有m 行,n 列,注意行m 写在前面,列n 写在后面,括号里面的称为元素,记为ij a ,i 是行,j 是列, 例如:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----12614231213252是三行四列矩阵,也说成43⨯矩阵,注意行3在前面,列4在后面,这里211=a (就是指的第一行第一列那个数) 123-=a (就是指的第二行第三列那个数) 2,矩阵加法矩阵加法,满足行列相同的矩阵才能相加,对应位置的数相加。
例如:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--011101010+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012411210=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-021512220 减法是对应位置的数相减。
,3,矩阵的乘法矩阵乘法参看以下法则:注意字母对应⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211a a a a a a a a a ⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211b b b b b bb b b ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯=333323321331323322321231313321321131332323221321322322221221312321221121331323121311321322121211311321121111b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a 说明:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211a a a a a a a a a ⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211b b b b b bb b b =⎦⎢⎢⎢⎣⎡33323122211211c c c c c c c 乘积的结果矩阵11c 等于第一个矩阵的第一行元素11a 12a 13a 乘以第二个矩阵的第一列元素11b 21b 31b ,注意是对应元素相乘,再求和。
乘积的结果矩阵21c 等于第一个矩阵的第二行元素21a 22a 23a 乘以第二个矩阵的第一列元素11b 21b 31b 。
依次类推,结果元素ij c 等于第i 行乘以第j 列,举例:矩阵 A AB =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--021201⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡142136=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1412 第一行乘以第一列,)2(4)2(1061-=⨯-+⨯+⨯ 第一行乘以第二列,11)2(2031=⨯-+⨯+⨯ 第二行乘以第一列,4401)2(61=⨯+⨯-+⨯ 第二行乘以第二列,1102)2(31-=⨯+⨯-+⨯可以乘的条件:第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数必须相同,就是尾首必须相同,v w n m B A ⨯⨯可以乘必须是A 矩阵脚标的尾n 等于B 矩阵脚标的首w 相等,w n =例如: 3332⨯⨯B A 可乘3432⨯⨯B A 不可乘,只要尾首相同就可乘,v w n m B A ⨯⨯乘积为v m ⨯矩阵 例如: 3332⨯⨯B A 可乘,乘积结果为32⨯C 矩阵2334⨯⨯B A 可乘,乘积结果为24⨯C 矩阵矩阵的数乘,一个数乘以一个矩阵,等于这个矩阵的每个元素乘以这个数例:A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--021201,3A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--063603. 矩阵的乘法可以看出,矩阵的乘法不可交换,一般情况下BA AB ≠ 4,矩阵的转置矩阵A 转置矩阵记为T A ,转置就是把矩阵的行列元素对调,也可以看成沿主对角线翻转!AA 则⎢⎢⎢⎣⎡-=T AA T 是3×2矩阵(3行2列),2012年1月考题:设A 为3×4矩阵,B 为5×2矩阵,且乘积矩阵AC T B T 有意义,则C 为( B )矩阵。
A. 4×2B. 2×4C. 3×5D. 5×3分析:根据尾首相同法AC T B T 可表示为(3×4)( )(2×5),中间一个就是4×2,注意是C T ,所以C 就是2×4。
对称矩阵:对称矩阵的元素依主对角线对称:1.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=13230201a A ,当a = 0 时,A 是对称矩阵.5,求矩阵的逆预备知识:(1),在数的学习中,数的单位是1,1313=⨯, 矩阵的单位是⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100010001 I ,除主对角是1以外,其余全是0,并且,单位矩阵全是方阵(行数与列数相等)任何矩阵乘以单位阵不变AI =A ,(可以试一试)例,3阶单位阵,I =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001,我们以3阶阵来说逆, 已知A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012411210 与前面1313=⨯类似,能不能找到一个矩阵,使得A 乘以这个矩阵等于单位阵? 记为I AA =-1,1-A 称为A 的逆,(2)矩阵的初等变换,①将矩阵的任意两行互换,②把某一行乘以一个数(指对这一行的每个元素都乘以这个数), ③把某一行乘以一个数,然后加到另外一行。
求逆求逆原理:][][1-→A I I A ,举例:设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012411210,求逆矩阵1-A . 分析: 第一步:把A 和单位阵I 写在一起,[A I ] =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100010001012411210 第二步:初等变换⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→100001010012210411,(由于第一行第一个数是0,要化成前面是单位阵,这里就不能是0,于是交换1,2行,随便两行都可以交换,因为第二行第一个数是1,简单,所以就1,2行互换)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→120001010830210411第一行乘以-2加到第三行,目的是化0,除主对角以外,其他全部化成0⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→123001010200210411第二行乘以3加到第三行, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→123001011200210201现在开始化上面,第二行乘以-1加到第一行 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→123124112200010001第三行直接加到第一行;加到第二行 把对角线上的都化成1,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→21123124112100010001 第三行乘以21-,这一步是把前面化成单位阵,这个就是我们要的][1-A I ,前半部分是I ,后半部分就是1-A所以 A -1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----21123124112这是个考题,具体计算可以省略些步骤,给出解题答案为:设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012411210,求逆矩阵1-A . 解 因为(A I ) =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-120001010830210411100010001012411210 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→123124112200010001123001011200210201⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→21123124112100010001 所以 A -1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----21123124112另一种题型,解矩阵方程,其原理是对B AX =两边左乘(就是靠在左边)1-A ,得B A AX A 11--=,因为I A A =-1,所以B A X 1-=,注意任何矩阵乘以单位阵保持不变。
例:已知B AX =,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=108532,1085753321B A ,求X . 分析:先求逆,在计算。
解:利用初等行变换得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1055200132100013211001085010753001321 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→121100255010364021121100013210001321 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→121100255010146001 即 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-1212551461A 由矩阵乘法和转置运算得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----==-12823151381085321212551461B A X考题举例: 1,2.设矩阵 A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--021201,B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡142136,计算(AB )-1. 解 因为AB =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--021201⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡142136=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1412 (AB I ) =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-→⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1210011210140112 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡---→121021210112101102 所以 (AB )-1= ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡1221213.设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011,B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321,计算(BA )-1. 解 因为BA =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2435 (BA I )=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1024111110240135 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---→54201111⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--→2521023101 所以 (BA )-1=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--2522314.解矩阵方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--214332X . 