第三章三角恒等变换密云县编写组第一部分：第三章的教学设计一、教材分析1．教学内容本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用.2．在模块内容体系中的地位和作用在第一章三角函数的学习的基础上，学习简单的三角变换是对三角函数的进一步深化也是为必修5中的解三角形做铺垫.3．总体教学目标（1）了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；（2）理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；(3)运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用.4.重点、难点分析本章内容的重点是两角差的余弦公式的推导及在推导过程中体现的思想方法，同时也是难点.5．其他相关问题本章内容安排贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容”的理念，严格控制了三角变换及应用的繁、难程度，尤其注意了不以半角公式，积化和差以及和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习.二、教学方式概述应以教师为主导学生为主体的启发式教学为主，以学生为主体探究式教学为辅.三、教学资源概述充分利用多媒体课件四、教学内容及课时安排建议 1．本章知识结构如下图：2．教学内容本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，“简单的三角恒等变换”. （1）三角恒等变换的学习以代数变换与同角三角函数式的变换的学习基础，和其他数学变换一样，它包括变换的对象，变换的依据和方法等要素.本章变换的对象要由只含一个角的三角函数拓展为包含两个角的三角函数式，因此建立起一套包含两个角的三角函数式变换的公式.（2）本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式，具体过程如下： ()()()()222,,C C S T C S T αβαβαβαβααε-+±±→→→→（3）本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，使他们能够依据三角函数的特点，逐渐明确三角变换不仅包括式子结构形式变换，还包括式子中的角的变换，以及不同三角函数之间的变换，引导学生逐渐拓广有关公式在变换过程中的作用，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识，并且也注意了引导的层次性和渐进性. 3．课时分配本章教学时间约8课时，具体分配如下：3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式 约4课时 3.2简单的恒等变换 约3课时 复习 约1课时§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、学习目标：本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用. 二、教学重点与难点1. 重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础；2. 难点：两角差的余弦公式的探索与证明. 三、教学内容安排3.1.1 两角差的余弦公式两角差的余弦公式的推导是本节的重点和难点，尤其是要引导学生通过主动参与，独立探索，自己得出结果更是难点.教科书Ｐ136章前图由实际例子引出已知两个角的正弦、余弦、正切来研究这两个角和、差的正弦、余弦、正切.这是实际的需要是为了解决实际问题所以我们要研究两角差的余弦公式()cos ?αβ-=、两角和的余弦公式()cos ?αβ+=两角差的正弦公式()sin ?αβ-=、两角和的正弦公式()sin ?αβ+=等知识.探究过程：1.通过展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索()cos αβ-与cos α、cos β、sin α、sin β之间的关系，由此得到cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，认识两角差余弦公式的结构.2．引导用向量法证明两角差余弦公式.然后通过两个例题来巩固所学公式例1利用和、差角余弦公式求cos 75o 、cos15o的值. 解：分析：把15o构造成两个特殊角的和、差.()1cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin 302=-=+==o o o o o o o 点评：本例说明差角余弦公式也适用于形式上不是差角，但可以拆分成两角差的情形.实际上，由于公式对任意角都成立，因此在使用公式时应当根据需要对角进行灵活表示.例如：()cos15cos 6045=-o o o ，要学会灵活运用.本例结束后思考如何求sin 75o，引导用诱导公式sin()cos 2παα-=，为后面推导出正弦两角和与差公式做准备. 例2已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值.解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得3cos 5α===-又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===-所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭本例是运用两角差的基础题，主要训练学生思维的有序性，逐步培养学生良好思维习惯. §3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式本节课以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.通过上节课的学习推导出了两角差的余弦，引导学生推导两角和的余弦公式，然后引导学生推出两角和与差的正弦公式和正切公式. 例3已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.解：因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α===，3sin 35tan 4cos 45ααα-===- ，于是有43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos cos sin sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭本例是运用和差角公式的基础题，要注意认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要做什么准备.还要重视思维过程的表述，不能只看结果而不顾过程表述的准确性和简洁性.解答完本例可以把条件是α是第四象限角去掉，让学生考察结果和求解过程会有什么影响.引导学生正确使用分类讨论的方法. 例4利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）sin 72cos 42cos72sin 42-oooo；（2）cos 20cos70sin 20sin 70-oooo；（3）1tan151tan15+-oo． 解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.（1）()1sin 72cos 42cos72sin 42sin 7242sin 302-=-==ooooo oo； （2）()cos 20cos70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==o o o o o o o ；（3）()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 601tan151tan 45tan15++==+==--o o oo o o o o o本例体现了对公式的全面理解上的要求，即要求学生能够从正（从左到右使用公式）、反（从右到左使用公式）两个角度使用公式.