z, t )
(11)
• 如果已知电子处在 sz / 2 的自旋态， 则它的波函数为：
0
1/ 2 2 (x, y, z,t)
(12)
并且
Sˆz1/ 2


2
1/ 2
(13)
这样，自旋算符应该是2行2列矩阵。
•设
Sˆz

2

a c
b d
自旋磁矩都将与外磁场耦合，产生附加的 能量，自旋与轨道运动之间也有相互作用 能 L S。如外磁场足够强，仅得轨道、自 旋磁矩与外磁场之间的耦合能远大于LS耦 合，则可观察到正常塞曼效应。
如，钠黄线（ =589.3nm）分裂为三条 （l=1）,角频率， L , L , l为拉莫频率，l B
光谱仪仔细分辨，可见双线： 589.0nm & 589.6nm 无外场时，2P能级简并，何来两条谱线？ 3.反常塞曼效应
在若磁场中，原子光谱线的复杂分裂 （分为偶数条），如钠2P 1S，
D1(589.6nm) 4条，D2 (589.0nm) 6条
二.Uhlenbeck,Goudsmit的电子自旋假设（1925）乌伦贝克 哥德斯密脱 1. 每个电子具有自旋角动量S,它在空间任何方向上
Jˆz | j1, j2 , j, m m | j1, j2 , j, m
(15)
， 以 | j1, j2 , j, m 作为基矢的表象称为耦合表象， 在这个表象中Jˆ12 , Jˆ22 , Jˆ 2 , Jˆz都是对角矩阵。
将， | j1, j2 , j, m 按 | j1, m1, j2 , m2 展开
l
： eB
2
可见，当 B 0 时，Enlm与m有关，原来对于m量子数
的简并被外磁场消除，同时，能量与自旋和外磁场B的耦
合有关。
特例：s态原子，l=m=0，Enl分裂为两个能级，这是斯特恩 —盖拉赫实验所观察到的（纯自旋效应）。
3．谱线分裂：(2p 1s) Enlm En'l'm'
Jˆ12 | j1, m1 j1 ( j1 1) 2 | j1, m1
Jˆ1z | j1, m1 m1 | j1, m1
(12)
以|
j2 , m2

表示Jˆ2 2
和
Jˆ
2
的共同本征矢
z
Jˆ22 | j2 , m2 j2 ( j2 1) 2 | j2 , m2
Sz

L
2
(3) (4)
(5) (6)
（7）
7.2 自旋态与自旋算符
一、自旋态的描述
1. 旋量波函数
自旋角动量是与轨道运动无关的独立变量，
是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第
四个变量。要准确描写电子的运动，必须计入
自旋状态，即考虑电子自旋在某给定方向的投
影的两个可能的波幅，给出取这两个值的几率，
r
e2a
r2
(0 x 1)
这时
仍为本征波函数，但能级本征值E
nlm
nl不仅与n有
关，而且与l有关.
2
- 2 2 nlm U r nlm Enl nlm （7）
当B=0： nlm是lz的本征函数：
Lz nlm m nlm
(8)
nlm仍为方程（5）(6）的解：

2
ˆ
x
Sˆy

2
ˆ
y
Sˆz

2
ˆ
z
(20)
ˆ 称为泡利算符，角动量 z
y z z y 2i x
(21)
z x x z 2i y
由于S 沿任一方向的投影只能取
值只能取为 1 。
U M . B MBz cos, (M , B)
（1）
原子在外磁场中偏转受力（沿Z方向分量）
Fz
U Z
M
Bz Z
cos
（2）
如果原子磁矩方向能够在空间任意取向，则 cos 可以在
[-1，+1]间变化。这样P 处的底上应当出现连续分布的带 状粒子痕迹。
实验结果：两条分立的线，对应 cos 1。
所以波函数中还应包含自旋投影这个变量（Sz）,
记为
r,Sz
(1)
7.2 电子的自旋算符和自旋函数
• 一、自旋算符：
•
自旋角动量是与轨道运动无关的独立变量，是电子 内部状态的表征，是第四变量，用自旋角动量算符
Sˆ
来描述。它有与轨道角动量类似的对易关系：
(1)
Sˆ Sˆ iSˆ
分量式为 Sˆx Sˆy Sˆy Sˆx iSˆz
Jˆ1 Jˆ1 iJˆ1 （1）
Jˆ2 Jˆ2 iJˆ2 （2）
这两个角动量是相互独立的，它们之间，以
及个分量之间都是可对易的
[Jˆ1, Jˆ2 ] 0
（3）
令： Jˆ Jˆ1 Jˆ2
（4）
为总角动量，则
Jˆ 2

