2021届广东省揭阳市高三第一次模拟考试数学（理）试题本试卷共23题，共150分，共4页，考试结束后将本试卷和答题卡一并收回． 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|60}A x x x =+-<，(2,2)B =-，则A C B =A ．(3,2)--B ．(3,2]--C ．(2,3)D ．[2,3)2．已知向量(1,2),(2,1),(1,)a b c λ==-=，若()a b c +⊥，则λ的值为A ．3-B ．13-C ．13D ．33．已知z 是复数z 的共轭复数，(1)(1)z z +-是纯虚数，则||z =A ．2B ．32C ．1D ．124．若3sin(2)25πα-= ，则44sin cos αα-的值为 A ．45 B ．35 C ．45-D ．35-5．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方 式．为比较两种生产方式的效率，选取40名 工人，将他们随机分成两组，每组20人， 第一组工人用第一种生产方式，第二组工人 用第二种生产方式．根据工人完成生产任务 的工作时间（单位：min ）绘制了如右茎叶图： 则下列结论中表述不正确．．．的是 A. 第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟 B. 第二种生产方式比第一种生产方式效率更高C. 这40名工人完成任务所需时间的中位数为80D. 无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟.6. 函数()f x 在[0,)+∞单调递减，且为偶函数．若(12)f =-，则满足3()1x f -≥-的x 的取值范围是A ．[1,5]B ．[1,3]C ．[3,5]D ．[2,2]-EDCBA7. 如图，网格纸上虚线小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体 的三视图，则该几何体的体积为A ．643B ．52C ．1533D ．56 8．某班星期一上午安排5节课，若数学2节，语文、物理、化学各1节， 且物理、化学不相邻，2节数学相邻，则星期一上午不同课程安排种数为 A ．6 B ．12 C ．24 D ．489. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>两焦点且与x 轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为A ．51-B ．51+C ．32D ．210. 右图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中△ABC 为直角三角形，四边形DEFC 为它的内接正方形，记正方 形为区域Ⅰ，图中阴影部分为区域Ⅱ，在△ABC 上任取一点，此点取 自区域Ⅰ、Ⅱ的概率分别记为1p 、2p ，则A ．12p p =B ．12p p <C ．12p p ≤D ．12p p ≥11．已知△ABC 中，AB=AC=3，sin 2sin ABC A ∠= ，延长AB 到D 使得BD=AB ，连结CD ，则CD 的长为A ．33B ．310C ．36D ．3612．已知函数()cos f x x π=，1()(0)2ax g x e a a =-+≠，若12[0,1]x x ∃∈、，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是A ．1[,0)2-B ．1[,)2+∞C ．1[,0)[,)2-∞+∞D ．11[,0)(0,]22- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“对2[1,1],310x x x ∀∈-+->”的否定是 _______；14．在曲线()sin cos f x x x =-，(,)22x ππ∈-的所有切线中，斜率为1的切线方程为 . 15．已知圆锥的顶点为S ，底面圆周上的两点A 、B 满足SAB ∆为等边三角形，且面积为43，又知圆锥轴截面的面积为8，则圆锥的表面积为 .16. 已知点P 在直线210x y +-=上，点Q 在直线230x y ++=上，M 00(,)x y 为PQ 的中点，且0021y x >+，则y x 的取值范围是 . 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分17.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23nn S p m =⋅+，（其中p m 、为常数），又123a a ==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3log n n b a =，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ．18.（12分）如图，在四边形ABED 中，AB//DE ，AB ⊥BE ，点C 在AB 上， 且AB ⊥CD ，AC=BC=CD=2，现将△ACD 沿CD 折起，使点A 到达点P 的位置，且PE 与平面PBC 所成的角为45°.（1）求证：平面PBC ⊥平面DEBC ； （2）求二面角D-PE-B 的余弦值. 19.（12分）某地种植常规稻A 和杂交稻B ，常规稻A 的亩产稳定为500公斤，今年单价为3.50元／公斤，估计明年单价不变的可能性为10%，变为3.60元／公斤的可能性为60%，变为3.70元／公斤的可能性为30%．统计杂交稻B 的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如下；统计近10年来杂交稻B 的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）的关系，得到的10组数据记为(,)(1,2,10)i i x y i =，并得到散点图如下，参考数据见下．