解 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--10430132⎥⎦⎤⎢⎣⎡→10431111 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→23101111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→23103401即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---233443321所以,X =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--212334=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12 5.设矩阵 A =102120-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦,B =123012-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦,计算(AB T )-1. 解:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=231201021201T AB ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2347 所以⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-272321)(1TAB 6.设矩阵A =--⎡⎣⎢⎤⎦⎥1213,且有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+2453TAB A ,求矩阵B . 解:T A AB -⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2453 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--32112453245311A A AB T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-52621A ,又⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-11231A 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=114281052621123B 7. 设矩阵 A =1536-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦,B =11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦,计算(A-I )-1B . 设矩阵A=[-1-6],B=[1] 解:8. 已知B AX =,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=108532,1085753321B A ,求X . 解:利用初等行变换得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1055200132100013211001085010753001321 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→121100255010364021121100013210001321 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→121100255010146001 即 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-1212551461A 由矩阵乘法和转置运算得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----==-12823151381085321212551461B A X 9.已知AX B =,其中122110135A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦,210B ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,求.X10.设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3221,5321B A ,求解矩阵方程B XA =. 解:因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡10530121⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→13100121 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→13102501 即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-132553211所以,X =153213221-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡13253221= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-110111.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣------=843722A ,I 是3阶单位矩阵,求1)(--A I . 解:由矩阵减法运算得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---------⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-943732311843722310100010001A I 利用初等行变换得113100237010349001113100011210010301⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥ →----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥113100011210001111110233010301001111 →---⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥100132010301001111 即 ()I A -=---⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥-1132301111 12.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=112,322121011B A ,求B A 1-. 解:利用初等行变换得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--102340011110001011100322010121001011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→146100135010001011146100011110001011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→146100135010134001即 ⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣---=-1461351A 由矩阵乘法得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-7641121461351341B A 13. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=113421201A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=321B ,求B A I )2(T -. 解 因为T 2A I -= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1000100012T113421201⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200020002⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--142120311=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----142100311所以B A I )2(T -=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----142100311⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--9310 14.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=521,322121011B A ,求B A 1-. 解:因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--102340011110001011100322010121001011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→146100135010001011146100011110001011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→146100135010134001即 ⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣---=-1461351A 所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-9655211461351341B A 15.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1121243613,求1-A . 解 因为 (A I )= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1001120101240013613⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→100112210100701411⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→1302710210100701411⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→172010210100141011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→210100172010031001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→210100172010031001 所以 A -1 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---210172031 16.1A )(I ,121511311A -+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=求解:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+++-++++-+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=+021501310)1(0)2(01050)1(1103010)1(1121511311100010001A I⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+100001010021310501100010001021501310][I A I⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=+∴⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−→−-11233556101123355610100010001112001011003105011100010105203105011A )(I17.设矩阵100101,011212A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦,求1()T B A -。