一次函数与几何综合
1.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（2，0），以OA 为边在第四象限内作等边△AOB ，点C 为x 轴的正半轴上一动点（OC ＞2），连接BC ，以BC 为边在第四象限内作等边△CBD ．
（1）试问△OBC 与△ABD 全等吗？并证明你的结论；
（2）直线AD 与y 轴交于点E ，在C 点移动的过程中，E 点的位置是否发生变化？如果不变求出它的坐标；如果变化，请说明理由．
2.如图1，在平面直角坐标系中，直线y ＝1
2
x m -+（m >0）与x 轴，y 轴分别交
于点A ，B ，过点A 作x 轴的垂线交直线y ＝x 于点D ，C 点坐标（m ，0），连接
CD ．
（1）求证：CD ⊥AB ；
（2）连接BC 交OD 于点H （如图2），求证：DH ＝
3
2
BC ．
y =-1
2
x
y =-1
2
x
图1 图2
3.如图，将边长为4的正方形置于平面直角坐标系第一象限，使AB落在x轴正
半轴上，直线
48
33
y x
=-经过点C，与x轴交于点E．
（1）求四边形AECD的面积；
（2）若直线l经过点E，且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线l 的解析式；
（3）若直线l1经过点F（-3
2
，0）且与直线y＝3x平行，将（2）中直线l沿着
y轴向上平移1个单位，交x轴于点M，交直线l1于点N，求△NMF的面积．
4.已知，如图，在平面直角坐标系内，点A的坐标为（0，24），经过原点的直线l1与经过点A的直线l2相交于点B，点B坐标为（18，6）．
（1）求直线l1，l2的表达式；
（2）点C为线段OB上一动点（点C不与点O，B重合），作CD∥y轴交直线l2于点D，过点C，D分别向y轴作垂线，垂足分别为F，E，得到矩形CDEF．
①设点C的纵坐标为a，求点D的坐标（用含a的代数式表示）；
②若矩形CDEF的面积为108，求出点C的坐标．
5.如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G 处，E，F分别在AD，AB上，且F点的坐标是（2，4）．
（1）求G点坐标；
（2）求直线EF的解析式；
（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
1.解（1）全等
理由如下：∵△AOB和△CBD是等边三角形，
∴OB＝AB，∠OBA＝∠CBD＝60°，BC＝BD
∴∠OBA＋∠ABC＝∠CBD＋∠ABC
即∠OBC＝∠ABD
∴△OBC≌△ABD
（2）不变
∵△OBC≌△ABD，△AOB是等边三角形
∴∠BAD＝∠BOC＝60°
∵∠OAB＝60°
∴∠OAE＝180°-∠OAB-∠BAD＝60°
∴Rt△OEA中，AE＝2OA＝4
∴OE＝
=
∴E（0
，
2.解：（1）由题意知：A （2m ，0），B （0，m ） ∵AD ⊥x 轴，点D 在直线y ＝x 上 ∴D （2m ，2m ） ∵C （m ，0） ∴k CD ＝
2DA m
CA m
=
＝2 ∵k AB ＝1
2
-
∴k CD ·k AB ＝-1
∴CD ⊥AB
（2）∵B （0，m ），C （m ，0） ∴OB ＝m ，OC ＝m
∴BC ∵k BC ＝-1，k OD ＝1 ∴k BC ·k OD ＝-1 ∴BC ⊥OD
∴OH ＝122
BC m =
∵D （2m ，2m ）
∴OD ＝
∴DH ＝OD -OH ＝ ∴DH ＝32
BC
5.解：（1）∵F(2，4)，B（3，4），四边形ABCD是矩形∴AF=2，OA=BC=4，AB=3
在Rt△BFG中，
由轴对称性质
FG=AF=2
∵BF=AB-AF=1
∴BG=
∴G（3，4）
（2）设y=kx+b
∵在Rt△BFG中，
BF= 1
2 FG
∴∠BGF=30°
∴∠AFE=∠EFG=60°在Rt△AEF中，AF=2
∴AE
=
∴E（0，4
-
∴b=4
-
∵|k|=|| || AE AF
∴y
x+4
-
(3) 存在．
①M
（9
3
-
）
提示：
如图，过G作EF的平行线交x轴于点N，过N作FG的平行线交EF于点M，连接MN，GN．
则四边形MNGF为平行四边形．利用特殊角及平行四边形性质求点M坐标即可．
②M
（3
3
-
，
）
提示：与①的方法类似．
③M
（3
3
+
8-）
提示：
如图，过G作EF的平行线交x轴于点N，连接NF，过G作NF的平行线交直线EF于点M，连接GM．则四边形MFNG是平行四边形．。