（1）估计明年常规稻A 的单价平均值；（2）在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻B 的亩产平均值；以频率作为概率，预计将来三年中至少有二年，杂交稻B 的亩产超过765公斤的概率；（3）判断杂交稻B 的单价y （单位：元/公斤）与种植亩数x （单位：万亩）是否线性相关？若相关，试根据以下的参考数据求出y 关于x 的线性回归方程；调查得知明年此地杂交稻B 的种植亩数预计为2万亩．若在常规稻A 和杂交稻B 中选择，明年种植哪种水稻收入更高？统计参考数据： 1.60x =， 2.82y =，101()()0.52iii x x y y =--=-∑，1021()0.65ii x x =-=∑，附：线性回归方程ˆybx a =+，121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑．20.（12已知点6(,1)在椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>上，椭圆C 的焦距为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）斜率为定值k 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且满足22||||OA OB +的值为常数，（其中O 为坐标原点）（i ）求k 的值以及这个常数；（ii ）写出一般性结论（不用证明）：斜率为定值k 的直线l 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于A 、B两点，且满足22||||OA OB +的值为常数，则k 的值以及这个常数是多少？21.（12分）设函数1()ln f x ax x b x=-++()a b R ∈、， （1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点1x 、2x ，求证：121222x x ax x ++>．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22. [选修4-4：坐标系与参数方程] （10分）以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为22cos 2a ρθ=（a R ∈,a 为常数），过点(2,1)P 、倾斜角为30︒的直线l 的参数方程满足2x =，（t 为参数）． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点（点P 在A 、B 之间），且||||2PA PB ⋅=，求a 和||||||PA PB -的值．23. [选修4-5：不等式选讲] (10分） 已知函数()|1||1|f x x x =+--， （1）求函数()f x 的值域；（2）若[2,1]x ∈-时，()3f x x a ≤+，求实数a 的取值范围．2021届广东省揭阳市高三第一次模拟考试数学（理）试题参考答案一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．解析()(22)1f f =-=-，则23215x x -≤-≤⇒≤≤.故选D.法二：由3()1x f -≥-得()2)3(f x f ≥-或3()(2)x f f ≥--，即303532x x x -≥⎧⇒≤≤⎨-≤⎩或301332x x x -<⎧⇒≤<⎨-≥-⎩，综合得15x ≤≤. 7. 由三视图知该几何体为一长方体与一直三棱柱的组合体，其体积为2143414562⨯+⨯⨯⨯=.8. 第一步：将两节数学捆在一起与语文先进行排列有22A 种排法，第二步：将物理、化学在第一步排后的3个空隙中选两个插进去有23A 种方法，根据乘法原理得不同课程安排种数为222312=A A .9. 将x c =代入双曲线的方程得4222b b y y a a =⇒=±，则222b c ac c a a=⇒=-11e e⇒-=，解得e =10. 法一：设△ABC 两直角边的长分别为,a b ，其内接正方形的边长为x ，由x b x a b -=得abx a b=+，则122()ab p a b =+，222122211()()ab a b p p a b a b +=-=-=++22()aba b ≥+（当且仅当a b =时取等号）． 法二（特殊法）：设1,2,BC AC ==CD x =，则23x =，故12445,1999p p ==-=，从而排除A 、D ，当△ABC 为等腰直角三角形时12p p =，排除B ，故选C ．11. 由sin 2sin ABC A ∠=结合正弦定理得1322BC AC ==，在等腰三角形ABC 中 311cos 434ABC ∠=⨯=，从而1cos 4DBC ∠=-，由余弦定理得：2222cos CD BD BC BD BC DBC =+-⋅⋅∠272=，故CD =.12. 设F 、G 分别为函数()f x 与()g x 定义在区间上[0,1]上的值域，则[1,1]F =-,当a >0时，1a e >，1()()2a x g x e a =-+单调递增，当a <0时，()g x 单调递减， 31[,],(0);2213[,],(0).22a a a e a a G e a a a ⎧-+-+>⎪⎪=⎨⎪-+-+<⎪⎩12[0,1]x x ∃∈、使得12()()f x g x =FG φ⇔≠()()003111122131122a a a a a e a e a a ⎧⎧⎪⎪><⎪⎪⎪⎪⇔-+≤-+≤⎨⎨⎪⎪⎪⎪-+≥--+≥-⎪⎪⎩⎩或2，因为1()2a h a e a =-+在(0,)+∞上递增，在(,0)-∞上递减，所以3()(0)2h a h >=， 所以解得()1式12a ⇔≥，()2式⇔∅.解析：14.