Jˆ12

Jˆ
2 2
2Jˆ1
Jˆ2
（5）
可以证明： Jˆ Jˆ iJˆ
1 2 nlm Rnl r Ylm , （9）
(9)式代入（5）（6）两式中：
SZ
1 2
：
Enlm

Enl

eB
2
(m 1)

Enl
l (m 1)
（10）
1
SZ
2
Enlm

Enl

eB
2
(m 1)

Enl
l (m 1)
（11）
2
，所以ˆi 的本征

2 i


2 x


2 y


2 z
1
(22)
泡利矩阵：
ˆx 10 10
ˆ y


0 i
i 0

ˆ z


1 0
01
(23)
• 考虑到自旋后，归一化形式为：
d
(1 *

2
*)
(3)
或
2 1/ 2 02 (4)
代入(2)

2
2
2 1
U (r) 1

eB
2
(LˆZ
) 1

E 1
(5)

2
2
2 2
U (r) 2

eB
2
(LˆZ
) 2

E 2
(6)
碱金属原子：屏蔽库仑势U r es2
2. 能级的分裂 取外磁场为Z方向，则磁场引起的附加能量
U'
(M
L


.M S
)
B

e
2
(Lz

2S z
)B
(1)
定态Schr. Eq.

2
2
2
U (r)

eB
2
(LˆZ
2Sˆz )

E
(2)
由于无LS耦合，波函数可以写出分离变量形式
11/ 2 01
Jˆ2z | j2 , m2 m2 | j2 , m2
(13)
Jˆ12 , Jˆ1z , Jˆ2 2 , Jˆ2z 相互对易，有共同本征 态
| j1, m1 | j2 , m2 | j1, m1, j2 , m2
(14)
组成正交归一的完全系。以 这些本征矢作为基矢的表象称为无耦合表象，
（空间量子化）
3）实验解释：
， 氢原子处于S态时，l＝0，轨道角动
量平方 L2 l(l 1) 2 0
Lz m 0(m 0,1,2,....., l)
M
e
L0
2
在此状态下，原子轨道角动量基轨道磁距均为0。 如果仍发现有磁距，必为其他磁矩。
2. 碱金属原子光谱的双向结构 钠原子光谱，2P 1S线波长589.3nm,

4
(3)
Sˆ 2 3 2 3 2 (4) 44
写为角动量算符的一般形式：
S 2 s(s 1) 2
(5)
由(5)得自旋量子数:
s1
(6)
2
二、自旋态
• 考虑到自旋后，电子的波函数应为
(x, y, z, sz ,t)
(7)
• 自旋分量只有两个：
1(x, y, z, sz ,t) (x, y, z, / 2,t) (8)
第七章 自旋与全同粒子
7.1 电子自旋
一、电子自旋的实验现象 1.斯特恩-盖拉赫实验
1）
N
z
ko
S
p
N-S磁铁之间为不均匀磁场 k0:氢原子 源,H原子束经狭缝准直后,穿过不均匀B,屏 上两条黑线。
事先确定：氢原子 处于S态。 说明：H原子有磁矩。
2）设原子磁矩为M，则它在外磁场B（z方向）中的势能为
的投影只能取两个数值：
Sz 2 2. 每个电子具有自旋磁矩
Ms


e

S
所以M s在空间任意方向上只能取两个投影值;
M SZ


e

2

MB
其中M B是波尔磁子。M B 0.927 1023 J / T 电子自旋的回转磁比率：
M SZ e 2 M L 2 e
1 2
d

(1 2 2 2 )d 1