1.3.1《柱体、 锥体和台体的表面积》
方体的表面积等于它们的展开图的面积 正(长)方体的表面积等于它们的展开图的面积 长 方体的表面积
提出问题：柱体，锥体， 提出问题：柱体，锥体，台体的侧面展开图 是怎样的？你能否计算？ 是怎样的？你能否计算？ 正棱柱的展开图
棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？ 棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？ 棱柱的 表面积 等于它 的侧面 积加底 面积
圆柱 圆锥 圆台
展 开 图 表面 S = 2π r 2 + 2π rl S = π r 2 + π rl S = π ( r '2 + r 2 积 = π r (r + l ) = 2π r (r + l ) + r 'l + rl ) 公式
附：初中阶段所学的有关公式
矩形面积公式： 矩形面积公式：S = ab
正棱柱、 正棱锥 和正棱 台的侧 面积公 式之间 的关系 可用图 表示 .
S 正棱柱侧 = c h
c`= c
S 正棱台侧 =
c`=
(c + c`) h`
c h`
S 正棱锥侧 =
例1：已知棱长为a，各面均为等边三角形 已知棱长为a ABC，求它的表面积. 的四面体S-ABC，求它的表面积.
分析： 分析：四面体的表面积等于其中任何一个面面积 S 的4 倍。 先求△SBC的面积 过点S 的面积, 解:先求△SBC的面积,过点S作 SD⊥BC,交BC于点 于点D. SD⊥BC,交BC于点D. A 因为BC=a, 因为BC=a,
上底扩大
l r O
r’＝0 ＝
上底缩小
l
r
O
S柱 = 2πr (r + l )
′2 + r 2 + r ′l + rl ) S 锥 = πr (r + l ) S台 = π (r
示范例题 示范例题
一圆台形花盆，盆口直径20cm 20cm， 例2：(见P25)一圆台形花盆，盆口直径20cm，盆 底直径15cm 底部渗水圆孔直径1.5cm 15cm， 1.5cm， 底直径15cm，底部渗水圆孔直径1.5cm，盆壁长 为美化外表而涂油漆，若每平方米用100 15cm.. 为美化外表而涂油漆，若每平方米用100 毫升油漆， 100个这样的花盘要多少油漆 个这样的花盘要多少油漆？ 毫升油漆，涂100个这样的花盘要多少油漆？ 结果精确到1 (π取3.14,结果精确到1毫升) 取3.14,结果精确到 毫升)
h
棱锥的展开图
h'
h'
棱台的展开图
侧面展开
h' h'
棱柱的侧面展开图是由平行四边形组 成的平面图形， 成的平面图形，棱锥的侧面展开图是 由三角形组成的平面图形， 由三角形组成的平面图形，棱台的侧 面展开图是由梯形组成的平面图形。 面展开图是由梯形组成的平面图形。 这样， 这样，求它们的表面积的问题就可转 化为求平行四边形、三角形、 化为求平行四边形、三角形、梯形的 面积问题。 面积问题。
O`
变式：想一想,你能求 变式：想一想, 出切割之前的圆锥的 表面积吗?试试看！ 表面积吗?试试看！
O
思考：圆柱、圆锥、 思考：圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间 有什么关系？ 有什么关系？
圆柱、圆锥、 圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公 式之间的关系。 式之间的关系。
r O′
r ' O’
l
O
r’＝r ＝
其中, x为图 − −
由相似三角形的性质可 知,
r x+l c x+l c − c` l = ,即 = , 所以 = , r` x c` x c` x 故 (c − c`)x = c`l .
于是 S圆台侧 =
cd +
c`l =
(c + c`)l , 或 S圆台侧 = π (r + r `)l .
