计算流体力学基本方程（张量形式）
1质量方程（连续方程）
()0i i
u t x ρρ∂∂+=∂∂ 312123
()()()0u u u t x x x ρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂ ()()()0y x z u u u t x y z
ρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂ 定常（
()00i i
u t x ρρ
∂∂=⇒=∂∂） 不可压缩（const 0i
i
u x ρ∂=⇒
=∂） 2动量方程（运动方程）
()()13i j i i
k i j i j
j i k u u u u u p f t x x x x
x
x ρρρμμ⎛⎫∂⎛⎫∂∂∂∂∂
∂+=-++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭
⎝⎭
累积动量 + 对流动量= 质量力 + 压力 +（黏性力）内摩擦力
不可压缩（
0k
k
u N S x ∂=⇒-∂方程） ()()i j i i i j i j
j u u u u p f t x x x x
ρρρμ⎛⎫∂∂∂∂∂
+=-+ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝
⎭
3能量方程
()()()
j j j v j v Tu T T p q t x x c x c ρρλφ⎛⎫∂∂∂
∂++=+ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ ()()j j j
j eu e T
q t x x x
ρρλρρφ⎛⎫
∂∂∂
∂+=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝
⎭
累积热量 + 对流换热 = 导热 + 内热源 +（黏性力）内摩擦生热
内能（v e c T =）焓（p h c T =）内热源（Q q ρ=） 耗散函数（ρφΦ=）无黏流体（0Φ=） 4组分方程
()()()i j i i i i j j
j c u c c D S t x x x ρρρ⎡⎤
∂∂∂∂
+=+⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎣⎦
累积浓度 + 对流浓度 = 扩散浓度 + 化学反应产生浓度
组分i 扩散系数（i D ），组分i 体积浓度（i c ），组分i 质量浓度（i c ρ），组分i 化学反应生成率（i S ） 5状态方程
p
p RT RT ρρ=⇒=
6总方程
()()j j j
j u S t x x x
φρφρφφ
⎛⎫
∂∂∂
∂+=Γ+ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭
方程 φ
Γ
S φ
质量方程
1
运动方程
i u
μ
i i p f x ρ∂-
∂
能量方程 T
v c λ ()v q c ρφ+
组分方程 i c
i D ρ
i S
7湍流方程
湍流瞬时运动=时均运动+随机脉动（'i i i u u u =+） 不可压缩湍流控制方程（动量方程或运动方程）
()()i j i i
i j i j
j u u u u p f t x x x x
ρρρμ⎛⎫
∂∂∂∂∂
+=-+ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭
（N-S 方程） 对瞬时状态下的动量方程取平均时间，可得湍流时均控制方程如下：
()()i j i i
i j i j
j u u u u p f t x x x x
ρρρμ⎛⎫∂∂∂∂∂
+=-+ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭
由雷诺运算法则（时均规律）（''
i j i j i j u u u u u u =+）可得
''
()()i j i i i i j j i j
j u u u u p f u u t x x x x ρρρμρ⎛⎫∂∂∂∂∂
+=-+- ⎪ ⎪
∂∂∂∂∂⎝⎭
为方便起见，除脉动值的时均值外，去掉其他项时均值的上划线符号可得
''
()()i j i i i i j j i j
j u u u u p f u u t x x x x ρρρμρ⎛⎫∂∂∂∂∂
+=-+- ⎪ ⎪
∂∂∂∂∂⎝⎭
8湍流黏性方程
引入湍动黏度（Turbulent Viscosity ）或涡黏系数（Eddy Viscosity ）表示湍流应力（雷诺应力）
()()()'',,ij i j t t u u f f f ρμκεκω=-===
''2132
j i i ij t i i ij j i i
u u u
t u u x x x μρμδ⎛⎫∂⎛⎫∂∂=+-- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭
⎝⎭ 223j i i ij ij j i i u u u t C x x x μκρρκμδε⎛⎫∂⎛
⎫∂∂=+-- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝
⎭⎝⎭ ()2,t f C μκμκερε
== ''12i i u u κ= ''i i k k u u x x μερ⎛⎫⎛⎫∂∂= ⎪⎪∂∂⎝⎭⎝⎭。