设切点为00(,)x y ，则由000'()cos sin1f x x x =+=且0(,)22x ∈-，得00x =，01y =-，故所求的切线方程为10x y --=（或1y x =-）.15. 设圆锥母线长为l,由SAB ∆为等边三角形，且面积为244l l =⇒=，又设圆锥底面半径为r ，高为h ，则由轴截面的面积为8得8rh =，又2216r h +=，解得r =（或设轴截面顶角为S ，则由21sin 8l S =得90S =︒，可得圆锥底面直径2r =，）故2=1)S rl r πππ+=表.16. 因直线210x y +-=与230x y ++=平行，故点M 的轨迹为与两直线距离相等且平行于两直线的直线，其方程为210x y ++=，即点M 00(,)x y 满足00210x y ++=，而满足不等式0021y x >+的点在直线21y x =+的上方，易得直线210x y ++=与21y x =+的交点为31(,)55--，故问题转化为求射线（不含端点）00210x y ++=（035x <-）上的点M 00(,)x y 与坐标原点(0,0)连线斜率、即00y x 的取值范围,故0011(,)23OM y k x =∈-. 三、解答题17.解：（1）由123a a ==得36p m +=，122()912a a p m +=+=，解得1,3p m ==，-------------------------------------------------------------------------------2分即233nn S =+，-------------①当2n ≥时，11233n n S --=+-------------②①-②得1233n n n a -=-，即13(2)n n a n -=≥，--------------------------------------------4分∵ 13a =不满足上式，∴13,1;3, 2.n n n a n -=⎧=⎨≥⎩----------------------------------------------------------------------------------6分（2）依题意得31,1;log 1, 2.n n n b a n n =⎧==⎨-≥⎩-------------------------------------------------------7分 当1n =时，1113T a b ==， 当2n ≥时，112233n n n T a b a b a b a b =++++213131323(1)n n -=⨯+⨯+⨯++⨯-223133131323(2)3(1)n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯-两式相减得：231233333(1)n n n T n --=-++++-⨯----------------------------------9分13(31)63(1)31n n n -⨯-=-+-⨯--3(32)152n n --=3(23)154n n n T -+=.-------------------------------------------------------------------------------11分显然当1n =时，13T =符合上式∴3(23)154n n n T -+=-------------------------------------------------------------------------------12分 18.解：（1）证明：∵AB ⊥CD ，AB ⊥BE ，∴CD//EB ，---------------------------------------------1分∵AC ⊥CD ，∴PC ⊥CD ，∴EB ⊥PC ，--------------------------------------------------------3分且PC ∩BC=C ， ∴EB ⊥平面PBC ，----------------------------------------------------------------------------------4分又∵EB ⊂平面DEBC ，∴平面PBC ⊥平面DEBC ； ---------------------------------------5分 （2）由（1）知EB ⊥平面PBC ，∴EB ⊥PB ，由PE 与平面PBC 所成的角为45°得∠EPB=45°，--------------------------------6分 ∴△PBE 为等腰直角三角形，∴PB=EB ， ∵AB//DE ，结合CD//EB 得BE=CD=2，∴PB=2，故△PBC 为等边三角形，--------------------7 取BC 的中点O ，连结PO ，∵ PO ⊥BC ，∴PO ⊥平面EBCD ，--------------------8分 以O 为坐标原点，过点O 与BE 平行的直线为x 轴，CB 所在的直线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系如图， 则(010),(2,1,0),(2,1,0)B E D -，，，P ， 从而(0,2,0)DE =,(2,0,0)BE =,(2,1,PE = ，设平面PDE 的一个法向量为(,,)m x y z =，平面PEB 的一个法向量为(,,)n a b c =，则由00m DE m PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2020y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令2z =-得(3,0,2)m =--，----------------9分由00n BE n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2020a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，令1c =得(0,3,1)n =，------------------------10分 设二面角D-PE-B 的大小为θ，则cos ||||7m n m n θ⋅===⋅⨯， 即二面角D-PE-B的余弦值为分 （其它解法请参照给分！）