61第六章自旋与全同粒子§6-1 电子自旋的实验证据（一）斯特恩－盖拉赫实验Z（1）实验描述基态的氢原子束经非均NS基态的氢原子束，经非均匀磁场发生偏转，在感光板上呈现两条分立线。

处于基态的氢原子（2）结论I 。

氢原子有磁矩，因而在磁场中发生偏转。

II 。

氢原子磁矩只有两种取向，即空间量子化的。

III 。

处于基态的氢原子 =0，没有轨道磁矩，所以原子磁矩来自于电子的固有磁矩，即自旋磁矩。

钠原子光谱中的一条亮黄线（二）光谱线精细结构钠原子光谱中的条亮黄线λ≈5893Å，用高分辨率的光谱仪观测可以看到该谱线其实是由3p观测，可以看到该谱线其实是由靠的很近的两条谱线组成。

5893ÅD 1D 2很两条线其他原子光谱中也可以发5896Å5890Å现类似现象，称之为光谱线的3s精细结构。

该现象只有考虑了电子的自旋才能得到解释。

（三）电子自旋假设乌伦贝克和高斯密特1925年根据上述现象提出了电子自旋假设：（1）每个电子都具有自旋角动量，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值方向上的投影只能取两个数值：2z s SS m =±=m s 称为自旋磁量子数。

（2）每个电子都具有与自旋角动量对应的自旋磁矩，它们的关系为：S e M S−= μ因此自旋磁矩在空间任何方向上的投影只能取两个数值：2S zBe MMμ=±=± Bohr Bohr磁子6-2§62 角动量的普遍性质简介ˆ （一）角动量算符的普遍定义A定义满足以下关系式的线性厄米算符为角动量算符ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ⎡⎡⎡定义满足以下关系式的线性厄米算符为角动量算符：,,,x y z y z x z x y A A i A A A i A A A i A ⎤⎤⎤===⎣⎦⎣⎦⎣⎦角动量平方算符与角动量算符各分量之间的对易关系角动量平方算符与角动量算符各分量之间的对易关系：2222ˆˆˆˆ=++x y zA A A A 2ˆˆ⎡(),0,,A A x y z α⎤==ˆA ˆ（二）与的本征值2zA 角动量平方算符与角动量算符各分量对易故角动量平方算符与角动量算符各分量对易，故有共同的本征函数系，在共同本征态下，同时具有确定值（本征值）。

解角动量方算符的本征方程22ˆA A ψψ=解角动量平方算符的本征方程1012得到本征值()221A j j =+30,,1,,2,22j =ˆz zA A ψψ=解角动量分量的本征方程z j A m =得到本征值,1,1,j j m j j j j m j=−−+−≤ 或以上是角动量算符的共性对于不同的角动量还以上是角动量算符的共性，对于不同的角动量还有不同的个性。

ˆˆˆ对于轨道角动量22ˆAL →z zA L →()221A j j =+130,,1,,2,22j =()221L l l =+ 0,1,2,l ==1,1,m =−−+− z j A m,,,j j j j j L m =1,1,m l l l l=−−+− z l ,,,l 63§6-3 自旋算符和自旋波函数（一）自旋算符自旋角动量是纯量子概念，它不可能用经典力学来解释和其他力学量有着根本的差别，通常的学来解释。

和其他力学量有着根本的差别，通常的力学量都可以表示为坐标和动量的函数，而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。

与其他力学量样自旋角动量也是用个算与其他力学量一样，自旋角动量也是用一个算符描写，记为ˆ S自旋角动量和轨道角动量异同点:异：与坐标、动量无关，pr ˆ ×不适用；同：满足同样的角动量对易关系。

ˆˆˆ[L L i L = 轨道角动量ˆˆˆ[,]x z S S i S = 自旋角动量,]ˆˆˆ[,]x y z y z x L L i L = ˆˆˆ[,]ˆˆˆy y z x S S i S = ˆˆˆ[,]z x yL L i L = [,]z x yS S i S = 2222ˆˆˆˆx y z L L L L =++2222ˆˆˆˆx y z S S S S =++2ˆˆ,0,,L L x y zαα⎡⎤==2ˆˆ,0,,S S x y zαα⎡⎤==⎣⎦⎣⎦由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只± /2 能取两个值ˆˆˆS 所以的本征值都是±ˆ算符的本征值是3,,x y z S S /22S222224x y z S S S S =++= 仿照22)1( +=l l L 22231(1)S s s s =+=→===42自旋角量子数s只有一个数值l只有个数值轨道角量子数=仿照z L m =122z s s S m m ==±→=±=自旋磁量子数m s轨道磁量子数m因为自旋是电子内部运动自由度所以描写电（二）含自旋的状态波函数因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动除了用(x , y , z ) 三个坐标变量外，还需要一个自旋变量(S z ），于是电子的含自旋的波函数需写为：),,,,(t S z y x z Ψ=Ψ由于/22x z t ⎧Ψ+⎪ S z 只取± /2 两个值，所以上式可写为两个分量：(,,,,)(,,,,)y x y z t ⎪Ψ=⎨⎪Ψ− 2⎪⎩通常自旋和轨道运动之间是有相互作用的，所以电子的自旋状态对轨道运动有影响。

