函数的对称性与周期性

一、基础知识

（一）函数的对称性

1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称

2、轴对称的等价描述：

（1）faxfaxfx关于xa轴对称（当0a时，恰好就是偶函数）

（2）faxfbxfx关于2abx轴对称

在已知对称轴的情况下，构造形如faxfbx的等式只需注意两点，一是等式两侧f前面的符号相同，且括号内x前面的符号相反；二是,ab的取值保证2abx为所给对称轴即可。例如：fx关于1x轴对称2fxfx，或得到31fxfx均可，只是在求函数值方面，一侧是fx更为方便

（3）fxa是偶函数，则fxafxa，进而可得到：fx关于xa轴对称。

① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在fxa中，x仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x取相反数时，函数值相等，即fxafxa，要与以下的命题区分：

若fx是偶函数，则fxafxa：fx是偶函数中的x占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有fxafxa

② 本结论也可通过图像变换来理解，fxa是偶函数，则fxa关于0x轴对称，而fx可视为fxa平移了a个单位（方向由a的符号决定），所以

fx关于xa对称。

3、中心对称的等价描述：

（1）faxfaxfx关于,0a轴对称（当0a时，恰好就是奇函数）

（2）faxfbxfx关于,02ab轴对称

在已知对称中心的情况下，构造形如faxfbx的等式同样需注意两点，一是等式两侧f和x前面的符号均相反；二是,ab的取值保证2abx为所给对称中心即可。例如：fx关于1,0中心对称2fxfx，或得到35fxfx均可，同样在求函数值方面，一侧是fx更为方便

（3）fxa是奇函数，则fxafxa，进而可得到：fx关于,0a轴对称。

① 要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在fxa中，x仅是括号中的一部分，奇函数只是指其中的x取相反数时，函数值相反，即fxafxa，要与以下的命题区分：

若fx是奇函数，则fxafxa：fx是奇函数中的x占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有fxafxa

② 本结论也可通过图像变换来理解，fxa是奇函数，则fxa关于0,0中心对称，而fx可视为fxa平移了a个单位（方向由a的符号决定），所以fx关于,0a对称。

4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：

（1）可利用对称性求得某些点的函数值

（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像

（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称

（4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同

（二）函数的周期性

1、定义：设fx的定义域为D，若对xD，存在一个非零常数T，有fxTfx，则称函数fx是一个周期函数，称T为fx的一个周期

2、周期性的理解：可理解为间隔为T的自变量函数值相等

3、若fx是一个周期函数，则fxTfx，那么2fxTfxTfx，即2T也是fx的一个周期，进而可得：kTkZ也是fx的一个周期

4、最小正周期：正由第3条所说，kTkZ也是fx的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期。然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数fxC

5、函数周期性的判定：

（1）fxafxb：可得fx为周期函数，其周期Tba

（2）fxafxfx的周期2Ta

分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式：2fxafxa

所以有：2fxafxafxfx，即周期2Ta

注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看能否得出周期

（3）1fxafxfx的周期2Ta

分析：1121fxafxfxafx

（4）fxfxak（k为常数）fx的周期2Ta

分析：,2fxfxakfxafxak，两式相减可得：2fxafx

（5）fxfxak（k为常数）fx的周期2Ta

（6）双对称出周期：若一个函数fx存在两个对称关系，则fx是一个周期函数，具体情况如下：（假设ba）

① 若fx的图像关于,xaxb轴对称，则fx是周期函数，周期2Tba

分析：fx关于xa轴对称2fxfax

fx关于xb轴对称2fxfbx

22faxfbx fx的周期为222Tbaba

② 若fx的图像关于,0,,0ab中心对称，则fx是周期函数，周期2Tba

③ 若fx的图像关于xa轴对称，且关于,0b中心对称，则fx是周期函数，周期4Tba

7、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质。

（1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值

（2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”

（3）单调区间：由于间隔kTkZ的函数图象相同，所以若fx在,abbaT上单调增（减），则fx在,akTbkTkZ上单调增（减）

（4）对称性：如果一个周期为T的函数fx存在一条对称轴xa （或对称中心），则fx 存在无数条对称轴，其通式为2kTxakZ

证明：fx关于xa轴对称 2fxfax

函数fx的周期为T fxkTfx

2fxkTfax fx关于2kTxa轴对称

注：其中（3）（4）在三角函数中应用广泛，可作为检验答案的方法

典型例题

例1：设()fx为定义在R上的奇函数，(2)()fxfx，当01x时，()fxx，则(7.5)f__________

思路：由(2)()fxfx可得：fx的周期4T，考虑将(7.5)f用01x中的函数值进行表示：(7.5)3.50.5fff，此时周期性已经无法再进行调整，考虑利用奇偶性进行微调：10.50.52ff ，所以1(7.5)2f

答案：1(7.5)2f

例2：定义域为R的函数fx满足22fxfx，当0,2x时，3212xfx，则52f（ ）

A. 14 B. 18 C. 12 D. 14

思路：由12222fxfxfxfx，可类比函数的周期性，所以考虑将52x向0,2x进行转化：

33225111311122242424fff

答案：D

fx虽然不是周期函数，但函数值关系与周期性类似，可理解为：间隔2个单位的自变量，函数值呈2倍关系。所以在思路上仍可沿用周期性的想法，将自变量向已知范围进行靠拢。

例3：定义在R上的函数fx对任意xR，都有112,214fxfxffx，则2016f等于（ ）

A. 14 B. 12 C. 13 D. 35

思路：由121fxfxfx及所求2010f可联想到周期性，所以考虑11121411211fxfxfxfxfxfxfxfx，所以fx是周期为4的周期函数，故20164ff，而由已知可得1234125fff，所以320165f

答案：D

例4：定义在R上的函数fx满足2log1,012,0xxfxfxfxx，则2009f的值为（ ）

A. 1 B. 0 C. 1 D. 2

思路：所给fx的特点为0x才有解析式能够求值，而0x只能通过12fxfxfx减少自变量的取值，由所求2009f可联想到判断fx是否具有周期性，0x时，12fxfxfx，则有123fxfxfx，两式相加可得：3fxfx，则36fxfxfx，即fx在0x时周期是6，故

200952fff，而

21001011fffffff

答案：C

例5：函数fx是周期为4的偶函数，当0,2x时，2log11fxx，则不等式0xfx在1,3上的解集为___________

思路：从已知出发可知0,2x时，fx为增函数，且21log210f，所以0,1x时，0fx，1,2x时，0fx，由偶函数可得：1,0x时，0fx，2,1fx时，0fx。从而可作出草图。由所解不等式0xfx可将1,3分为1,00,3两部分，当0x时，0fx，所以1,0x，当0x时，0fx，所以1,3fx，综上解集为：1,01,3

答案：1,01,3

例6：已知fx是定义在R上的函数，满足0,11fxfxfxfx，当0,1x时，2fxxx，则函数fx的最小值为（ ）

A. 14 B.

14 C.

12 D. 12

思路：由11fxfx可得fx是周期为2的周期函数，所以只需要求出一个周期内的最值即可。由0fxfx可得fx为奇函数，所以考虑区间1,1，在0,1x时，21124fxx，所以max1124fxf，而由于fx为奇函数，所以在1,0x时，min111224fxff，所以12f即为fx在1,1的最小值，从而也是fx在R上的最小值

答案：B