三角恒等变换
知识点精讲：
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ
--=
+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；
⑹()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ
++=
-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．
2、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin22sin cos ααα=． ⑵
2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα
=-=-=-（
2cos 21
cos 2
αα+=
，
21cos 2sin 2
α
α-=
）． ⑶22tan tan 21tan α
αα
=
-．
3、()sin cos αααϕA +B =
+，其中tan ϕB =
A
． 经典例题： 例
1.已知cos α－sin α＝352，且π<α<32π，求sin2α＋2sin 2
α
1－tan α的值．
例2.设x ∈[0，π3]，求函数y ＝cos(2x －π3)＋2sin(x －π
6)的最值．
例3.已知tan 2
θ＝2tan 2
α＋1，求证：cos2θ＋sin 2
α＝0.
例4.已知向量a ＝(cos 3x
2，sin 3x
2)，b ＝(cos x 2，－sin x
2)，c ＝(
3－1)，其中x ∈R .
(1)当a ⊥b 时，求x 值的集合； (2)求|a －c |的最大值．
例5.设函数f (x )＝22cos(2x ＋π
4)＋sin 2
x
(Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期；
(Ⅱ)设函数g (x )对任意x ∈R ，有g (x ＋π2)＝g (x )，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，
g (x )＝12－f (x )；
求函数g (x )在[－π，0]上的解析式。

巩固训练：
一、选择题
1．sin
2
π12－cos 2π
12
的值为( ) A ．－12
B.1
2 C ．－
32
D.32
2．函数f (x )＝sin2x －cos2x 的最小正周期是( ) A.π2
3 B ．π C ．2π
D ．4π
3．已知cos θ＝13，θ∈(0，π)，则cos(3π
2＋2θ)＝( )
A ．－42
9
B ．－79
C.42
9
D.79
4．若tan α＝3，tan β＝4
3，则tan(α－β)等于( )
A ．－3
B ．－13
C ．3
D.13
5．cos 275°＋cos 2
15°＋cos75°·cos15°的值是( ) A.54 B.
62
C.32
D ．1＋
23
6．y ＝cos 2
x －sin 2
x ＋2sin x cos x 的最小值是( ) A. 2 B ．－ 2 C ．2
D ．－2
7．若tan α＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)＝( ) A ．－1 B ．－15
C.57
D.17
8．已知点P (cos α，sin α)，Q (cos β，sin β)，则|PQ →
|的最大值是( ) A. 2 B ．2 C ．4
D.22
9．函数y ＝cos2x ＋sin2x
cos2x －sin2x 的最小正周期为( )
A ．2π
B ．π C.π2
D.π4
10．若函数f (x )＝sin 2
x －12(x ∈R )，则f (x )是( )
A ．最小正周期为π
2的奇函数
B ．最小正周期为π的奇函数
C ．最小正周期为2π的偶函数
D ．最小正周期为π的偶函数
11．y ＝sin(2x －π
3)－sin2x 的一个单调递增区间是( )
A ．[－π6，π3]
B ．[π12，7
12π]
C ．[512π，13
12
π]
D ．[π3，5π6
]
12．已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝1
3，则log
5
(
tan αtan β
)2
等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
二、填空题
13．(1＋tan17°)(1＋tan28°)＝________.
14．(2012·全国高考江苏卷)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为______．
15．已知cos2α＝13
，则sin 4α＋cos 4
α＝________.
16．设向量a ＝(32，sin θ)，b ＝(cos θ，13)，其中θ∈(0，π
2)，若a ∥b ，则θ＝________.
三、解答题
17．(本题满分12分)已知函数f (x )＝(1－tan x )·[1＋2sin(2x ＋π
4)]，求：
(1)函数f (x )的定义域和值域； (2)写出函数f (x )的单调递增区间．。