第一单元 线性方程组的表达一、学习目标了解线性方程组的表示方法及线性方程组的基本概念二、内容讲解线性方程组的一般表示 方程数目为m ，未知量个数为n . 下面举一个例子.例: 用矩阵形式表示方程组⎩⎨⎧-=-+=+-165443321321x x x x x x解: 将未知量的系数和常数项按原来的位置写成矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=11654143A ，n ＝3，m ＝2系数矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=165143A ，未知数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321x x x X ，常数矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=14b 线性方程组用矩阵表示为b AX =即⎥⎦⎤⎢⎣⎡--165143⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=14线性方程组三种表示形式⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=11654143A三、例题讲解例1 将线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+=++-=--43502515432131321321x x x x x x x x x x x 改写成矩阵的形式.解：增广矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=4315010121511154A 系数矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=315101151154A 常数矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4021b线性方程组的矩阵表示为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----315101151154⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4021 例2若已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=500101111231021A 表示一个线性方程组的增广矩阵，讨论这个线性方程组：（1）有几个未知量？（2）有几个方程？（3）最后一行代表的方程是什么？解:（1）根据增广矩阵的概念，可知最后一列是常数项，前4列是未知量的系数，故这个方程组有4个未知量.（2）由增广矩阵的构成可知，增广矩阵的行数就是方程的个数，故有3个方程. （3）最后一行代表的方程是50004321=+++x x x x 即52=x例3，线性方程组b AX =，矩阵A 是4×6矩阵，矩阵b 是4×1矩阵，问这个方程组有几个未知量？有几个方程？解:有6个未知量，有4个方程.四、课堂练习练习写出下列线性方程组的增广矩阵，并写出矩阵表达形式.五、课后作业将下列方程组写成矩阵形式：(1)⎪⎩⎪⎨⎧=--=++-=+2423325232132121xxxxxxxx；(2)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=++=++-=++=+4652652652651655454343232121xxxxxxxxxxxxx(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---23542321112321xxx；(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛12221656516516516554321xxxxx第二单元消元法一、学习目标熟练掌握求线性方程组一般解的消元法，掌握求线性方程组的特解.二、内容讲解例：若一个线性方程组的增广矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=222111112A，求方程组的解.解:从最后一行开始，得223-=x，13-=x第二行表示的方程是232=+xx，322xx-=3)1(2=--=第一行表示的方程是12321=-+xxx，23)1(21321-=+-=xxx方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-=1323321xxx归纳：当线性方程组的增广矩阵为阶梯形矩阵时，可以从最后一行开始，用逐步回代的方法求得线性方程组的解.比较增广矩阵与线性方程组作初等行变换的关系结论：对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换，不改变线性方程组的解.消元法：用初等行变换把线性方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵；从阶梯形矩阵的最后一行开始，用逐步回代的方法求解.这种解线性方程组的方法就叫消元法。

问题：若一个线性方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵后，若最后一个非0行：（1）出现了“0 0 0 0 2 0”行，该方程组有解吗？（2）出现了“0 0 0 0 0 2”行，该方程组有解吗？答案（1）有解，因为这个方程代表了方程254321=++++xxxxx，所以05=x；（2）无解.三、例题讲解例1解线性方程组解:增广矩阵它所对应的方程组就是这种形式的方程组称为阶梯形方程组.用回代的方法求出方程组的解为例2解线性方程组解：增广矩阵为因为最后一行表示的方程是1321=++xxx，所以原方程组无解.例3解线性方程组解将增广矩阵化成阶梯形矩阵第二行表示的方程是132432=++-x x x ，432212321x x x ++-=第一行表示的方程是14321=+-+x x x x ，43211x x x x -+-=43232123x x --=原方程组的解为等号右边的未知量43,x x 称为自由未知量，用一组自由未知量表示其它解的形式称为线性方程组的一般解，含有自由未知量的线性方程组有无穷多解.将阶梯形矩阵继续化简，化成行简化阶梯形矩阵：定义：阶梯形矩阵如果具有下列特点，则称为行简化阶梯形矩阵： （1）每行的首非0元素都为1；（2） 每行的首非0元素所在的列其余元素都为0. 所以上述方程组的一般解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=--=432431212321232123x x x x x x （其中43,x x 为自由未知量） 四、课堂作业 练习解线性方程组五、课后作业1．已知线性方程组b AX =的增广矩阵经初等行变换化为阶梯形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----0000001251001831203536121 求方程组的解.2.用消元法解下列线性方程组：(1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+-=---=++-=-+1512432734452873321321321321x x x x x x x x x x x x ；(2)⎪⎩⎪⎨⎧=++--=-++-=++-113254236532432143214321x x x x x x x x x x x x(3)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++-=----=+-+--=-+-11635194912439325432142143214321x x x x x x x x x x x x x x x ；(4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------161211394223411210551324321x x x x 3.