19.解：（1）设明年常规稻A 的单价为ξ，则ξ的分布列为3.62=，估计明年常规稻A 的单价平均值为3.62（元／公斤）；----------------------------------------3分（2）杂交稻B 的亩产平均值为：[(730790800)0.005(740780)0.01(750770)0.027600.025]10++⨯++⨯++⨯+⨯⨯116152304190762=+++=．--------------------------------------------------------------------5分依题意知杂交稻B 的亩产超过765公斤的概率为：0.2+0.1+0.52=0.4p =⨯，则将来三年中至少有二年，杂交稻B 的亩产超过765公斤的概率为：22330.4(10.4)0.40.352C ⨯⨯-+=．--------------------------------------------------------------7分（3）因为散点图中各点大致分布在一条直线附近，所以可以判断杂交稻B 的单价y 与种植亩数x 线性相关， -------------------------------------------------------------------------------------------------8分由题中提供的数据得：0.520.80.65b -==-，由y bx a =+ 2.820.8 1.60 4.10a y bx =-=+⨯=， 所以线性回归方程为ˆ0.8 4.10yx =-+，--------------------------------------------------------------10分估计明年杂交稻B 的单价ˆ0.82 4.10 2.50y=-⨯+=元／公斤； 估计明年杂交稻B 的每亩平均收入为762 2.501905⨯=元／亩，估计明年常规稻A 的每亩平均收入为500()500 3.621810E ξ⨯=⨯=元／亩，因1905>1875，所以明年选择种植杂交稻B 收入更高． -------------------------------------------12分20.解：（1）由点P 在椭圆上得223112a b+=，2c =2， --------------------------------------------1分2222322b a a b ∴+=，c =1，又222a b c =+，222232(1)2(1)b b b b ∴++=+，422320b b ∴--=，解得22b =，得23a =，∴椭圆C的方程为22132x y +=；-------------------------------------------------------------------4分（2）（i ）设直线l 的方程为y kx t =+，联立22132x y +=，得222(32)6360k x ktx t +++-=， ∴2121222636(1)(2)3232ktt x x x x k k -+=-=++------------------------------------------5分又22112(1)3x y =-，22222(1)3x y =-， 2222221122||||()()OA OB x y x y +=+++ 22121()43x x =++212121[()2]43x x x x =+-+ 22221636[()2]433232kt t k k -=-⨯+++ 222221(1812)362443(32)k t k k -++=⨯++----------------------------------------------------------------8分 要使22||||OA OB +为常数，只需218120k -=，得223k =，------------------------------9分∴22||||OA OB +212424453(22)+=⨯+=+，∴k ==，这个常数为5；----------------------------------------------------------10分（ii）bk a=±，这个常数为22a b +．------------------------------------------------------------12分21.解：（1）222111'()(0)ax x f x a x x x x --=--=>，---------------------------------------------1分设2()1(0)g x ax x x =-->， ①当a ≤时，()0g x <，'()0f x <；------------------------------------------------------------2分②当0a >时，由()0g x =得x =或0x =<，记12x a+=0x =则20()1()(0)g x ax x a x x x x =--=->，∵0x ->∴当0(0,)x x ∈时，()0g x <，'()0f x <，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >，'()0f x >，--------------------------------------4分 ∴当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当0a >时，()f x在(0,上单调递减，在)+∞上单调递增．