探究圆台 探究圆台的表面积的求法
a 2 3 B D SD = SB − BD = a − ( ) = a 2 2 1 1 3 3 2 S a= a 所以： 所以：△S ΒC = BC ⋅ SD = a × 2 2 2 4
2 2 2
C
3 2 2 因此, 因此,四面体的表面积 S = 4 × a = 3a 4
练习：一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4 练习：一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4， 侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积. 10,求其表面积 侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积. 想一想:三棱柱的 想一想 三棱柱的 展开图是什么? 展开图是什么
1 三角形面积公式： 三角形面积公式：S = a h 2
圆面积公式： 圆面积公式： S = π r 2
圆周长公式： C = 2π r 圆周长公式：
1 扇形面积公式： 扇形面积公式： S = rl 2
1 梯形面积公式： 梯形面积公式：S = (a + b)h 2 1 扇环面积公式： 扇环面积公式：S = (l + l ')(r − r ') 2
想一想：如何求圆柱、圆锥、 想一想：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧 面积及表面积？ 面积及表面积？
探究圆柱的表面积的求法： 探究圆柱的表面积的求法：
r O′
l
Oห้องสมุดไป่ตู้
2πr
圆柱的侧面展开图是矩形
S圆柱表面积 = 2πr + 2πrl = 2πr (r + l )
2
圆锥、圆台侧面积公式的推导
d
R
因为弧长等于 π R的扇形(圆)的面积为
20cm
分析、思考： 分析、思考：油漆位置在 什么地方？ 什么地方？→ 如何求花盆 外壁表面积？ 外壁表面积？
15cm
15cm
解:如图,由圆台的表面积公式得一个花盆 如图, 外壁的表面积 15 2 15 20 1.5 2 S = π × [( ) + ×15 + ×15] − π × ( ) 2 2 2 2 2 2 ≈ 1000(cm ) = 0.1(m ). 20cm
练习加深：指导学生完成P27页练习第1 练习加深：指导学生完成P27页练习第1、2题 P27页练习第
。
小结归纳： 小结归纳： 多面体的表面积 棱柱 ：棱柱的表面积等于它的侧面积加底面积 棱锥： 棱锥：棱锥的表面积等于它的侧面积加底面积 棱台： 棱台：棱台的表面积等于它的侧面积加底面积 旋转体的表面积 圆柱： 圆柱：见下图 圆锥： 圆锥：见下图 圆台： 圆台：见下图
2πr '
r ' O’
l r O
2πr
圆台的侧面展开图是扇环
S圆台表面积 = π (r ′ + r + r ′l + rl )
2 2
练一练：一个圆台， 练一练：一个圆台，上、下底面半径分别 10、20，母线与底面的夹角为60 60° 为10、20，母线与底面的夹角为60°，求 圆台的表面积. 圆台的表面积.
先考察半径为 R, 弧长为 d的扇形的面积 (图 − − ).
π R , 所以弧长为 d的扇形的面积为
c = πr
d S 扇形 = ⋅ πR = πR
Rd .
圆锥侧面展开图是扇形 , 这 个扇形的半径为圆锥的母线长l , 扇形的
l r
弧长等于圆锥底面的周长 c = 2π r , 故圆 锥的侧面积为
S圆锥侧 = cl = π rl .
涂100个这样的花盘需油漆： 100个这样的花盘需油漆： 个这样的花盘需油漆 0.1×100×100=1000(毫升 毫升). 0.1×100×100=1000(毫升). 15cm 100个这样的花盘需油漆 答:涂100个这样的花盘需油漆 15cm 1000毫升 毫升. 1000毫升. 变式训练：若内外涂, 100个这样的花盘需 变式训练：若内外涂,涂100个这样的花盘需 要多少油漆? 要多少油漆?
2πr
l r
O
S圆锥表面积 = πr + πrl = πr (r + l )
2
圆锥的侧面展开图是扇形
c = πr c`= πr `
x
圆台侧面展开图是扇环 , 其面 积为两个扇形面积之差, 即
S圆台侧 = c(l + x ) − c`x = cl +
(c − c`)x,
中小圆锥的母线长 .
r` l r