但是，当这种相互作用很小时，可以将其忽略，此时Ψ可以写成如下形式（分离变量）：,,,,,x z t r t S Ψ±=12()()()2z y ψχ±其中ˆS S 是的本征函数，称为自旋波函数z ()12z χ±⎧ˆ⎪⎪⎨=)(2)(2121z z z S S S χχ2ˆˆ,0,,S S x y zαα⎡⎤==⎣⎦∵1122()()z z S S χχ−和也是的本征函数2ˆS223ˆ⎧11222()()4z z S S S χχ=⎪⎪⎨112223ˆ()()4z z S S S χχ−−⎪=⎪⎩ 对于考虑自旋的氢原子，定态波函数为：Ψ()()(),,,,,s z nlm m z r S r S θϕψθϕχΨ==因此确定电子的状态需要四个量子数因此确定电子的状态需要四个量子数：,,,sn l m m 由于存在两种自旋态能级简并度由由于存在两种自旋态，能级简并度由n 2变为2n 2。

6-4 §全同粒子波函数泡利原理（一）全同粒子的不可区分性（1）全同粒子质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子。

（2）经典粒子的可区分性经典力学中，固有性质完全相同的两个粒子，是以分的为粒在动中有各自确定是可以区分的。

因为二粒子在运动中，有各自确定的轨道，在任意时刻都有确定的位置和速度。

的轨道在任意时刻都有确定的位置和速度轨道速度位置⇒⎨⎧21⎩可判断哪个是第个粒子哪个是第二个粒子12可判断哪个是第一个粒子哪个是第二个粒子（3）微观粒子的不可区分性服从用微观粒子运动量子力学波函数描写在波函数重叠区粒子是不可区分的4（）全同性原理全同粒子所组成的体系中，二全同粒子互相代换不引起体系物理状态的改变换不引起体系物理状态的改变。

全同性原理是量子力学的基本原理之全同性原理是量子力学的基本原理之一。

ˆ个全同粒子组成的体系其哈密顿量为（二）全同粒子体系的交换不变性H2个全同粒子组成的体系，其哈密顿量为：ˆH q q 122212(,)()(,)i i U q V q q ⎡⎤=−∇++ 1,22i μ=⎢⎥⎣⎦∑q r s ≡其中{,}i i i 表示第i 个粒子的坐标和自旋。

调换两个粒子，体系哈密顿量不变。

ˆˆH =(,,)(,,)q q H q qN 个全同粒子组成的体系调换其中第推广到N 个全同粒子组成的体系，调换其中第i 和第j 粒子，体系哈密顿量不变。

1212ˆˆ(,,)(,,)i j N j i NH q q q q q H q q q q q = 全同粒子组成的体系的哈密顿量具有交换对称性，交换任意两个粒子坐标（q i , q j ) 后哈密顿量不变。

（三）对称和反对称波函数考虑全同粒子体系的本征方程121212ˆ(,)(,)(,)H q q q q E q q Φ=Φq q )将方程中（q 1, q 2) 调换212121ˆ(,)(,)(,)H q q q q E q q Φ=Φ由于哈密顿量对于（q 1, q 2) 调换不变，得：122121ˆ(,)(,)(,)H q q q q E q q Φ=Φ表明：（q 1, q 2) 调换前后的波函数都是12ˆ(,)H q q根据全同性原理知描写同状描写同一状态。

因此，二者相差一常数因子。

1221(,)(,)q q q q ΦΦ和1221(,)(,)q q c q q Φ=Φ为确定c ，引入交换算符，它对全同粒子体系的ˆP作用是交换两个粒子的坐标1221ˆ(,)(,)P q q q q Φ=Φ2112ˆ(,)(,)P q q q q Φ=Φˆˆˆˆ2121221(,)(,)(,)P q q P P q q P q q ⎡⎤Φ=Φ=Φ⎣⎦=12(,)q q Φ另一方面222ˆˆˆP P c q q cP q q Φ=Φ=Φ[][]1221212122121(,)(,)(,)ˆˆˆ(,)(,)(,)q q cP q q cP c q q c P q q =Φ=Φ=Φ212(,)c q q =Φ211c c =⇒=±与上式比较可得1221(,)(,)q q q q Φ=Φc ＝1，二粒子互换后波函数不变，称为对称波函数=−Φ＝－二粒子互换后波函数变号1221(,)(,)q q q q ΦΦc ＝1，二粒子互换后波函数变号，称为反对称波函数推广到N 个全同粒子体系，两个粒子互换后，体系的波函数或者保持不变，或者与原来的波函数差一负号。

玻色子和费米子实验表明：对于每一种微观粒子，它们的多粒波数的交换对称性是完全确定的该粒子波函数的交换对称性是完全确定的，而且该对称性与粒子的自旋有确定的联系。

对称性与粒子的自旋有确定的联系（1）玻色子凡自旋为 整数倍（s = 0，1，2，……) 的粒2子，其多粒子波函数对于交换2 个粒子总是对称的，遵从玻色统计，故称为玻色子例如：γ光子（s =1）；π介子（s = 0）。

（2）费米子凡自旋为 半奇数倍（s=1/2，3/2，……) 的粒子，其多粒子波函数对于交换2 个粒子总是反对称的，遵从费米统计，故称为费米子。

称的遵从费米统计故称为例如：电子、质子、中子（s=1/2）等粒子。

例如：电子质子中子（）等粒子（3）由“基本粒子”组成的复杂粒子如果复杂粒子由玻色子组成或偶数个费米子组成，则为玻色子。