解下列齐次线性方程组： ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-+-=-+-023025303425432143214321x x x x x x x x x x x x第三单元 线性方程组解的情况判定一、学习目标理解线性方程组有解判定定理，熟练掌握线性方程组解的情况判定方法二、内容讲解在这一节里我们关心的问题是，一个线性方程组究竟是有解，还是无解？如果有解，是有一个解，还是有无穷多个解？我们先来讨论齐次线性方程组.先介绍什么叫齐次线性方程组.称0=AX 为齐次线性方程组，)0(≠=b b AX 为非齐次线性方程组 1.关于齐次线性方程组0=AX 解的情况： (1)0=AX 总有解，至少有一个0解；(2)0=AX 在什么条件下只有0解？在什么条件下有非0解？ 结论：A ——n m ⨯矩阵当秩n A <)(时，0=AX 有非0解; 当秩n A =)(时，0=AX 只有0解.下面结合前面讲过的例子来分析齐次线性方程组解的情况. 例3 解线性方程组解 增广矩阵化成阶梯形矩阵 线性方程组的一般解为⎩⎨⎧=-=323145x x x x （3x 是自由未知量）结论：A ——n m ⨯矩阵当秩n A <)(时，0=AX 有非0解，当秩n A =)(时，0=AX 只有0解. 下面我们要讨论关于线性方程组解的第二个问题： 非齐次线性方程组)0(≠=b b AX 解的情况.首先看一个问题：非齐次线性方程组)0(≠=b b AX 在什么条件下无解？ 我们从以前作过的例子分析. 例2 解线性方程组解 增广矩阵化成阶梯形矩阵为 A最后一行表示的方程是 1000321=++x x x ，原方程组无解. 再来看以前解过的一个方程组. 例4 解线性方程组解A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→00000100002521004321第三行表示的方程100004321=+++x x x x 线性方程组无解.总结线性方程组无解时的特征，观察例4的增广矩阵化成阶梯阵后的形式：A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→00000100002521004321特点：A 的秩是3，A 的秩是2，从中归纳出系数矩阵与增广矩阵的秩的特点与解的关系. 2.定理15.1⎥ ⎥ ⎥⎦ ⎤⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ - → 1 0 0 0 3 1 3 0 1 1 1 1线性方程组)0(≠=b b AX 有解的充分必要条件是它的系数矩阵的秩与它的增广矩阵的秩相等，即当秩)(A ＝秩 (A ).再来讨论第二个问题：如果有解，解是一个还是无穷多个？看前面讨论的例子.例1 解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=--+--=++--=-++442137432423323524321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解：增广矩阵化成阶梯阵A⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→31000302339005451041421有唯一解.例3：解线性方程组解 将增广矩阵化成阶梯形矩阵 有无穷多解，一般解中有两个自由未知量. 3.定理3.2若线性方程组)0(≠=b b AX 有解，则当秩=)(A 秩n A =)(（未知量的个数）时，方程组有唯一解；当秩=)(A 秩n A <)(时，方程组有无穷多解.三、例题讲解例1解线性方程组b AX =，其中解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=25210334322111104321A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→00000100002521004321第三行表示的方程100004321=+++x x x x ，线性方程组无解。

例2解线性方程组 解：增广矩阵由第二行得1232=-x x ，)1(2132x x +=线性方程组的一般解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=323121212323x x x x （3x 是自由未知量）方程组有无穷多解.例3 解线性方程组 解：增广矩阵 化成行简化阶梯形矩阵线性方程组的一般解为⎩⎨⎧=-=323145x x x x （3x 是自由未知量）例4 判断线性方程组解的情况 解：将增广矩阵化成阶梯形矩阵这是齐次线性方程组，由于系数矩阵的秩等于未知量的个数，所以方程组只有0解 例5线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+-=++23022132321321x x x x x x x x ，是否有解？解：将增广矩阵化成阶梯形矩阵由于秩（A ）＝3≠秩（A ）＝2，方程组无解. 例6 线性方程组当b a ,为何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？ 解：将增广矩阵化成阶梯形矩阵当a +1≠0，a ≠－1时，秩（A ）＝秩（A ）＝3，解唯一； 当a ＝－1，b ≠1时，秩（A ）＝3≠秩（A ）＝2，无解； 当a ＝－1，b ＝1时，秩（A ）＝秩（A ）＝2，有无穷多解. 四、课堂练习练习1 判断下列齐次线性方程组解的情况，并求解.系数矩阵是未知量系数组成的矩阵,不含有常数项.这是齐次方程组，只列系数矩阵.将未知量的系数按在方程组中的次序写成矩阵形式A =------⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪2513421212156 由于齐次线性方程组增广矩阵的最后一列都是0,进行初等行变换时这一列不影响矩阵的秩，故最后一列可以不写出，只对系数矩阵进行初等行变换即可.当系数矩阵化成阶梯形矩阵时，若非0行数(矩阵的秩)等于未知量的个数，则只有0解；若非0行数(矩阵的秩)小于未知量的个数，则有非0解，继续将阶梯形矩阵化成行简化阶梯形矩阵，从中得到齐次线性方程组的一般解.练习2 当b a ,为何值时,线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++=++b ax x x x x x x x x 32132132122352023 ，有唯一解、无穷多解或无解.五、课后作业1.判断下列方程组解的情况（1）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-14752332511131112321x x x （2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------412131122115322311124321x x x x （3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+----=+-+-=++-=---262424205836234321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x（4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=---=+-=+++0523503203540352343214314214321x x x x x x x x x x x x x x2. 判断下列方程组是否有解?若有解，求出解.3.判断下列方程组解的情况, 若有解，求出解.（1）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---5123533111222311321x x x（2）⎪⎩⎪⎨⎧=++--=-++-=++-23254236532432143214321x x x x x x x x x x x x 1.（1）唯一解 （2）无解 （3）有无穷多解 (4)有非0解；2.（1）λ=-3时，有无穷多解，一般解为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=623843421x x x x x (其中4x 是自由未知量)；（2）λ≠-3时，无解.3.（1）⎩⎨⎧=-=1321x x x (2x 是自由未知量) （2）无解.。