---5分 （2）不妨设12x x <，由已知得1()0f x =，2()0f x =，即1111ln ax x b x =--，2221ln ax x b x =--，---------------------------------------------------6分两式相减得21212111()ln ln ()a x x x x x x -=---， ∴212121ln ln 1x x a x x x x -=+-，---------------------------------------------------------------------------7分要证121222x x ax x ++>， 即要证2112122121ln ln 122()x x x x x x x x x x -++>+-， 只需证21121221ln ln 2x x x x x x x x -+>⋅⋅-， 只需证222121212ln x x x x x x ->，即要证2121212ln x x x x x x ->，---------------------------------------9分 设21x t x =，则1t >，只需证12ln t t t ->，------------------------------------------------------10分 设1()2ln (1)h t t t t t=-->，只需证()0h t >， 222221221(1)'()10t t t h t t t t t -+-=+-==>， ()h t ∴在(1,)+∞上单调递增，()(1)0h t h ∴>=，得证．---------------------------------------------------------------------------12分 22.解：（1）由22cos 2a ρθ=得2222(cos sin )a ρθθ-=， --------------------------------------1分又cos x ρθ=，sin y ρθ=，得222x y a -=，∴C 的普通方程为222x y a -=，-------------------------------------------------------------------2分∵过点(2,1)P 、倾斜角为30︒的直线l的普通方程为2)1y x =-+，--------------3分由22x t =+得112y t =+ ∴直线l的参数方程为2212x t ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数）；-------------------------------------------5分（2）将212x ty ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入222x y a -=，得221)2(3)0t t a ++-=，----------------------------------------------------------------6分依题意知221)]8(3)0a ∆=-->则上方程的根1t 、2t 就是交点A 、B 对应的参数，∵2122(3)t t a ⋅=-，由参数t 的几何意义知1212||||||||||PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅，得12||2t t ⋅=，∵点P 在A 、B 之间，∴120t t ⋅<，∴122t t ⋅=-，即22(3)2a -=-，解得24a =（满足0∆>），∴2a =±，-------------8分 ∵1212||||||||||||||PA PB t t t t -=-=+，又121)t t +=-，∴||||||2PA PB -=．-------------------------------------------------------------------------10分23.解：（1）法一：|()|||1||1|||(1)(1)|2f x x x x x =+--≤+--=，∴ 2()2f x -≤≤， ()f x 的值域为[-2, 2]；----------------------------------------------------4分法二：2,1()2,112,1x f x x x x -<-⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩，得2()2f x -≤≤，∴()f x 的值域为[-2, 2]；----------------------------------------------------------------------------4分（2）由()3f x x a ≤+得|1||1|3a x x x ≥+---，由[2,1]x ∈-得10x -≤，∴ |1|13|1|21a x x x x x ≥++--=+--，----------------------------------------------------5分设()|1|21g x x x =+-- (21)x -≤≤，① 当21x -≤≤-时，10x +≤，()(1)2132g x x x x =-+--=--，∴ max ()(2)4g x g =-=；--------------------------------------------------------------------------7分② 当11x -<≤时，10x +>，()121g x x x x =+--=-，∴()(1)1g x g <-=；-------------------------------------------------------------------------------9分 综上知，max ()4g x =，由()a g x ≥恒成立，得4a ≥，即a 的取值范围是[4,)+∞．---------------------------------10分。