与正用相比反用表现的是一种逆向思维，他不仅要求有一定的逆向思维意识，对思维的灵活性要求较高，而且对公式要求更全面更深刻的理解. §3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式本节以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.学生先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可）， 公式推导：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-； 22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--． 注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈例题讲解 例5已知5sin 2,,1342ππαα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值． 解：由,42ππα<<得22παπ<<．又因为5sin 2,13α=12cos 213α===-．于是512120sin 42sin 2cos 221313169ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭； 225119cos 412sin 21213169αα⎛⎫=-=-⨯=⎪⎝⎭；120sin 4120169tan 4119cos 4119169ααα-===-． 通过本例要求学生对“倍”的相对性有一定的认识，灵活运用“倍” 的变换，体现了思维的灵活性，对学生推理能力的发展起到很好的推导作用. 例6 在ABC ∆中，4cos 5A =，tan 2B =，求tan(22)A B +的值.本例采用两种方法来解决：一种是先求出tan 2A 和tan 2B 从而求出tan(22)A B +，另一种是先求出tan()A B +再求出tan(22)A B +.这两种方法都是对倍角公式与和角公式的联合运用，本质上没有什么区别.值得注意的是在三角形的背景下研究问题，会带来一些隐含条件，如0,A A B C ππ<<++=等，教学中可以在学生自己尝试解决问题后，引导他们进行适当的小结.学生基础较好的班级可以直接求tan 2C 的值.四、教学资源建议 充分利用多媒体课件五、教学方法与学习指导策略建议以问题为核心，采用启发式教学.指导学生如何根据以学知识推导本章的十一个公式. 六、课堂评价建议1.情绪变化：通过探究活动学生表现出来的情绪变化，给每名同学打分.2.参与度：从课堂积极举手回答问题情况和自主探究的情况来了解，学生是否动手实践，对教师提出的问题是否是进行深层次的思考.3.讨论交流：小组讨论时能否能阐述自己的观点，对不同的观点进行分析，每组组长根据学生的表现情况给每名同学打分.4.学习水平：通过课后访谈和作业分析来了解学生的学习水平是否提高.5.知识水平：(1)通过作业了解学生是否掌握了三角变换的十一个基本公式. (2) 通过章节检测题来检验学生是否掌握了十一个基本公式.3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）一、学习目标：本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 二、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力 三、教学内容安排例 例题安排：例1试以cos α表示222sin,cos ,tan 222ααα．解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin22αα-=； 因为2cos 2cos12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点． 例２求证：（１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦；（２）、sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=．证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=， 那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sin cos22θϕθϕθϕ+-+=．思考：在例２证明中用到哪些数学思想？例２ 证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３求函数sin y x x =的周期，最大值和最小值．解：sin y x x =+这种形式我们在前面见过，1sin 2sin 2sin 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．例4 如图3.2-1 已知OPQ 是半径为1，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形.记COP α∠=，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这图3.2-1O个最大面积.分析：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，可分两步进行： （1）找出S 与α之间的函数关系； （2）由得到的函数关系，求出S 的最大值.解：在Rt OBC ∆中，cos ,sin OB BC αα==在Rt OAD ∆中，tan 60DA OA==o ，所以sin 333OA DA BC α===.所以cos sin 3AB OA OA αα=-=-.设矩形ABCD 的面积为S ，则(cos sin )sin 3S AB BC ααα=⋅=-1)66πα+-由03πα<<，得52666πππα<+<，所以当262ππα+=，即6πα=时，S 最大13-=6因此，当6πα=时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为6.本例是一个实际问题，需要建立函数模型，建立函数模型时，对自变量可多一种选择，如果设AD=x ，则)3S x x =.尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点.复习安排（1课时）知识与方法小结：1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、2π±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式.你能根据下图回顾推导过程吗？2．化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来.3．求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围.4．证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等.5. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式， cos α= cos βcos （α-β）- sin βsin （α-β），1= sin 2α+cos 2α，0030tan 130tan 1-+=000030tan 45tan 130tan 45tan -+=tan （450+300）等. 6．自己根据学生状况适当配备例题.四、教学资源建议．充分利用多媒体课件五、教学方法与学习指导策略建议以问题为核心，采用启发式教学.指导学生如何根据式子的结构进行三角变换.六、课堂评价建议：1.情绪变化：通过探究活动学生表现出来的情绪变化，给每名同学打分.2.参与度：从课堂积极举手回答问题情况和自主探究的情况来了解，学生是否动手实践，对教师提出的问题是否是进行深层次的思考.3.讨论交流：小组讨论时能否能阐述自己的观点，对不同的观点进行分析，每组组长根据学生的表现情况给每名同学打分.4.学习水平：通过课后访谈和作业分析来了解学生的学习水平是否提高.5.知识水平：(1)通过作业了解学生是否掌握了三角变换的基本方法和基本能力.(2) 通过章节检测题来检验学生是否掌握了三角变换的基本方法和基本能力.。